北师大版七年级数学下册5.3 简单的轴对称图形（有关等腰三角形的问题）

等腰三角形中易漏解或多解得问题
求长度时忽略三边关系
1．已知等腰三角形两边长为3和7，则周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．11
2．已知一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1、x+1、3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．
（1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．
解：①当2x﹣1＝x+1时，解x＝　 　，此时　 　构成三角形（填“能”或“不能”）．
②当2x﹣1＝3x﹣2时，解x＝　 　，此时　 　构成三角形（填“能”或“不能”）．
（2）请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长．






3．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长．







当腰和底不明求角度时没有分类讨论
4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
5．有一个三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数 。
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，求这个三角形的各个内角的度数．






答案：
B．
2．解：（1）①当2x﹣1＝x+1时，解x＝2，此时3，3，4，能构成三角形．
②当2x﹣1＝3x﹣2时，解x＝1，此时1，2，1不能构成三角形．
故答案为2，能，1，不能；
（2）③当x+1＝3x﹣2，解得x＝，此时2，，能构成三角形，周长为7．
3．解：设三角形的腰为x，如图：
△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线，
则有AB+AD＝9或AB+AD＝15，分下面两种情况解．
（1）x+x＝9，∴x＝6，∵三角形的周长为9+15＝24cm， ∴三边长分别为6，6，12
∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系 ∴舍去；
（2）x+x＝15 ∴x＝10 ∵三角形的周长为24cm ∴三边长分别为10，10，4．
综上可知：这个等腰三角形的底边长为4cm，腰长为10cm．
4． C．
5．40°或25°或10°
6．解：①此等腰三角形为钝角三角形，
∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°， ∴此三角形的顶角＝90°+35°＝125°，
∴等腰三角形的各角的度数为125°，27.5°，27.5°；
②此等腰三角形为锐角三角形，
∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，
∴此三角形的顶角＝90°﹣35°＝55°，
所以等腰三角形的各角的度数为55°，62.5°，62.5°．
等腰三角形中辅助线的作法
利用“三线合一”作辅助线
已知等腰作垂线（或中线、角平分线）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE=∠ABC. 若BE=2，则BC=_____.






2．如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE．求证：DE⊥BC．

3．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且AE＝AF，求证：DE＝DF．

4．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．




方法总结：当看到等腰三角形时要马上想到边相等，角相等，三线合一。解题技巧：①等腰三角形中有底边中点，常连底边上的中线解题；②遇等腰三角形说明图形中的垂线关系，常作底边上的高解题。

巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形（拓展）
拓展点拨：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，由“ASA”易得△ABD≌△ACD ，从而得AB=AC，BD=CD。即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形。




5．已知：△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD．
求证：BD＝2CE．

6．如图，在△ABC，∠CAB＝∠CBA＝45°，CA＝CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N．
（1）求证：∠BCN＝∠CAE；
（2）求证：AE＝CN+EN（请用多种方法证明）




7．已知，如图AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB+CD．




方法总结：用截长补短法说明线段的和差关系：截长法：在长边上截取一条与某一条短边相等的线段，再说明剩下的线段与另一短边相等；补短法：延长短边得到与长边相等的线段，再说明延长线与另一短边相等。

答案：
4
2、证明：如图，过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAM，
∵AD＝AE， ∴∠D＝∠AED， ∴∠BAC＝∠D+∠AED＝2∠D， ∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D，
∴∠BAM＝∠D， ∴DE∥AM，
∵AM⊥BC， ∴DE⊥BC．
3、证明：如图，连接AD．
∵△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∵EF∥BC，∴AD⊥EF，又AE＝AF，∴AD垂直平分EF，∴DE＝DF．
4、证明：作EF⊥AC于F，
∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC，∵AC＝2AB，∴AF＝AB，
∵AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAE和△FAE中，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠ABE＝∠AFE＝90°．
∴EB⊥AB．

5、证明：延长BA和CE交于点M，
∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE，
在△BME和△BCE中，∴△BME≌△BCE（ASA），∴EM＝EC＝MC，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD+∠BDA＝90°，
∵∠BEC＝90°，∴∠ACM+∠CBE＝90°，
∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM，
在△ABD和△ACM中，∴△ABD≌△ACM（ASA），∴DB＝MC，∴BD＝2CE．

