【备战2020】高考数学二轮专题：专题四 函数综合 复习学案 （上海地区专用）

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【备考2020】高考数学二轮专题复习学案
专题四 函数综合
课题 函数综合 单元 第章 学科 数学 年级 十二
学习 目标 1．加深对函数性质的理解； 2．熟练掌握与函数有关的解题方法和技巧； 3.紧密联系与所给题目有关的知识，掌握综合题的解题通法和技巧
重点 1．培养学生分析问题的能力，提高学生欢迎，转化和数形结合的能力 2．树立运用函数思想解题的意识
难点 树立运用函数思想解题的意识
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30




函数的解答题是历年高考必考的重点内容，所涉及到的函数考点主要有：函数的基本概念及运算、函数的奇偶性、函数的单调性、函数的周期性、函数的零点、函数的值域、函数的最值、函数图像的对称性及图像变换等.
函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性；
函数与不等式，方程相关的恒成立和存在性问题；
函数的图像及变换问题；
函数方程的思想，数形结合的思想，换元，转化化归等方法；

一、值域、反函数
【例1】已知函数的反函数为 ．
（1）若，求实数的值；
（2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】;
【解析】（1）


经检验是原方程的解.

，
设，当
（当且仅当，即时等号成立）
，其中，所以
所以
所以实数的取值范围是.

【例2】（奉贤区2016届高三上学期期末）已知函数是单调递增函数，其反函数是．
（1）、若，求并写出定义域；
（2）、对于（1）的和，设任意，
求证：；
（3）、若和有交点，那么交点一定在上．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）、 3+2=5分
（2）、 7分
， 9分
， 10分

11分
（3）、设是和有交点
即， 12分
当，显然在上 13分
当，函数是单调递增函数，矛盾 15分
当，函数是单调递增函数，矛盾 16分
因此，若和的交点一定在上 16分

【例3】已知函数是的反函数，定义：若对给定的实数.函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”.
⑴判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；
⑵求所有满足“2和性质”的一次函数；
⑶设函数对任何，满足“积性质”，求的表达式．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）函数的反函数是，
，
而，其反函数为
故函数不满足“1和性质” …… 4分
(2)设函数满足“2和性质”，。
, …… 6分
而，得反函数， …… 8分
由“2和性质”定义可知对恒成立。
即所求一次函数. ……10分
（3）设且点图像上，则在函数
图像上，
故可得， ……12分
令，. ……14分
综上所述，此时其反函数是，
而故互为反函数。 ……16分

【例4】已知函数，．
（1）求函数的零点；
（2）若直线与的图像交于不同的两点，与的图像交于不同的两点，求证：；
（3）求函数的最小值．
【难度】★★★
【解析】（1）由题，函数的零点为
（2）设
，则
同理由，则
则中点与中点重合，即
（3）由题


，当且仅当时，等号成立.所以函数的最小值为1


【巩固训练】
1．设函数是定义域为的奇函数．
（1）求的值；
（2）若，且在上的最小值为，求的值．
【难度】★★
【解析】（1）由题意，对任意，，
即，
即，，
因为为任意实数，所以．
解法二：因为是定义域为的奇函数，所以，即，．
当时，，，是奇函数．
所以的值为．
（2）由（1），因为，所以，
解得．
故，，
令，则，由，得，
所以，
当时，在上是增函数，则，，
解得（舍去）．
当时，则，，解得，或（舍去）．
综上，的值是．

2．定义区间，，，的长度均为，其中．
（1）已知函数的定义域为，值域为，写出区间长度的最大值与最小值.
（2）已知函数，将函数的图像的每点横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有个零点，在所有满足上述条件的中，求区间长度的最小值．
（3）已知函数的定义域为实数集,满足 (是的非空真子集) . 集合, ,求的值域所在区间长度的总和．
【难度】★★★
【解析】（1），解得或，
，解得，
画图可得：区间长度的最大值为，
最小值为.
（2）
或，
即的零点相离间隔依次为和，
故若在上至少含有个零点，则的最小值为．
（3）
当，，
当，，
所以时，
所以值域区间长度总和为。

