【备战2020】高考数学二轮专题：专题五 等差等比数列通项及求和问题 复习学案（上海地区专用）

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【备考2020】高考数学二轮专题复习学案
专题五 等差等比数列通项及求和问题
课题 等差等比数列通项及求和问题 单元 第章 学科 数学 年级 十二
学习 目标 1．理解数列的概念，了解数列通项公式求法，了解递推公式，掌握数列求和的几种方法； 2．了解数列通项公式的意义，在熟练掌握数列求通项方法中的待定系数法后，需要掌握数下列求通项的几种方法； 3．理解与的关系，培养观察能力和化归能力．
重点 1．掌握数列求和以及求通项的几种方法；2．理解与的关系，培养观察能力和化归能力．
难点 理解与的关系，培养观察能力和化归能力
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30



一、数列求通项的几种常用方法
1、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。
2、累加法：如型
3、累乘法: 如型
4、待定系数法：形如（其中均为常数，）
（或,其中均为常数）
（1）若，则用累加法解；
（2）若，则一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。
（3）若且，则一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：
再利用等差数列解决；
若且，则变形为（为非零常数）
则利用（3）可知，可两边同除以，得：，则数列为等差数列。
取倒数法：形如（其中p，q均为非零常数），两边同时取导数得，再用待定系数法解决。

数列的前项和的求法

公式法
利用熟知的的公式求数列前项和的方法称为公式法；
常用的公式有：（1）差数列求和公式：
（2）等比数列求和公式：
（3）；；
2、错位相减法
如数列的通项公式，其中、一个是等差数列，一个是等比数列求和时。
裂项法求和
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的这种数列求和的方法就是裂项相消法。
（1） （2）
（3） （4）
分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
倒序相加法
这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个。


一、等差等比数列通项问题
【例1】已知数列满足，对任意都有．求数列()的通项公式；
【难度】★★
【答案】．
【解析】 对任意都有成立，，
∴令，得．
∴数列()是首项和公比都为的等比数列． ∴．

【例2】设个不全相等的正数依次围成一个圆．设，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足，求数列的通项公式；
【难度】★★
【答案】
【解析】因是公比为的等比数列，
从而，由，
故解得或（舍去），因此，又 ，解得
从而当时，
当时，由是公比为的等比数列得

因此

【例3】设数列，，，已知，，，，，（）．
（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意，为定值；
【难度】★★
【答案】（1）（2）证略
【解析】（1）因为，，所以（），
所以，，
，
即数列是首项为，公比为的等比数列，所以．
（2），
因为，所以，，
猜测：（）．用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立；
②假设当（）时结论成立，即，那么当时，，即时结论也成立．
由①，②得，当时，恒成立，即恒为定值．

【例4】（1）已知数列中，，求数列的通项公式；
（2）已知数列中，，求数列的通项公式.
【难度】★★
【答案】（1）， （2），
【解析】（1）
， ；
（2）令，得
，， ，

【例5】已知数列中，，求数列的通项公式.
【难度】★
【答案】，
【解析】由 得
又，所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，


．

【例6】已知数列中，，，的前项和为，且满足（）．求数列的通项公式；
【难度】★★
【答案】．
【解析】由（），得（），
所以（）， 即（）
又，所以
．

【例7】已知数列满足：，且，设.
（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，是否存在连续的三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
【难度】★★
【答案】（1）（2）在数列中，有且仅有连续三项构成等差数列。
【解析】（1）由已知，可知． 于是，
① 当为奇数时，当
；
② 当为偶数时，当．
又因为，故数列的通项公式为
（2）由（1）易得，假设在数列中，存在连续三项
构成等差数列，则，代入后经过化简，可得
经过分类讨论，易得，在数列中，有且仅有连续三项构成等差数列。

【例8】已知数列满足，对任意的，都有.
（1）求数列的递推公式；
（2）数列满足，求数列的通项公式；
【难度】★★
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 对任意都有成立，
∴令，得．
∴数列()的递推公式是
（2）由(1)可知，数列()是首项和公比都为的等比数列，于是．　
由()，
得()．
故．
当时，．
所以


【巩固训练】
1．已知为数列的前项和， ，求的通项公式.
【难度】★
【答案】，
【解析】当时，，
当时，.
是以为公比的等比数列，其首项为，，

2．已知数列的前项和为,数列是首项为，公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；
【难度】★★
【答案】（1） （2）证略
【解析】（1）由条件得，即，所以，.
（2）由（1）可知
所以，，,
，
由及得
依次成递增的等差数列,
所以，
满足为常数，所以数列为等比数列.