6、证明：（1）∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠ACB＝90°，
∵CN⊥AE，∴∠COE＝90°，∴∠CEA+∠1＝90°，∠CEA+∠2＝90°，∴∠BCN＝∠CAE；
（2）法一：如图1，延长CN至F，使CF＝AE，连接BF，
在△CAE和△BCF中，∴△CAE≌△BCF（SAS），∴∠ACE＝∠CBF＝90°，CE＝BF，
∵∠CBA＝45°，∴∠FBN＝45°＝∠EBN，∵E为BC中点，∴CE＝BE＝BF，
在△EBN和△FBN中，，∴△EBN≌△FBN（SAS），∴NE＝NF，∴AE＝CN+EN．
法二：如图2，在AE上截取AF＝CN，
在△ACF和△CBN中，，∴△ACF≌△CBN，∴CF＝BN，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠ECF＝45°＝∠B，
在△BEN和△CEF中，，∴△BEN≌△CEF，∴EN＝EF，∴AE＝AF+EF＝CN+EN．




7、证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC．
在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD．（SAS）
∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．
又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ABD＝∠EBD＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．
∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．
∴BC＝BE+EC＝AB+CD．
等腰三角形与全等、垂直平分线、角平分线的综合
一．选择题
1．如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝125°，则∠C的度数是（　　）

A．55° B．45° C．35° D．65°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠C
3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　）

A．13 B．15 C．17 D．19
4．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝60°，则∠CDE的度数为（　　）

A．45° B．50° C．51° D．52°
5．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．24 B．30 C．36 D．42

6．如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
7．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（　　）

A．① B．② C．①② D．①②③
8．等腰△ABC纸片（AB＝AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B＝（ ）度．

A．48° B．60° C．72° D．80°
二．填空题
9．如图，是一个三角形测平架，已知AB＝AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上，AD和BC的关系为　 　．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为　 　．

11．如图，在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D，按此做法进行下去，∠EA3A2的度数为　 　，∠A的度数为　 　．

12．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　．

13．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于P，PM⊥AC于M，若PM=6cm，则点P到AB的距离为 .


三．解答题
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D．
（1）已知∠A＝50°，求∠CBE的度数；
（2）已知△BCE的周长为9，BC＝4，求AB的长．

15．如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，分别交AB于点E，交BC于点F，P是BM上的另一点，连接PE，PF．
（1）若∠EDF＝124°，求∠ABC的度数；
（2）求证：PE＝PF．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A＝40°．
（1）求∠NMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；
（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．




17．如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．例如，在△ABC中，如果∠A＝50°，∠B＝100°，那么△ABC就是一个“倍角三角形”．
（1）已知倍角三角形的一个内角为150°，求这个三角形的另两个角的度数；
（2）已知倍角三角形是一个等腰三角形，求它的顶角的度数；
（3）如果第（2）小题中等腰三角形的底边长为4cm，求它的腰长．




答案：
一．选择题
1、A． 2、A． 3、B． 4、A． 5、B． 6、C． 7、D． 8、C．
二．填空题
9．AD垂直平分BC．
10．9．
11．解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠A＝∠BA1A＝＝＝80°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝＝＝40°；
同理可得，∠EA3A2＝20°，
故答案为：20° 80°．
12．

解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；
故答案为：120°或75°或30°．
13、6㎝
三．解答题
14．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，
∵AB的垂直平分线DE，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝50°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°；
（2）∵△BCE的周长为9，BC＝4，∴4+BE+CE＝9，∵AE＝BE，∴AE+CE＝9﹣4＝5，∴AC＝5，
∵AB＝AC，∴AB＝5．
15．解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°，
∵∠EDF＝124°，∴∠ABC＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°；
（2）∵BM平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴ED＝FD，∠EDB＝∠FDB，∴∠EDP＝∠FDP，
在△EDP和△FDP中，，∴△EDP≌△FDP（SAS），∴PE＝PF．
16．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，
∴∠NMB＝90°﹣∠ABC＝20°；
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°，∴∠ABC＝∠ACB＝55°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的于点M，∴MN⊥AB，
∴∠NMB＝90°﹣∠ABC＝35°；
（3）∠NMB＝∠A．
理由：∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，
∴∠NMB＝90°﹣∠ABC＝∠A．

17．解：（1）∵倍角三角形的一个内角为150°，∴另两个内角的和是180°﹣150＝30°，
∴另两个角的度数是20°和10°；
（2）设三角形两个相等角的度数是x，则顶角为2x或x，
∵x+x+2x＝180°或2x+x＝180°解得x＝45°或72∴2x＝90°，x＝36°，
故它的顶角的度数是90°或36°．
（3）∵第（2）小题中等腰三角形是等腰直角三角形，设腰长为y，
∴2y2＝42，
解得y＝2cm，
故它的腰长为2cm．