3．（2011一模金山23）在R+上的递减函数f(x)同时满足：(1)当且仅当xM R+时，函数值f(x)的集合为[0, 2]；(2)f()=1；(3)对M中的任意x1、x2都有f(x1?x2)= f(x1)+ f(x2)；(4)y=f(x)在M上的反函数为y=f–1(x)．
(1)求证：M，但M；
(2)求证：f–1(x1)? f–1(x2)= f–1(x1+x2)；
(3)解不等式：f–1(x2–x)? f–1(x–1)≤．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】(1)证明：因为M，又=，f()=1，
所以f()=f()=f()+f()=2[0, 2]，所以M，……………………………3分
又因为f()=f()=f()+f()=3[0, 2]，所以M；…………………………5分
(2)因为y=f(x)在M上递减，所以y=f(x)在M有反函数y=f –1(x)，x[0, 2]
任取x1、x2[0, 2]，设y1=f–1(x1)，y2=f–1(x2)，
所以x1=f(y1)，x2=f(y2) (y1、y2M)
因为x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1y2)，……………………………………………………………7分
所以y1y2=f–1(x1+x2)，又y1y2= f–1(x1)f–1(x2)，
所以：f –1(x1)? f –1(x2)= f –1(x1+x2)；……………………………………………………10分
(3)因为y=f(x)在M上递减，所以f–1(x)在[0, 2]上也递减，
f–1(x2–x)? f–1(x–1)≤等价于：f –1(x2–x+x–1)≤f–1(1)…………………………………11分
…………………………………………………………………………14分
即：…………………………………………………………17分
所以≤x≤2…………………………………………………………………………18分

4．（2011一模奉贤理23）设,，其中是不等于零的常数，
（1）、写出的定义域（2分）；
（2）、求的单调递增区间（5分）；
(3)、已知函数，定义：，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．例如：，，则 ，，当时，
设，不等式恒成立，求的取值范围．（11分）
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）、 2分
（2）、时，在递增；时，在递增
时，在递增
（对1个2分，2个3分，3个5分
（3）、由题知： 1分
所以， 1分
1分
1分

1分
1分
1分
1分
1分
2分


二、奇偶性与单调性
【例5】已知定义在上的函数(为实常数)，
（1）当时，证明：不是奇函数；
（2）设是奇函数，求与的值；
（3）当是奇函数时，证明对任何实数，都有成立．
【难度】★★★
【答案】（1）证明：解法一：当时，，
因为，，
所以即不是奇函数．
解法二：因为而，
即，所以不是奇函数．
（2）解法一：是奇函数，，
即对任意恒成立．
化简整理得对任意恒成立．
．
因为原函数定义域为，所以．所以．
解法二：是定义在上的奇函数，即，经验证满足．
所以．
（3）由（2）得：，
∵，∴．∴，∴．
而恒成立，
所以对任何实数，都有成立．

【例6】已知函数，，．
（1）若，试判断并用定义证明函数的单调性； (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)
（2）当时，求证函数存在反函数．
【难度】★★
【解析】(1)判断：若，函数 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 在上是增函数.
证明：当时，，在上是增函数.
在区间上任取，设，

所以，即在上是增函数.
(2) 因为，所以
当时， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 在 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 上是增函数，
证明：当时， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 在 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 上是增函数（过程略）
HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 在在上也是增函数
当时，上是增函数
所以任意一个，均能找到唯一的和它对应，
所以时，存在反函数

【例7】已知函数．
（1）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【解析】（1）是偶函数， 即，
又恒成立即
当时
当时，，
当时，，
综上：
（2）
是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．
令，当时；时，由于时，
是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．

【例8】在上的函数满足：对任意实数总有且当时，
（1）判断的单调性；
（2）设若
试确定的取值范围.
【难度】★★★
【解析】（1）由
因此可得，当时，；下面证明：当时，
不妨设，则
因此任给
下面具体判定函数的单调性：
任给并且

所以，函数在其定义域内单调递减.
（2）因为函数单调减，所以由
知
因为所以直线与圆面无公共点．因此有，解得

【例9】已知定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根（）称为的特征根．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）求表达式；
（3）把函数的最大值记作、最小值记作
令，若恒成立，求的取值范围．
【难度】★★★
【答案】B
【解析】(1）时，是奇函数
，是非奇非偶函数 举反例说明
（2） 恒成立


