河南省平顶山市第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理）试题 Word版含答案

2019~2020学年下学期高二质量检测（四）
高二理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．已知复数z＝，则“θ＝”是“z是纯虚数”的(　　)
A．充要条件　 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件　 D．既不充分也不必要条件
2. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…、癸亥，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的(　　)
A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年　 D．丁未年
3. 某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量(单位：kg)服从正态分布N(10,0.12)，现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在区间(10,10.2)内的袋数，则X的数学期望约为(　　)
注：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σA．171　 B．239　　 C．341　 D．477
4．若不等式|x－1|＋|x＋m|≤4的解集非空，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－5，－3] B．[－3,5] C．[－5,3]　 D．[3,5]
5．某次联欢会要安排3个歌舞类节目, 2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120 C.144 D.168
6．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（　　）
A． B．4 C． D．6
7. 等比数列中，，，函数，则
A． B． C． D．





8. 已知函数，，则其导函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)
A．－80 B．－40　　 C．40　 D．80
10. 甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是(　　)
A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对 B．甲与丁相邻
C．戊与己相邻 D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻
11.若关于的不等式的解集为（），且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．定义在上的函数的导函数为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．抛掷一个骰子，若掷出5点或6点就说试验成功，则在3次试验中恰有2次成功的概
率为__________.
14．观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
照此规律，第n个等式为 ．
15．随机变量的取值为0,1,2，若，，则=________.
16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是　　　　　　（写出所有正确结论的编号）．
①； ②； ③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关．
三、解答题（共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线:，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求，的极坐标方程；（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积
18．（本题满分12分）有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得50分，没有出现音乐则扣除150分(即获得－150分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓是否出现音乐相互独立．
(1)玩一盘游戏，求至少出现一次音乐的概率；
(2)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(3)许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析其中的道理．
19．（本题满分12分）A市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士——12369”的绿色环保活动小组对2014年1月——2014年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：
指数API [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] >300
空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 Ziyuanku.com中度污染 中重度污染 重度污染
天数 Ziyuanku.com4 13 18 30 9 11 15
（1）若A市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数（记为t）的关系
为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成列联表，并判断是否有的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？
非重度污染 重度污染 合计
供暖季
非供暖季节
合计 100
下面临界值表供参考．
0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001
2．072 2．706 中anku.com3．841 www.ziyuanku.com5．024 6．635 7．879 10．828
参考公式：．
20. (本小题满分12分) “既要金山银山，又要绿水青山”。某风景区在一个直径为米的半圆形花圆中设计一条观光线路。打算在半圆弧上任选一点（与不重合），沿修一条直线段小路，在路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再沿弧修一条弧形小路，在小路的一侧（注意是一侧）种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计。


（1）设（弧度），将绿化带的总长度表示为的函数；
（2）求绿化带的总长度的最大值。
21.（本小题满分12分）
设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点.
（I）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（II）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.
22.（本小题满分12分）已知函数．
(Ⅰ) 求函数的单调区间和极值；
(Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．证明当时，；
(Ⅲ)如果且证明．










































高二数学下学期质量检测四（理数）参考答案
一、CCBCB CCCDD DC
二、13. 14. n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 15. ；16.②④
三、计算题
17. 解：
（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为……………………………5分
（Ⅱ）将代入，得，解得，故，即
由于的半径为1，所以的面积为………………………10分

18. (1)每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立，∴玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是p＝1－3＝.
(2)设每盘游戏获得的分数为X，则X可能取值为－150，10,20,50，
P(X＝－150)＝C03＝，
P(X＝10)＝C2＝，
P(X＝20)＝C2＝，
P(X＝50)＝C3＝.
∴X的分布列为
X －150 10 20 50
P
(3)由(2)得E(X)＝－150×＋10×＋20×＋50×＝－，
∴每盘游戏得分的平均数是－，得负分．
∴玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．
19、（1）P（A）=；（2）95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．
【解析】
（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈（200，600]元”为事件A
由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，
∴P（A）=
（2）根据以上数据得到如表：
非重度污染 重度污染 合计
供暖季 22 8 30
非供暖季 63 7 70
合计 85 15 100
K2的观测值K2=≈4．575＞3．841
所以有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．
考点：分段函数、频率分布表、古典概型、独立性检验．

20. （1）设圆心为，连结。
在直角中，，弧的长；
所以，其中。

（2），，
令，可得，所以。
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以。
所以绿化带的总长度的最大值为米。
21．解：（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.

22. 解：（Ⅰ）解：
令,解得x=1
当x变化时，，的变化情况如下表
X () 1 ()
+ 0 -
极大值
所以在()内是增函数，在()内是减函数.
函数在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即

（Ⅲ)证明：（1）
若，由（Ⅰ）及，得与矛盾
（2）若，由（Ⅰ）及，得与矛盾
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即>2.