3．记数列的前项和为．已知向量（）和
（）满足.求数列的通项公式；
【难度】★★
【答案】，
【解析】∵∴= =
=
∴；
4．设数列的前项和为，已知，设，
求数列的通项公式．
【难度】★
【答案】，
【解析】依题意，，即，



5．设各项均为正数的数列的前项和为且满足：求数列的通项公式。
【难度】★★
【答案】
【解析】由及 两式相减，得


由于各项均为正数，故由上式，可得
于是数列是以为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为：

6．设数列与满足：对任意，都有，．其中为数列的前项和．
（1）当时，求的通项公式，进而求出的通项公式；
（2）当时，求数列的通项．
【难度】★★
【答案】（1）（2）证略
【解析】由题意知，且，
两式相减得，即①
（1）当时，由①知
于是
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列．
故知，，
再由，得．
（2）当时，由①得[

若，，
若，，
若，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故
，


二、等差等比数列求和问题
【例9】已知数列的通项，求此数列的前项和
【难度】★★
【答案】，
【解析】， ①
②
①-②，得：

.
，

【例10】已知数列的通项公式为， ，求数列的前项和.
【难度】★
【答案】，
【解析】

，

【例11】已知数列的前项和满足条件，其中．
（1）求证：数列成等比数列；
（2）设数列满足．若 ， 求数列的前项和。
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）由题得
所以， 故有 又，解得，
所以，数列成等比数列
（2）由（1）得，则，故有
所以


【例12】设各项均为正数的数列的前项和为且满足：设
【难度】★★
【答案】
【解析】由及 两式相减，得

由于各项均为正数，故由上式，可得
于是数列是以为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为：
因为
故
于是

【例13】已知数列满足，对任意都有．数列满足()，求数列的前项和；
【难度】★★
【答案】（1）1－，
【解析】 对任意都有成立，，
∴令，得．
∴数列()是首项和公比都为的等比数列． ∴．
由()，得
()．
故．
当时，．于是，
当时，；
当时，

又时，，综上，有

【例14】已知复数，其中，，，是虚数单位，且
，．（1）求数列，的通项公式；
（2）求和：①；②．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1），，．
由
得，
数列是以1为首项公比为3的等比数列，数列是以1为首项公差为2的等差数列，，．
（2）①由（1）知，,数列是以为首项，公比为的等比数列．．
②当，时，
当，时，

又也满足上式


【例15】已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为d，为其前n项和，且满足
,．数列满足,，为数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）（法一）在中，令，，
得 即
解得，，
又时，满足，
，
．
①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立．
，等号在时取得． 此时 需满足． [来源:www.shulihua.net]
②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立．
是随的增大而增大， 时取得最小值．
此时 需满足． 综合①、②可得的取值范围是．


【巩固训练】
1．已知数列的通项公式为， ，求数列的前项和.
【难度】★
【答案】，
【解析】
，

2．记数列的前项和为．已知向量（）和
（）满足.设，求数列的前项的和为．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】∵∴=
==∴；

当时，
∵
∴
当时，

当时，

故

3．已知，数列是首项为，公比也为的等比数列，令，求数列的前项和。
【难度】★★
【答案】，
【解析】，

①-②得：，
，

4．数列的各项均为正数，，,，
当时，设，求
【难度】★★
【答案】，
【解析】，



时， ；当时，，
方法二：
由（2）知，


时，；当时，

5．设是正数组成的数列，其前项和为，且对任意的，与2的等差中项等于与2的等比中项．设，，数列的前项和为．
① 求证：对任意的，都有；② 设数列的第项是数列中第项，求的值．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】由题意，得
当时，，得；当时，．
所以，．
整理，得．由题意知，所以．
所以数列为首项为2，公差为4的等差数列，即．
①只要证：对任意的，存在，使得，即．
因为是奇数，所以为偶数，故，存在正整数，使得
所以，数列中的所有项都在数列中，即．
② ，解得，，．