（3）、证明说理上是递增函数



在内单调递增 恒成立







【巩固训练】
1．已知函数的反函数为，记.
（1）求函数的最小值；
（2）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.
【难度】★★
【解析】（1）由得，即（）
（）

由于，所以（当且仅当时，等号成立）
所以当时，函数
（2）由（）
得，
在区间上是单调递增函数,需满足：当时，，即
，即，
所以

2．已知函数在定义域上是增函数，值域为，且满足：．设．
（1）求函数值域和零点；
（2）判断函数奇偶性和单调性，并给予证明．
【难度】★★
【解析】（1），，
，故，的值域为；
，令，， ，．
故，的零点为
（2）对任意的，，
所以，是奇函数
由已知，在定义域上是增函数，
所以，对任意的，，都有．
又．
所以，在定义域上是减函数.

3．已知定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根（）称为的特征根．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）求的值；
（3）判断函数的单调性，并证明．
【难度】★★
【解析】（1）时，是奇函数

，是非奇非偶函数
举反例说明
（2）
恒成立




（3）、设




在内单调递增

4．设函数
（1）当时，对于一切函数在区间内总存在唯一零点，求的取值范围；
（2）若在区间上是单调函数，求的取值范围；
（3）当时，函数在区间内的零点为判断数列的增减性，并说明理由.
【难度】★★★
【解析】（1）当时，在区间内存在唯一零点
因为函数在区间上是增函数
所以
即：对于一切成立.
所以求得的取值范围为
（2）在区间上是单调函数
不妨设
由题意知，对于恒成立，
因为
所以
（3）数列是单调递增数列，证明如下：
当时，，
因为函数在区间内的零点为所以
因为
所以
又因为
所以
又因为函数在区间 上是增函数，
所以
即：数列是单调递增数列






三、二次函数与恒成立问题
【例10】设为奇函数，为常数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；
（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★
【解析】（1） 为奇函数，对定义域内的任意 都成立，
， ，解得或（舍去）.
（2）由（1）知：，
任取 ，设 ，则，

在 上是增函数.
（3）令 ，
上是减函数，由（2）知，是增函数，
，
对于区间 上的每一个 值，不等式 恒成立，
即 恒成立， .

【例11】设是实数，函数（）．
（1）求证：函数不是奇函数；
（2）当时，求满足的的取值范围；
（3）求函数的值域（用表示）．
【难度】★★★
【解析】（1）假设是奇函数，那么对于一切，有，
从而，即，但是，矛盾．
所以不是奇函数．（也可用等证明）
因为，，所以当时，，由，
得，即，，
因为，所以，即．
①当，即时，恒成立，故的取值范围是；
②当，即时，由，得，故的取值范围是．
（3）令，则，原函数变成．
①若，则在上是增函数，值域为．
②若，则
对于，有，
当时，是关于的减函数，的取值范围是；
当时，，当时，的取值范围是，
当时，的取值范围是．
对于，有是关于的增函数，
其取值范围．
综上，当时，函数的值域是；
当时，函数的值域是；
当时，函数的值域是．

【例12】定义区间，，，的长度均为，其中．
（1）已知函数的定义域为，值域为，写出区间长度的最大值与最小值.
（2）已知函数的定义域为实数集,满足 (是的非空真子集) . 集合, ,求的值域所在区间长度的总和．
（3）定义函数，判断函数在区间上是否有零点,并求不等式解集区间的长度总和．
【难度】★★★
【解析】（1），解得或，
，解得， …………………2分
画图可得：区间长度的最大值为，最小值为.
（2）
当，，
当，，
所以时，
所以值域区间长度总和为。
（3）由于当时，取，，取，，
所以方程在区间内有一个解
考虑函数，由于当时，，故在区间内，不存在使的实数；
对于集中的任一个，由于当时，
取，，取，
又因为函数在区间内单调递减，
所以方程在区间内各有一个解；
依次记这个解为，
从而不等式的解集是，故得所有区间长度的总和为

