2020年九年级数学中考二轮专题复习：胡不归和阿氏圆问题学案（无答案）

2020年中考复习专题：“胡不归”问题
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：
(1)胡不归问题；
(2)阿氏圆.
本文简单介绍“胡不归”模型

【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?

【模型建立】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小
【问题分析】
，记 ，即求BC+kAC的最小值

【问题解决】
构造射线AD使得sin∠DAN＝k，，CH＝kAC.

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.


【模型总结】
在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型
问题转化为“PA+PC”型.
而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.


【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE
上的一个动点，则CD+的最小值是



【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于






【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝(x+2)(x-4)(k为常数，且0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝x+b与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式
(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?








【2018重庆中考】抛物线与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。(为突出问题，刚去了两个小问)





【2019绵阳中考】在平面直角坐标系中，将二次函数 (a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下半移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA＝1经过点A的一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+PA的最小值














阿氏圆问题
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆

如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB＝k(k≠1)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆

下面给出证明
法一:首先了解两个定理
(1)角平分线定理:如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角半分线，则

证明：，，即

(2)外角半分线定理:如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则

证明:在BA延长线上取点E使得AE＝AC，连接BD，则△ACD△AED(SAS)，
CD=DE且AD平分∠BDE，则，即.





接下来开始阿氏圆证明步骤:

如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，
故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；
作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，
故N点为定点，即∠APB外角半分线交直线AB于定点；
又∠MPN＝90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆。

法二:建系
不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A(-m，0)，则B(m，0)，设P(x，y)，PA＝kPB，即:

解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质:
（1）
应用:根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O
(2)△OBP∽△OPA，即，变形为OP2＝OAOB.
应用:根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置
(3)
应用:已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值
练习1:已知A、B求圆轨迹
已知在坐标系中，点A(-1，0)，点B(3，0)，P是平面中一点且PA:PB=3:1，求P点轨迹圆圆心位置

【分析】
既然已经了解的“阿氏圆”的相关内容，不妨直接用上结论.
取M(2，0)满足MA:MB＝3:1，取N(5，0)满足NA:NB＝3:1，
P点轨迹即是以MN为直径，MN中点O为圆心的圆.




练习2:已知圆轨迹反求点A或B
已知在坐标系中，点A(-1，0)，P是以点A（）为圆心，长为半径的圆。平面中求一点
B使得PA:PB=3:1，求B点坐标.

【分析】
像这样的问题一般就是“阿氏圆”构图，已知圆与A点，求另外一点B.
思路1:构造相似三角形。
考虑OP2＝OAOB，将OP＝、OA＝代入可得:OB＝，故B点坐标为(3，0)

思路2:根据“阿氏圆”中的特殊位置
当P点运动到M点位置时，有MA:MB＝3:1，考虑到A(-1，0)、M(2，0)，可得MB＝1，
考虑到A、M、B共线且B点在M点右侧，
可得B点坐标为(3，0).
补充:这里的圆O与点A及PA:PB的比值都是配套存在的，思路2虽有投机取巧之嫌，却是根据“阿氏圆”定义求出的B点，还好用。
那么这个玩意和最值有什么关系呢?
比如可以将练习2稍加修改，即可变成最值问题:
练习2(改):已知在坐标系中，点A(1，0)，P是以点（）为圆心，长为半径的圆，
Q(2，2)，求PQ+PA的最小值.

【分析】
问题中的PQ暂时不用管，先处理好PA，考感到P点轨是个圆，且要构造PA，大胆猜测:平面中存在一点B使得P在圆上任意位置，均满足：，即有PB=PA.
其实就是逆用“阿氏圆”，这样的题目一般就是给出圆与A点位置，求另一点B的位置可转化PA.
点B求法如上练习2，剩下的求量小值就很简单了

练习3:关于系数
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆，分別交
AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则PA+PB的最小值为

【分析】确定了问题关键是构造“PA＂，已知了P点所在的，已知了A点，即在平面中找一点M使得“PM＝PA”
思路1:构造相似三角形
点M与A、C共线，且M点必满足:CP2＝CMCA，
代入CP、CA，即可得:22＝4CM，得:CM=1，即可确定M点位置，
PA+PB＝PM+PB问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可

【问题剖析】
（1）这里为什么是PA?
答:因为圆C半径为2，CA＝4，比值是1:2，△CMP与△CPA的相似比为1:2所以构造的是PA，也只能构造PA
（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少?
答:根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为.
【练习1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是

问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案

【练习2】、如图，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则PDPC的最大值为



【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC＝2，根据题意要求构造PC，在BC上取M，使得此时PM＝1，则在点P运动的任意时刻，均有PM＝PC，从而将同题转化为求PDPM

连接PD，对于△PDM， PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PDPM＝DM为最大值




【2019山东日照第22题】
如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝5x+5与x轴、y轴分別交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标；
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、MC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
(3)如图2，若P点是半径为2的圆B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.