6．已知数列满足()．
（1）求(用含的式子表示)；（2）记数列的前项和为，求(用含的式子表示)．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）由题知，有．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）∵，∴．
∴．
又，
当为偶数时，
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
当为奇数时，
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
综上，有


三、数列单调性与最值问题
【例16】已知数列数列的通项公式为，其前项和为，设，求数列()中最小项的值．
【难度】★★
【答案】
【解析】当时，；
当时，

又时，，综上，有
，， ∴，．

∴数列()是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为3．

【例17】已知数列数列的通项公式为，
设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵，∴当时，，，
依据题意，有，即．
当为大于或等于4的偶数时，有 恒成立，又 随增大而增大，
则，故的取值范围为；
当为大于或等于3的奇数时，有恒成立，故的取值范围为；
当时，由，得．
综上可得，所求的取值范围是．

【例18】已知数列的通项公式设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】，
所以，由得，
因为，所以，
当为奇数时，随的增大而递增，且，
当为偶数时，随的增大而递减，且，
所以，的最大值为，的最小值为．
由，得，解得．
所以，所求实数的取值范围是．


【巩固训练】
1．数列满足，（），令，是公比为的等比数列，设.
（1）求证：；（2）设的前项和为，求的值；
（3）设前项积为，当时，的最大值在和的时候取到，求为何值时，取到最小值.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）
；
（2）当时
当时
①当，；②当，；
（3）即

递增 递减 且

或时，取到最小值；

2．数列满足，，令，是公比为的等比数列，设.（1）求证：；（2）设的前项和为，求的值；
（3）设前项积为，当时，求为何值时， 取到最大值.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）

（2）当时
当时

（3）； ；
取到最大值；

3．已知数列的通项公式为，，是数列的前项和，（1）证明：；（2）证明：对任意给定的，均存在，使得当时，中的恒成立．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1），
所以，
． 所以，．
（2），因为，
所以随着的增大而增大．
若，则，化简得，
因为，所以，所以，
，
当，即时，取即可．
当，即时，记的整数部分为，
取即可．综上可知，对任意给定的，均存在，
使得当时，（2）中的恒成立．


四、等差等比数列的综合应用
【例19】在数列中，，.
（1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.
【难度】★★
【答案】（1）， （2）=，
【解析】（1）由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()
（2）由（1）知 =
而,又是一个典型的错位相减法模型，
易得 =，

【例20】设数列的前项的和，
求首项与通项； （2）设， 证明：
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）依设，得，∴
当时，，
整理得，∴，得通项，
（2）∵
∴，




【例21】已知为数列的前项和，点在直线上．
（1）若数列成等比，求常数的值； （2）求数列的通项公式；
（3）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；
若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）由题意知，，得，
，；
（2），，由⑴知：
， ；
（3）设存在，使成等差数列，
即 ，， （※），
因为，为偶数，为奇数，这与（※）式产生矛盾．
所以这样的三项不存在．

【例22】已知数列的前项和为，且．
（1）若，求数列的前项和；
（2）若，求证：数列为等比数列，并求出其通项公式；
（3）记，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1），且
（常数）
故数列为以1为首项，公差为2的等差数列，所以.
（2）当时，，，解得，；
，当时，
所以，即
，由得，只有，即
故数列是以为首项，公比为的等比数列；且.
（3）由（2）可得，当,
由得，所以，故


即
所以欲使恒成立，只需即可，其中，故

【例23】各项均为正数的数列的前项和为，且对任意正整数，都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）如果等比数列共有项，其首项与公比均为，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新的数列．求数列中所有项的和；
（3）如果存在，使不等式 成立，求实数的范围．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）当时，由得
当时，由，得
因数列的各项均为正数，所以
所以数列是首相与公差均为等差数列, 所以数列的通项公式为．
（2）数列的通项公式为
数列中一共有项，其所有项的和为