………①
对进行同分处理，分子记为
如将展开，其最高项系数为，设

又有
对比②③中的系数，

可得：


【巩固训练】
1．已知．
（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；
（2）当时，若，求的值；
（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★
【解析】（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数．
∵，∴
所以既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）当时，，
由得
即或
解得
所以或．
（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，
故只需考虑，此时原不等式变为
即
故
又函数在上单调递增，所以；
对于函数
①当时，在上单调递减，，又，
所以，此时的取值范围是．
②当，在上，，
当时，，此时要使存在，
必须有 即，此时的取值范围是
综上，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是．

2．已知函数（其中是实数常数，）
（1）若，函数的图像关于点（—1，3）成中心对称，求的值；
（2）若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围；
（3）若b=0，函数是奇函数，，，且对任意时，不等式恒成立，求负实数的取值范围。
【难度】★★
【解析】，
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　类比函数的图像，可知函数的图像的对称中心是．
　又函数的图像的对称中心是，

(2)由(1)知，．
　依据题意，对任意，恒有．
　若，则，符合题意．
　若，当时，对任意，恒有，不符合题意．
　　所以，函数在上是单调递减函数，且满足．
因此，当且仅当，即时符合题意． 　
综上，所求实数的范围是．
(3)依据题设，有解得
于是，．
　由，解得．
　因此，．
　考察函数，可知该函数在是增函数，故．
　所以，所求负实数的取值范围是．


四、新定义函数问题
【例13】函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数．
（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．
（2）若是“圆锥托底型” 函数，求出的最大值．
（3）问实数、满足什么条件，是“圆锥托底型” 函数．
【难度】★★
【解析】（1）．，即对于一切实数使得成立，
“圆锥托底型” 函数．…………………………2分
对于，如果存在满足，而当时，由，
，得，矛盾，不是“圆锥托底型” 函数．
是“圆锥托底型” 函数，
故存在，使得对于任意实数恒成立．
当时，，此时当时，取得最小值2，．
而当时，也成立．的最大值等于．
（3）①当，时，，无论取何正数，取，则有，
不是“圆锥托底型” 函数．
②当，时，，对于任意有，此时可取
是“圆锥托底型” 函数．
③当，时，，无论取何正数，取．有，
不是“圆锥托底型” 函数．
④当，时，，无论取何正数，取，有，不是“圆锥托底型” 函数．
由上可得，仅当时，是“圆锥托底型” 函数．

【例14】定义：对于函数，若存在非零常数，使函数对于定义域内的任意实数，都有，则称函数是广义周期函数，其中称为函数广义周期，称为周距．
（1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距的值；
（2）试求一个函数，使（为常数，）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期和周距；
（3）设函数是周期的周期函数，当函数在上的值域为时，求在上的最大值和最小值．
【难度】★★★
【解析】（1），
，（非零常数）
所以函数是广义周期函数，它的周距为2．
（2）设，则

（非零常数） 所以是广义周期函数，且．
（3），
所以是广义周期函数，且 ．
设满足，
由得：
，
又知道在区间上的最小值是在上获得的，
而，所以在上的最小值为．
由得得：
，
又知道在区间上的最大值是在上获得的，
而，所以在上的最大值为23．
【例15】对于定义域为的函数若存在正常数使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为设单调递增，
（1）验证是以为周期的余弦周期函数；
（2）设证明：对任意存在使得
（3）证明：“为方程在上的解”的充分条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有
【难度】★★★
【解析】（1）证明：

是以为周期的余弦周期函数.
（2）证明：

即：对任意存在使得
（3）证明：
设为方程在上的解；

为方程在上的解
即：“为方程在上的解”的充分条件是“为方程在上的解”.
下面证明：对任意都有
①当时，
②当时，

1）

2）

3）
③当时，
考查方程在上的解
设其解为
为方程在上的解并且有
又也为方程在上的解

综上可知：对任意都有 证毕.

