2020届三轮冲刺 上海高考数学基础知识回顾辅导讲义：第八讲 向量 （教师版）

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2020届上海高考数学基础知识回顾辅导讲义
第八讲 向量

一、向量的概念：
★（1）向量的概念：既有大小又有方向的量．向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以任意平移）
★（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；
★（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；
★（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；
★（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：//，规定零向量和任何向量平行；
★（6）位置向量：起点为原点的向量．
二、向量的几何运算：
1、向量的基本运算：
★（1）向量的加法运算：三角形法则和平行四边形法则；
★（2）向量的减法运算：三角形法则；（减数指向被减数）
★（3）实数与向量的乘积：实数与非零向量的积是一个向量，记作．
①，与方向相同，长度为；
②，与方向相反，长度为；
③，．
2、向量的数量积：
★（1）向量的夹角：对于两个非零向量和，如果以为原点，作，那么射线与的夹角叫做和的夹角，的取值范围是；
★（2）向量的投影：在上的投影为，为向量和的夹角；
★（3）向量的数量积公式：＝；（）
★★（4）的几何意义：等于其中一个向量的模与另一个向量在向量的方向上的投影的乘积．
★3、向量的夹角公式：．
4、向量的平行与垂直：
★（1）向量的平行：；
★（2）向量的垂直：．
★★5、平面向量分解定理：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使．
6、三点共线：
★（1）平面上有三点，若，则三点共线；
★★（2）设不平行，点在上存在实数使得．
三、向量的坐标表示与运算：
1、向量的坐标表示：
★（1）：轴正方向单位向量，：轴正方向单位向量；
★（2）向量的坐标表示：平面直角坐标系中，以，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标；
★（3）．
2、向量的模：
★（1）；
★（2）已知，则的单位向量．
3、向量的坐标运算：
★（1）；
★（2）；
★（3）．
4、向量的平行与垂直：
★（1）向量的平行：；
★（2）向量的垂直：．
5、定比分点：
★★（1）定比分点公式：已知、是直线上任一点，且，令，则：；
★（2）中点公式：若点为、两点中点，则；
★★（3）重心公式：若点为重心，且、、，
则．

一、向量的概念与运算（加法、减法、数乘）
【例1】在下列命题中：（1）若，则；（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；（3）若，则是平行四边形；（4）若是平行四边形，则；（5）若，则；（6）若，则．其中正确的是_______．
【难度】★
【答案】（4）（5）

【例2】已知，，则=_____．
【难度】★
【答案】

【例3】已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】A

【例4】已知，，若，则实数_______．
【难度】★
【答案】-2

【例5】如图：在梯形中，且，与相交于，设，，用表示，则= ．
【难度】★★
【答案】
【例6】在直角坐标系内，点在直线上，且，求出的坐标．
【难度】★★
【答案】


【巩固训练】
1．判断下列命题是否正确，并说明理由．
①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
【难度】★
【答案】①不正确；②不正确；③正确；④不正确．

2．设，向量，且 ，则________．
【难度】★
【答案】

3．已知向量若，则实数的值是 ．
【难度】★★
【答案】

4．已知，是直线上一点，若，求点的坐标．
【难度】★★
【答案】

5．有以下命题成立：设点是线段的三等分点，则有．将此命题推广，设点是线段的六等分点，则．
【难度】★★★
【答案】

6．已知点是所在平面上的两个定点，且满足,若，则正实数= ．
【难度】★★★
【答案】

二、向量的数量积
向量数量积运算的基本方法：1、向量的分解；2、坐标法；3、向量数量积的几何意义．
【例7】已知向量，则向量在向量的方向上的投影是 　　 ．
【难度】★★
【答案】

【例8】平面向量与的夹角为，，，则 ．
【难度】★
【答案】
【方法】

【例9】在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则
的最大值为___________．
【难度】★★
【答案】
【方法】向量的分解；坐标法

【例10】已知的外接圆的圆心为，则 ．
【难度】★★★
【答案】
【方法】向量数量积的几何意义


【巩固训练】
1．在平行四边形中，若，则___________．
【难度】★★
【答案】

2．已知向量与向量，，，、的夹角为，当时，
的最大值为 ．
【难度】★★
【答案】

3．在中，，是斜边上的两个三等分点，则的值为 ．
【难度】★★
【答案】4
【方法】向量的分解；坐标法

4．如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值是__________．

【难度】★★
【答案】8
【方法】向量数量积的几何意义

三、向量的应用
（一）三点共线的应用；
（二）三角形“四心”：
1．是的重心．
2．经过的内心．
3．为的外心．
4．为的垂心．
【例11】已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为 .
【难度】★★
【答案】
【方法】三点共线

【例12】设是平面内两个不共线的向量，，，.若三点共线，则的最小值是 ．
【难度】★★
【答案】
【方法】平面向量分解定理，三点共线

【例13】已知同一平面上的向量，，，满足如下条件：
①；②；③，则的最大值与最小值之差是 ．
【难度】★★
【答案】
【方法】三角形“四心”
【巩固训练】
1．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 ．
【难度】★★
【答案】2
【解析】取特殊位置，设与重合，与重合，则，所以．
【方法】三点共线