（3）由得
记
因为，当取等号，所以取不到
当时，的最小值为
（）递减，的最大值为
所以如果存在，使不等式 成立
实数应满足，即实数的范围应为．

【例24】已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，……，如此下去，一般地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）．
（1）指出，并求与的关系式（）；
（2）求（）的通项公式，并指出点列，，…，，… 向哪一点无限接近？说明理由；
（3）令，数列的前项和为，设，求所有可能的乘积的和．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）．设，，由题意得 ．

（2）分别用、代换上式中的n得
()
又，，
因，所以点列，，…，，…向点无限接近
（3），．
，.
将所得的积排成如下矩阵：
，设矩阵的各项和为.
在矩阵的左下方补上相应的数可得
矩阵中第一行的各数和，
矩阵中第二行的各数和，
………
矩阵中第行的各数和，
从而矩阵中的所有数之和为.
所有可能的乘积的和

．


【巩固训练】
1．已知正数列的前项和满足：，
（1）求证：是一个定值；
（2）若数列是一个单调递增数列，求的取值范围；
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）
，任意,,
（2）计算
数列的前几项：，，，，，
整个数列成单调递增的充要条件是 解得

2．已知定义在上的函数，对任意正整数、，都有
，且.
（1）若对任意正整数，有，求、的值，并证明为等比数列；
（2）若对任意正整数，使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）令，得，
则，
令，得，则，
令，得，
即， 则，
所以，数列是等比数列，公比，首项.
（2）令，得，即
则是等差数列，公差为2，首项.
故.
设，则
当时，，即
当时，，即时，是递减数列.
所以，
从而，即
则，解得．

3．已知定义在R上的函数，对任意实数都有，且.
（1）若对任意正整数，有，求、的值，并证明为等比数列；
（2）设对任意正整数，有．若不等式对任意不小于2的正整数都成立，求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：（1）令，得，
则，
令，得，
则，
令，得，
即， 则，
所以，数列是等比数列，公比，首项.
（2）令，得，即
则是等差数列，公差为2，首项，
故，.
设，则
，
所以是递增数列，，
从而，即，则，解得．

4．已知，且，，数列、满足，，，．
(1) 求证数列是等比数列；
(2) 已知数列满足，试建立数列的递推公式(要求不含)；
(3) 若数列的前项和为，求．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】(1) ∵， ∴,.
∵，，
∴．
又， ∴数列是公比为3，首项为的等比数列．
(2) 依据(1)可以，得．于是，有，
即．又，则.
因此，数列的递推公式是．
(3) 由(2)可知，数列是公差为1，首项为的等差数列，于是，．
故． 所以．

5．数列的各项均为正数，，，
（1）当时，若数列是成等比数列，求的值；
（2）当，时，设，参照高二教材书上推导等比数列前项求和公式的推导方法，求证：数列是一个常数；
（3）设数列是一个等比数列，求（用的代数式表示）；
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1），
设等比数列的公比是，则可计算出，
时，，
（2）证明：



（3）

数列是一个等比数列，所以求出公比为

当时，，
当时，，

求数列的通项公式以及前项和是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，熟练掌握求数列通项公式的几种方法有利于更好地解决数列相关问题，求数列的前项和的基础是对于数列中递推数列的通项公式的求法要很好地掌握，一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，在基础上数列进行进一步的研究，即对于数列求和中和不等式、函数，行列式等结合考查学生的综合能力。

1．数列，满足，.
（1）求证：是常数列；
（2）若是递减数列，求与的关系；
（3）（理）设，当时，求的取值范围.
（3）（文）设，，求的通项公式．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】解：(1) 1分
2分
3分
4分
5分
是常数列； 6分
(2) 是递减数列,

7分
,
猜想恒成立 8分
9分
时是递减数列 10分
（3）、（理）整理得 11分
12分
13分
， 14分
15分
16分

单调递减， 17分
18分
（3）（文）
11分
12分
13分
14分
15分
16分
17分
18分

2、本题共3个小题，每小题6分.
设数列的前n项和为且
（1）求的值，并求出及数列的通项公式；
（2）设求数列的前n项和
（3）设在数列中取出项，按照原来的顺序排成一列，构成等比数列.若对任意的数列，均有试求的最小值.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】解：（1）当时，
当时，
当时， ……2分
由此，猜测：
下面用数学归纳法证明：
（i）当时，结论显然成立；
（ii）假设当时，；则当时，由条件，得