【例16】（青浦区2013届高三一模23）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
我们把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；
（3）对于确定的时，，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】因为关于原点对称，……………………………………………………1分
又函数的图像关于直线对称，所以
①………………………………………………………2分
又，
用代替得③……………………………………………3分
由①②③可知，
．即函数是偶函数；…………………………………………4分
（2）当时，
；……10分
（3）当时，
…………………12分
显然时，函数在区间上不是单调函数…………………13分
又时，是增函数，
此时……………………………………14分
若函数在区间上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有
，………………………………………………………16分
解得．………………………………………………………18分


【巩固训练】
1．（2011一模浦东）23．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.
（1）判断函数是否是“S-函数”；
（2）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；
（3）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）若是“S-函数”，则存在常数，使得 (a+x)(a-x)=b.
即x2=a2-b时，对xR恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，
因此不是“S-函数”.……………………………………………………3分
若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，
即存在常数对（a, 32a）满足.
因此是“S-函数”………………………………………………………6分
（2）是一个“S-函数”，设有序实数对（a, b）满足:
则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.
当a=时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数.……………………7分
因此，,
则有.
即恒成立. ……………………………9分
即,
当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.
因此满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=.…12分
(3) 函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，
于是
即,
，.……………………14分
.……16分

因此, ………17分

综上可知当时函数的值域为.……………18分


2．（黄浦区2013届高三一模理科23）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类P数对”．设函数的定义域为，且．
（1）若是的一个“P数对”，求；
（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；
（3）若是增函数，且是的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①与+2；②与．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）由题意知恒成立，令，
可得，∴是公差为1的等差数列，
故，又，故． ………………………………3分
（2）当时，，令，可得，
解得，即时，， ………………………4分
故在上的取值范围是．
又是的一个“P数对”，故恒成立，
当时，，
…， …………………6分
故为奇数时，在上的取值范围是；
当为偶数时，在上的取值范围是． …………………8分
所以当时，在上的最大值为，最小值为3；
当为不小于3的奇数时，在上的最大值为，最小值为；
当为不小于2的偶数时，在上的最大值为，最小值为．………10分
（3）由是的一个“类P数对”，可知恒成立，
即恒成立，令，可得，
即对一切恒成立，
所以…，
故． …………………………………14分
若，则必存在，使得，
由是增函数，故，
又，故有．…………………………………18分

3．对于函数，，若存在，对任意的，都有，则称为“幅度函数”，其中称为在上的“幅度”．
（1）判断函数是否为“幅度函数”，如果是，写出其“幅度”；
（2）已知为正整数，记关于的函数的“幅度”为，求数列的前项和；
（3）在(2)的条件下，试比较与的大小，并说明理由．
【难度】★★
【解答】（1）
∴ ∴ 是“幅度函数”，其“幅度”为2
（2）
∵ 在单调递增，在单调递减
∴ 当时，
当时，
∴ 的“幅度”
∴
（3）=

令是关于的减函数，∴
∴ ≤


4．已知函数（其中且），是的反函数.
（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；
（3）设，其中. 记，数列的前项的和为（），求证：.
【难度】★★★
【解析】（1）转化为求函数在上的值域，
该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范围为
（2）的定义域为，……………………… 5分
定义域关于原点对称，又， 故，
所以函数为奇函数。
下面讨论在上函数的增减性. 任取，，设，令，
所以 因为，所以.
又当时，是减函数，所以.
由定义知在上函数是减函数.
又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减函数.
（3） ； 因为，，所以，
。
设时，则 ， 且，
由二项式定理，
所以，
从而。



函数的性质的综合要熟练函数的各种的性质，及函数图像和图像变换，数形结合的方法，换元法，函数方程思想，转化化归在解题过程总的应用，解题过程中不要忘了定义域.审题时充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法和观点提高函数意识.



1．已知且，函数，，记
（1）求函数的定义域及其零点；
（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.
【难度】★★★
【解析】（1）（且）
，解得，所以函数的定义域为
令，则……（*）方程变为
，，即
解得，
经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为
所以函数的零点为.
（2）（）


设，则函数在区间上是减函数
当时，此时，，所以
①若，则，方程有解；
②若，则，方程有解.


