横峰中学高一自招班数学试卷答案
一、选择题
1. C 2.B 3.D 4.B 5.B 6. A 7.B 8.B 9.C 10.C 11.B 12.A
二、填空题
13. 9 14. ? 3
15. 6 3 16. 2? 3
三、解答题
17. 5解：（1） 角α为第一象限角，且 sin? ? ，
5
? cos? ? 1? sin 2? ? 1? ( 5) 2 2 5? ，
5 5
? tan? sin? 1? ? .
cos? 2
3
3sin? ? 2cos? 3tan? ? 2 ? 2
（2）原式? ? ? 2 ? 7 .
sin? tan? 1
2
18. 解：因为数列?an?是各项均为正数的等比数列， a3 = 2a2 +16，a1 ? 2，
所以令数列?an?的公比为q，a3 = a q21 =2q2 ， a2 = a1q = 2q，
所以 2q2 = 4q +16，解得 q ? ?2 (舍去)或 4，
?a ? 2 4 a ? 2?4n?1 ? 22n?1所以数列 n 是首项为 、公比为 的等比数列， n ．
(2)因为bn ? log2 an，所以bn ? 2n ?1，bn+1 = 2n+1，bn+1 - bn = 2，
所以数列?b ?是首项为1、公差为 2的等差数列， S = 1+2n-1n n 2 ?n = n2
19. 解：（1）连结 BD交 AC于F ，连结 EF ．因为底面 ABCD是矩形，
所以 F 为 BD中点．又因为 E为 PB 中点，所以PD / /EF ．因为PD ?平面 ACE，
EF ?平面 ACE，所以 PD / /平面 ACE．
（2）取CD的中点M ，连结 PM ，因为 PC ? PD ? 2，CD ? AB ? 2，M 是CD的中
点，所以 PM ?CD，且 PM ?1，
因为平面 PCD ?平面 ABCD， PM ?平面 PCD，
平面 PCD∩平面 ABCD ? CD， 所以 PM ?平面 ABCD，
1 1 1 1 1
因为 E为 PB 中点，所以VE?ABC ? VP?ABC ? ? ? ?2?1?1? ．2 2 3 2 6
1
所以三棱锥 E ? ABC C 的体积为 ．
6
sin A
20. 解：（1）∵ 2c ?sin B ? 3a ? tan A ? 3a ? ，
cos A
∴ 2c ?sin B ?cos A ? 3a ?sin A，
2 2 2
∴ 2c ?b ?cos A ? 3a ?a， ∴ 2cb b ? c ? a? ? 3a 2 ，
2bc
2 2
∴ b2
b ? c
? c2 ? 4a2 ， ∴ 2 ? 4；a
（2） a ? 1时，b2 ? c2 ? 4a2 ? 4，
2 2 2
∵ cos A b ? c ? a 3? ? 且 2bc ? b2 ? c2 ? 4，
2bc 2bc
∴ cos A 3? ，∴当角 A最大时， cos A
3
? ，
4 4
7
此时 sin A ? 1? cos 2 A ? ，
4
?b2 ? c2 ? 4
? ? b ? c ? 2，
?b ? c
∴ S 1ABC ? bc ? sin A
1
? ? 2 7 7? 2? ? .
2 2 4 4
uuur uur uuur
21.解：（1）由题意知， ，即 uuur uuur uur uuur3OC ?OA? 2OB 2(OC ?OB) ?OA?OC，
uuur uur
所以 2BC ?CA，即. uuurAC
uur =2
CB
（2）易知 uur uuur uuuvOA ? (1,cos x)，OB ? (1? cos x, cos x)， AB ? (cos x,0)，
则 uuuv ， uuur ，
OC ? (1 2? cos x, cos x) AB ? cos x
3
所以 f (x) ? cos2 x ? 2mcos x ?1，
令 t ? cos x，
1
则 g(t) ? t 2 ? 2mt ?1， t?[ ,1]，其对称轴方程是 t ?m.
2
3
当m ? 时， g(t)的最大值为 g(1) ?1? 2m ?1? 3 1，解得m ? ? ；
4 2
m 3当 ? 时， g(t) 1 1 7的最大值为 g( ) ? ?m ?1? 3，解得m ? ? （舍去）.
4 2 4 4
1
综上可知，实数m的值为? .
2
22.解：（1）根据题意，圆O : x2 ? y2 ? r2 (r ? 0)的圆心为（0，0），半径为 r，
1 2
则圆心到直线 l的距离 d ? ? ，
1?1 2
若直线 l : x ? y ?1? 0截圆O : x2 ? y2 ? r2 (r ? 0)所得的弦长为 14，
则有 2 r 2 1? ? 14 ，解可得 r = 2，则圆的方程为 x2 ? y2 ? 4；
2
（2）直线 l1的方程为 (1? 2m)x ? (m ?1)y ?3m ? 0，即 (x ? y)?m?2x ? y ?3? ? 0，
? x ? y ? 0 ?x ?1
则有 ? ，解得 ? ，即 P的坐标为（1，1），
?2x ? y ?3 ? 0 ?y ?1
点M ,N 在圆O上，且PM ? PN，Q为线段MN的中点，则 |MN |? 2 | PQ |，
设 MN 的中点为 Q（x，y），
则OM 2 ?OQ2 ?MQ2 ?OQ2 ? PQ2 ，即 4 ? x2 ? y2 ? (x ?1)2 ? (y ?1)2 ，
1 2 1 2? x ? ? y ? 3化简可得： ? ? 2 ?