即当时，结论也成立.
于是，由（i），（ii）可知，对任意的 ……4分
当又
于是数列的通项公式为: ……6分
(2)因 ……8分
当n为奇数时，

当n为偶数时，

故 ……12分
（3）因由于数列的项子列构成等比数列，
设其公比为则
设
（i）当时，因 故
……15分
（ii）当时，因是数列中的项，故

综合（i），（ii），得：在数列中的所有项等比子数列中，
其和最大的是：故由题意知：的最小值为 ……18分
另解（3）：因由于数列的项子列构成等比数列，
设其公比为则

（i）当时，因 故
……15分
（ii）当时，因 故

综合（i），（ii），得：在数列中的所有项等比子数列中，
其和最大的是：故由题意知：的最小值为 ……18分

3、（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知数列满足（），首项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）数列满足，记数列的前项和为，是△ABC的内角，若对于任意恒成立，求角的取值范围．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】解：（1）数列满足（）
∴，∵，∴为常数，…………2分
∴数列是等差数列，首项为，公差为…………4分
∴ …………6分
（2）


…………10分
（3）数列满足，则，…………11分

因此有： = …………13分
∴由题知△ABC中，恒成立，而对于任意，成立，
所以即， …………16分
又，即
∴，即 ． …………18分

4、（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知各项为正的数列是等比数列，且，；数列满足：对于任意，有=.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3） 在数列的任意相邻两项与之间插入个（）后，得到一个新的数列. 求数列的前2016项之和.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】解：(1)由得，。 ………2分 ………4分
(2)，得. ………5分
当时，. ………8分
于是. ………10分
（3）设数列的第项是数列的第项，即.
当时，. ………12分
，，， ………14分
设表示数列的前n项之和.
则.
其中，。又，
则
=
=
=
因此，. ………18分

5、（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
数列满足：，且成等差数列，其中。
（1）求实数的值及数列的通项公式；
（2）若不等式成立的自然数恰有个，求正整数的值．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：（1）由题意：
∵成等差数列，，……………………（2分）
解得：………………………………………………………………………（3分）
∵，
,……………………（5分）
解得：………………………………………………………………………（6分）
（2）解：∵ ，
∵，显然成立……………………………………………………（8分）
当时，， …………………………………………………（9分）
设
………………（11分）
当时，；当时，；
，有
若还需有2解，则，即，………（12分）
解得， 所以正整数………………………………………（14分）

6、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知各项不为零的数列的前项和为，且，（）
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设数列满足：，且，求正整数的值；
（3）若、均为正整数，且，，在数列中，，，求.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】【解】（1）当时，，，故；……1分
当时，
变形得，由于，所以……2分
所以，，，于是，.……3分
由于，所以数列是以1首项，1为公差的等差数列.…………4分
（2）由（1）得，所以……5分
，且，当时，…………7分
故数列是以为首项，为公比的等比数列.……8分
于是，即……9分
，故，解得.…………10分
（3）则由（1）得，，……12分
…………14分
…………16分

故.……18分

7、（本题满分16分，本题共有3小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(2)小题满分6分）
　　已知数列与满足．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，且数列是公比等于2的等比数列，求的值，使数列也是等比数列；
（3）若，且，数列有最大值M与最小值m，求的取值范围．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】解：（1）
所以数列为等差数列................................2分
因为，所以.............................4分
（2）数列是公比等于2的等比数列，，
所以，所以
所以
...........7分
因为数列是等比数列
所以，所以，
当时， ，数列是等比数列
所以..................................................10分
(3)当 时，
所以


当时，上式依然成立，所以................12分
，
因为，所以
即数列的偶数项构成的数列是单调增数列
同理
即数列的奇数项构成的数列是单调减数列
又，所以数列的最大值
，所以数列的最小值.....14分
所以
因为，所以
所以..................................................16分








知识梳理

例题解析

反思总结

课后练习






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