2．已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）求的反函数；
（3）对于任意的，解不等式：.
【难度】★★★
【解析】(1) 定义域为 是奇函数，
将代入验证，得为奇函数成立，
（2）的值域为
设则， 9分
（3）
当时，；当时，；

3．已知函数的定义域是且，,当时,．
(1)求证:是奇函数；
(2)求在区间)上的解析式；
(3)是否存在正整数，使得当x∈时,不等式有解?证明你的结论．
【难度】★★★
【解答】(1) 由得,
由得, 故是奇函数.
(2)当x∈时,，.
而，.
当x∈Z)时,，，
因此.
（3）不等式即为，
即.
令，对称轴为，
因此函数在上单调递增.
因为，又为正整数，
所以，因此在上恒成立，
因此不存在正整数使不等式有解.

4．（2011一模嘉定理23）设，函数的图像与函数的图像关于点对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；
（3）设函数，，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关．试求的取值范围．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）设点是函数图像上任意一点，关于点对称的点为，则，，于是，，…………（2分）
因为在函数的图像上，所以，……（3分）
即，，所以（或）．………………（5分）
（2）令，因为，，所以，所以方程可化为，
即关于的方程有大于的相异两实数解．…………（8分）
作，则，…………（11分）
解得．所以的取值范围是．…………（12分）
（3），．
当时，因为，所以，，所以函数不存在最大值．…………（13分）
当时，，令，则，，
当，即时，在上是增函数，存在最小值，与有关，不符合题意．…………（15分）
当，即时，在上是减函数，在上是增函数，当即时，取最小值，与无关．…………（17分）
综上所述，的取值范围是．…………（18分）


5．已知：函数，在区间上有最大值4，最小值1，设函数．
（1）求、的值及函数的解析式；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；
（3）如果关于的方程有三个相异的实数根，求实数的取值范围．
【难度】★★★
【解答】（1），由题意得：
得，或得（舍去）
，，，
（2）不等式，即，
设，，，
（3），即．
令，则
记方程的根为、，当时，原方程有三个相异实根，
记，由题可知，或

6．（虹口区2013届高三一模23）（本题满分18分）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．
（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值；
（3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）由得，根据诱导公式得．
具有“性质”，其中．………4分
（2）具有“性质”，．
设，则，
……………………6分
当时，在递增，时
当时，在上递减，在上递增，且，时
当时，在上递减，在上递增，且，时
综上所述：当时，；当时，…11分
（3）具有“性质”，，，
，从而得到是以2为周期的函数．
又设，则，
．
再设（），
当（），则，
；
当（），则，；
对于，（），都有，而，，是周期为1的函数．
①当时，要使得与有2013个交点，只要与在有2012个交点，而在有一个交点．过，从而得
②当时，同理可得
③当时，不合题意．
综上所述…………………………18分

7．【2012年浦东新区一模理科第23题】（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.
如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为.
（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度；
（2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：




函数性质 结论
奇偶性
单调性 递增区间
递减区间
零点




（3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1），…………2分
；……4分
（2）；……7分


函数性质 结论
奇偶性 偶函数
单调性 递增区间 ，
递减区间 ，
零点 ，
…………10分
（3）（i）易知直线恒过原点；
当直线过点时，，此时点到直线的距离为，直线
与曲线相切，当时，恒在曲线之上，
（ii）当直线与曲线相切时，由点到直线
的距离为，，此时点到直线的距离为，直线
与曲线相离；
（iii）当直线与曲线相切时，由点到直线
的距离为，，此时点到直线的距离为，
直线与曲线相交于两个点；
（ⅳ）当直线过点时，，此时点到直线的距离为
，直线与曲线相交于两个点；
点到直线的距离为，直线与曲线
相交于两个点；
（ⅴ）当时，直线与曲线有且只有5个交点；
（ⅵ）当时，直线与曲线有且只有1个交点；
因为函数的图像关于轴对称，………………14分
故综上可知：
（1）当时，方程只有1实数根；
（2）当时，方程有3个实数根；
（3）当时，方程有5个实数根；
（4）当或时，方程有7个实数根；
（5）当时，方程有9个实数根；
（6）当时，方程有11个实数根.……………………18分











知识梳理

例题解析

反思总结

课后练习




















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