2．已知点是的重心，内角所对的边长分别为，且
，则角的大小是 ．
【难度】★★
【答案】
【方法】三角形重心


零向量、向量的夹角
【例1】已知点，，则与共线的单位向量为
【难度】★
【答案】和
【解析】与向量同向的单位向量为
【易错点】①长度为1个单位的向量叫单位向量；②与向量同向的单位向量为。学生记忆时大多会记得第二点，容易忽略反向的单位向量。

【变式训练】
1．与垂直的单位向量为
【难度】★
【答案】和

2．已知向量，其中、、均为非零向量，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】

【例2】设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则 （ ）
、若确定，则唯一确定 、若确定，则唯一确定
、若确定，则唯一确定 、若确定，则唯一确定
【难度】★★
【答案】
【解析】不妨设，，过点作的平行线，设，则点在上，即，显然当时，最小。此时，（图1），或者（图2），即，所以若确定，则唯一确定；若确定，则可能有两解，故选


【易错点】题目的难度在于未知量多，分析起来不好着手，容易犯错。这类向量的题型需要定量来分析和求解。

【变式训练】
1．已知向量，满足：对任意，恒有，则（ ）
、 、 、 、
【难度】★★
【答案】

2．已知与，要使最小，则实数的值是
【难度】★★
【答案】

3．已知是向量、的夹角，且对任意的，的最小值为1，则
【难度】★★
【答案】

【例3】在中，过中线中点任作一直线分别交、于、两点，设，，则的最小值是
【难度】★★
【答案】
【解析】由为中点知，又，，为中点，故，、、三点共线，，，当且仅当，即，时取等号。
【易错点】若（、为常数），则、、三点共线的充要条件是。

【变式训练】
1．在中，为边上任意一点，为的中点，，则的值为
【难度】★★
【答案】1

2．在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则的值为
【难度】★★
【答案】2

3．已知等差数列的前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过原点），则
【难度】★★
【答案】100

4．已知在平面直角坐标系中，，，为原点，且（其中，，均为实数），若，则的最小值是
【难度】★★
【答案】

【例4】已知，，分别为中，，的对边，点为的重心，且，则为 （ ）
、等腰直角三角形 、直角三角形 、等腰三角形 、等边三角形
【难度】★★
【答案】
【解析】点是的重心，，又，，即，，不共线，，即，为等边三角形，故选
【易错点】运用平面向量判定图形形状，主要是将“边相等、边平行、边垂直”分别对应转化为“向量的模相等、向量的平行、向量的垂直”等问题。

【变式训练】
1．已知为所在平面内一点，满足，则一定是（ ）
、等腰直角三角形 、直角三角形 、等腰三角形 、等边三角形
【难度】★★
【答案】

2．已知，若对任意，，则（ ）
、必为锐角三角形 、必为钝角三角形 、必为直角三角形 、答案不确定
【难度】★★
【答案】

3．在中，若，则是（ ）
、等边三角形 、锐角三角形 、钝角三角形 、直角三角形
【难度】★★
【答案】

4．已知非零向量与满足且，则为（ ）
、三边均不相等的三角形 、直角三角形 、等腰非等边三角形 、等边三角形
【难度】★★
【答案】

【例5】若点为所在的平面内一点，并且满足，则点的轨迹经过的（ ）
、重心 、垂心 、内心 、外心
【难度】★★
【答案】
【解析】，与垂直，不妨设中点为，则，可得与垂直，所在直线为的中垂线，故点的轨迹经过的外心。
【易错点】在转化的关系时，利用是关键。

【变式训练】
1．已知的三内角、、所对边的长依次为、、，为该三角形所在平面内的一点，若，则是的（ ）
、重心 、垂心 、内心 、外心
【难度】★★
【答案】

2．已知为所在平面内一点，满足，则 为的（ ）
、重心 、垂心 、内心 、外心
【难度】★★
【答案】

3．已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
、重心 、垂心 、内心 、外心
【难度】★★
【答案】

【例6】设点在的内部，且有，则的面积与的面积之比为
【难度】★★
【答案】3
【解析】可根据“奔驰引理”，若点在的内部，，则必有。也可以常规的转化向量去求解。
【易错点】在求解平面三角形的面积比时，对向量的条件需要转化成同底或等底、同高或等高，需要将题中的向量条件转化成较少的向量，再利用共线的条件的找到等比分点来求解。

【变式训练】
1．已知是内一点，且满足，记、、的面积依次为、、，则
【难度】★★
【答案】

2．已知点在内部，且有，则与的面积之比为
【难度】★★
【答案】

3．是内一点，，则的面积与的面积之比为
【难度】★★
【答案】





基础知识

P

O

B

A

题型与方法













易错题型






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