高中数学人教B版必修三：7.3.1 正弦函数的性质与图像 课件（63张ppt）

(共63张PPT)

正弦函数的性质与图像
高一年级 数学

研究函数的一般方法
图像
数形结合
性质
（定义域、奇偶性、周期性、单调性、值域、零点等）
性质
情境与问题
到地面的高 m
转轮半径 m
以 为终边的角为 rad
点 离地面的高度为 m
情境与问题
问题：
你能写出 关于 的表达式吗？
当角 的终边在第一、二象限
或纵轴正半轴上时，
情境与问题
问题：
你能写出 关于 的表达式吗？
当角 的终边在第三、四象限
或纵轴负半轴上时，
情境与问题
问题：
你能写出 关于 的表达式吗？
当角 的终边在横轴上时，
情境与问题
对于任意一个角 ，都有唯一确定的正弦 与之对应，因此 是一个函数，一般称为正弦函数.
问题：
是 的函数吗？这个函数有什么性质呢？
正弦函数的性质

问题:借助单位圆，你能
得到正弦函数具有哪些性质呢？
终边与单位圆
交点的纵坐标

角

正弦函数的性质
1.定义域
正角
零角
负角

转角

实数


定义域为
正弦函数的性质
1.定义域
对任意的角 来说，设 是 终边上异于原点的任意一点， ，
定义域为
正弦
角的终边位置



正弦函数的性质
2.奇偶性
一般地，函数 的定义域为 ，
，都有 ，
奇函数
偶函数




正弦函数的性质
2.奇偶性
问题：角 和 的终边与单位圆
交点纵坐标的关系?



与 的终边的关系?
关于 轴对称 纵坐标互为相反数

正弦函数的性质
2.奇偶性




交点纵坐标
相反数
交点纵坐标
正弦函数的性质
2.奇偶性




交点纵坐标
相反数
交点纵坐标
诱导公式
正弦函数是奇函数，图像关于原点中心对称
正弦函数的性质
3.对称性

问题：正弦函数还有其它
的对称中心吗？

正弦函数的图像

问题：你能用所学知识严格证明正弦曲线
关于 中心对称吗？
正弦函数的图像

问题：你能用所学知识严格证明正弦曲线
关于 中心对称吗？
正弦函数的性质
3.对称性

问题：正弦函数还有其它
的对称性吗？
正弦函数关于直线 对称
正弦函数的性质
3.对称性

正弦函数关于直线 对称
正弦函数的性质
问题：从交点纵坐标的变化，你能观察出正弦函数是否具有周期性呢？
4.周期性
正弦函数的性质
终边旋转整数圈
4.周期性

交点纵坐标重复出现

终边相同的角

正弦值

正弦函数的性质
4.周期性

问题：正弦函数的周期
是多少呢？


是周期吗？

正弦函数的性质
4.周期性

问题：正弦函数的周期
是多少呢？


正弦函数的性质
4.周期性

问题：正弦函数的周期
是多少呢？


不是周期


正弦函数的性质

4.周期性
周期：

最小正周期：

正弦函数的性质
4.周期性
问题：你能抽象出一般函数周期性的定义吗？

1.定义域中的每一个自变量
2.自变量增加或减少同一个非零常数时，函数值总是相等的。
正弦函数的性质
4.周期性
问题：你能抽象出一般函数周期性的定义吗？

1.定义域中的每一个自变量
2.自变量增加或减少同一个非零常数时，函数值总是相等的。

正弦函数的性质
一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得对定义域内的每一个 ，都满足

那么就称函数 为周期函数，非零常数 称
为这个函数的周期.

正弦函数的性质




函数的性质

单调性

奇偶性

周期性

正弦函数的性质
问题：从交点纵坐标的变化，你能得到正弦函数的单调性吗？
5.单调性
周期性

正弦函数的性质
5.单调性





正弦函数的性质
5.单调性





正弦函数的性质
单调递增区间

单调递减区间



5.单调性
正弦函数的性质
6.值域(最值)
值域为

正弦函数的性质
角的终边落在 轴上



6.零点




正弦函数的性质
单位圆
角终边与单位圆交点的纵坐标
直观化解释模型

正弦函数


数形结合
正弦函数的图像
问题：正弦函数的性质对作出正弦函数的图像有什么帮助呢？
列表描点
周期性 长度为 的闭区间
奇偶性 关于原点对称
对称性 关于 对称
正弦函数的图像
问题：
正弦函数 在闭区间 递增，
图像的大致形状是怎样的呢？是一条直线？
是增加的越来越快？还是越来越慢呢？
正弦函数的图像
角的变化量
函数值变化量
交点纵坐标
的变化量





正弦函数的图像
列表
正弦函数的图像

描点
连线
正弦函数的图像

正弦函数的图像

正弦函数的图像

正弦函数的图像

正弦函数的图像

正弦函数在对称轴和对称中心处的函数值
有什么特征呢？
正弦函数的图像

问题：观察正弦函数的图像，你能说出在确定
的图像形状时，哪些点起着关键作用？为什么？


开口，对称轴
顶点，交点

单调性、渐近线、与轴的交点

性质 图像 形状特征 示意图



正弦函数的图像
五点作图法
波峰波谷的平缓过渡
对称中心左右曲线凹凸
正弦函数的性质与图像

数缺形时少直观，形缺数时难入微
五点作图
数形结合
借助单位圆分析性质

借助性质利用单位圆研究图像

根据图像进一步理解性质





例:不求值，比较 和 的大小.
单位圆

正弦函数的单调性
分析：求函数最值的本质是什么呢？
值域 函数的单调性
这类函数的最值问题如何处理呢？
换元法

例:求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值
和最小值时 的值.


解：函数 与 同时取得最值，

所以
例:求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值
和最小值时 的值.
解：令 ，则

例:求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值
和最小值时 的值.
解：根据二次函数闭区间上的单调性，可得
即 此时

例:求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值
和最小值时 的值.
解：根据二次函数闭区间上的单调性，
可得 即
或 ，此时

例:求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值
和最小值时 的值.

例:用五点法作函数 的图像.
解：找关键的五个点，列表如下



例:用五点法作函数 的图像.
解：描点作图
位置关系？

向上平移
1个单位
小结
正弦函数


单位圆

抽象
函数图像

直观
数
形
核心任务：利用单位圆研究正弦函数的性质与图像
同角三角函数基本关系式
诱导公式
变量间的变化过程
变化趋势
作业
1.不求值，比较 和 的大小.
作业
2.求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和
最小值时 的值.
(1) (2) (3)


作业
3.用五点法作出下列函数在 上的图像，并说明它
们与 的图像的关系.
(1) (2)


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