? ? ? ? 即为点 Q的轨迹方程.
? ? ? 2 ?? 2
横峰中学高一自招班数学试卷 8．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方
命题：曹雪峰 考试时间：120 分钟 形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面
一、选择题：（本题包括 12 小题，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意）
积之和为( )
1．已知集合M ? ?x ?4 ? x ? 2?，N ? {x x2 ? x ? 6 ? 0?，则M ?N =( )
A．{x ?4 ? x ?3? B．{x ?4 ? x ??2? C．{x ?2 ? x ?2? D．{x 2 ? x ?3? A．10 B．12
2．已知 a = log20.2,b = 20.2,c = 0.20.3，则( )
C．14 D．16
A．a < b < c B．a < c < b C．c < a < b D．b < c < a 9．关于函数 f (x) ? sin | x | ? | sin x |有下述四个结论：
3．记 S ?n为等差数列{an}的前 n项和，公差 d ? 2， a1，a3， a4成等比数列，则 S8 ?（ ） ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ ,? ）单调递增
2
A．-20 B．-18 C．-10 D．-8
③f(x)在[??,?]有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2
4．在VABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a,b,c .若 a sinBcosC? c sinBcosA = 1b 且
2 其中所有正确结论的编号是( )
a ? b，则 B ?（ ） A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
? ? 2? 5?
A． B． C． D． 10．设函数 f (x)6 3 3 6 满足对任意的m,n?Z? ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n), 且 f (1) ? 2，则
r r r r r r r r r
5．已知非零向量 a,b满足 a ? 2 b ，且 ?a ?b? ? b， a与b的夹角为（ ） f (2) f (3) f (2011)? ? ???? ? （ ）
π π 2π 5π f (1) f (2) f (2010)
A． B． C． D．
6 3 3 6 A．2011 B．2010 C．4020 D．4022
6．已知函数 f ?x? ? 3x ? 3x ?8 ，用二分法求方程3x ?3x ?8 ? 0 在 x? ?1,3?内近似解的过程
x y 2 111．若两个正实数 ， 满足 ? ?1，且不等式 x ? 2y ?m2 ? 2m ? 0 有解，则实数m的取
中，取区间中点x0 = 2，那么下一个有根区间为 ( ) x y
A．（1,2） B．（2,3） C．（1,2）或（2,3）都可以 D．不能确定 值范围为（ ）
7．将函数 y = 3cosx + sinx x∈ R 的图象向左平移 m m > 0 个单位长度后，所得到的图象关
A． (??,?2)? (4,??) B． (??,?4) (2,??) C． (?2,4) D． (?4, 2)
于 y轴对称，则m的最小值是（ ）
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们
? ? ? 5?
A． B． C． D．
12 6 3 6 推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列
1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20， （2）设bn ? log2 an，求数列{bn}的前 n项和.
21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数 N：N>100 且该数列
19．（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD⊥平面 ABCD，AB=2，BC=1，
的前 N项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是( )
PC ? PD ? 2 ，E 为 PB 中点．
A．440 B．330 C．220 D．110
（1）求证：PD∥平面 ACE；
二、填空题：（本题包括 4 小题，共 20 分）
?2x ? 3y ? 6 ? 0， （2）求三棱锥 E-ABC 的体积．
?
13．若变量 x，y满足约束条件 ?x ? y ?3 ? 0， 则 z=3x–y的最大值是___________.
?
?y ? 2 ? 0，
20．（12 分）?ABC中， a,b,c分别是角 A,B,C所对的边且 2csin B ? 3a tan A .
14．若 f ?cosx? ? 2cos2x f (sin ?，则 ) 等于 ．
12 b2 ? c2
（1）求 的值；
15．△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c
π
.若b ? 6,a ? 2c,B ? 2，则△ABC的面积为 a
3
__________. （2）若 a ? 1，当角 A最大时，求?ABC的面积．
uuur 1 uur 2 uuur
2
16. 在平面直角坐标系 xoy中，已知点 A?1,1? ,B ?1,?1? P ? x ? 4? ? y 2，点 为圆 ? 4上任意一 21. （12 分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A,B,C满足OC ? OA? OB .3 3
uuur
S AC
点，记?OAP和?OBP的面积分别为 S1 和 S2 ，则 1 的最小值是 .S （ 1 ）求 uur 的值； （ 2 ）已知 A?1,cos x ? ,B ?1
?
?cos x, cos x ?, x? ??? ,0
?
? ，若函数2 CB ? 3 ?
三、解答题：（本题包括 6 题，共 70 分）
uur uuur uuur
17．（10 5分）已知角α为第一象限角，且 sin? ? ． f ?x? ?OAgOC
? 2? ??2m ? 3 ?
AB 的最大值为 3，求实数m的值.
5 ? ?
（1）求 cos?、tan? 的值；
22．（12 分）已知直线 l : x ? y ?1? 0截圆O : x2 ? y2 ? r2 (r ? 0) 所得的弦长为 14 ．直线 l1 的
3sin ?? ?? ??2cos ?? ?? ?
（2）求 ? ? ? 的值． 方程为 (1? 2m)x ? (m ?1)y ?3m ? 0．cos ? ?? ?
? 2 ? （1）求圆O的方程；
18．（12 分）已知{an}是各项均为正数的等比数列， a1 ? 2,a3 ? 2a2 ?16 . （2）若直线 l1 过定点 P，点M ,N 在圆O上，且PM ? PN ，Q为线段MN的中点，求Q点
（1）求{an}的通项公式； 的轨迹方程
