【备战2020】高考数学二轮专题：专题六 数列的综合问题 复习学案（上海地区专用）

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【备考2020】高考数学二轮专题复习学案
专题六 数列的综合问题
课题 数列的综合问题 单元 第章 学科 数学 年级 十二
学习 目标 1．掌握常见的数列与函数等其他知识的综合问题解法； 2．掌握数列中的新定义类型问题的解法； 3．掌握数列中的整数问题解法．
重点 1．掌握常见的数列与函数等其他知识的综合问题解法； 2．掌握数列中的新定义类型问题的解法； 3．掌握数列中的整数问题解法．
难点 1．掌握常见的数列与函数等其他知识的综合问题解法； 2．掌握数列中的新定义类型问题的解法； 3．掌握数列中的整数问题解法．
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30


高考数学中的数列解答题一般位于最后一题或倒数第二题，在等差等比数列的基础上，融合了函数、方程与不等式的内容，重点考察学生的思维方法与能力，具有较高的综合性，难度较大．常见的类型有三类：一类是等差等比数列的基本性质问题，以及衍生出的递推数列与周期数列问题，通过这些问题考察数列的基本方法与能力；第二类是数列与函数、不等式结合的相关问题，考察综合利用这两部分的知识方法与技巧解决数列相关问题的能力；最后一类是新定义数列的问题，这类问题难度很大，考察学生探究能力与创新能力．

一、数列与其他知识的综合
1、数列与函数、向量
【例1】已知函数，其中．定义数列如下：，,．
（1）当时，求，，的值；
（2）是否存在实数，使，，构成公差不为的等差数列？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由；
（3）求证：当时，总能找到，使得．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）因为，故，因为，所以，
，．
（2）解法一：假设存在实数，使得，，构成公差不为的等差数列．
则得到，，．
因为，，成等差数列，所以，
所以，，化简得，
解得（舍）,．
经检验，此时的公差不为0，
所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列．
方法二：因为，，成等差数列，所以，
即，
所以，即．
因为公差，故，所以解得．
经检验，此时，，的公差不为0．
所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列．
（3）因为,
又 , 所以令
由，，……，，
将上述不等式全部相加得，即，
因此要使成立，只需，
所以，只要取正整数，就有．
综上，当时，总能找到，使得．

【例2】已知数列的前项和为,数列是首项为，公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求；
（3）对（2）题中的，设，，动点满足，点的轨迹是函数的图像,其中是以为周期的周期函数,且当时, ,动点的轨迹是函数的图像，求.
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）由条件得，即，所以.
（2）由（1）可知,
所以，，
.
由及得依次成递增的等差数列,
所以.
(3)由（2）得,即，
当时，,
由是以为周期的周期函数得，,
即.
设是函数图象上的任意点，并设点的坐标为,
则.
而,
于是，,
所以，.

【例3】我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：， ．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设表示向量与间的夹角，若，，求；
（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）．
（2），

或都算对．
（3） ，
假设 中的第 项最小，由 ，，
当时，有，又由可得，
即，.
，或（舍），.
即有；由，得，又，；
故数列中存在最小项，最小项是．

【例4】我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由；
（3）设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数，不等式
恒成立，求实数的范围．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）
数列是等比数列．
（2） ， ．
假设 中的第 项最小，由 ，，
当时，有，又由可得，
即，.
，或（舍），.
即有；由，得，又，；
故数列中存在最小项，最小项是
（3） ，
不等式化为：对任意正整数恒成立.
设.
又 ，数列单调递增
，要使不等式恒成立，只要，
， ， ，
所以，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是



2、数列与二项式、算法
【例5】用记号表示，，其中，.
(1)设()，求的值；
(2)若，，，…，成等差数列，求证：；
(3)在条件(1)下，记，计算的值.
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）将代入中得，
，
其中，
……3分，所以
（2）设等差数列的通项公式为，其中为公差
则
因为……7分，所以
所以
（3）令，则
，则……12分，所以
根据已知条件可知，
，所以
所以.
【例6】用记号表示，，其中，．
（1）设（），求的值；
（2）若，，，…，成等差数列，求证：；
（3）在条件（1）下，记，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）将代入中得，
，
其中，
……3分，所以．
（2）设等差数列的通项公式为，其中为公差，
则
因为……7分，所以，
所以．
（3）令，则，
，则……12分，所以，
根据已知条件可知，
，所以
将、代入不等式得，
当为偶数时，，所以；
当为奇数，，所以；
综上所述，所以实数的取值范围是．

【例7】已知数列的前项和为,数列是首项为，公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；
（3）对（2）题中的，求集合的元素个数.
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）由条件得，即,所以，.
（2）由（1）可知
所以，，,
，
由及得依次成递增的等差数列,
所以，
满足为常数，所以数列为等比数列.
（3）①当为奇数时，
，
同样，可得,
所以，集合的元素个数为
；
当为偶数时，同理可得集合的元素个数为.

【例8】（本题满分18分，其中第一小题5分，第二小题6分，第三小题7分）
已知数列是仅从这三个整数中取值所得到的数列，为常数，经过右框图中的程序处理，输出和.
（1）若输入及一个确定的值，且输出的和分别满足，.试求总体的标准差；
（2）若输入，，且输出的和分别满足，.试求满足条件的数列的个数；
（3）已知数列中恰有项的值为，且输出的的值为，若对于任意的都有恒成立，试求数列的项数的最小值.
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：由框图知

（1）由得，即总体均值为，从而总体标准差为

（2）设中取值为的分别有个，则

解得
从而数列共有个。
（3）设中取值为的分别有个，则
由得
即
将 代入，得

整理得 ，此不等式对一切恒成立
当时
所以，又因为
得 为偶数，则满足条件的的最小值为.
故数列至少有项.


3、数列与解析几何
【例9已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，……，如此下去，一般地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）．
（1）指出，并求与的关系式（）；
（2）求（）的通项公式，并指出点列，，…，，… 向哪一点无限接近？说明理由；
（3）令，数列的前项和为，试比较与的大小，并证明你的结论．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1），
设，，由题意得 ．
．
（2）分别用、代换上式中的n得
()，
又，，
因，所以点列，，…，，…向点无限接近．
（3），．
，只要比较．

当n=1时，
当n=2时，，
当n>2时，．

【例10】已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，……，如此下去，一般地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）．
（1）指出，并求与的关系式（）；
（2）求（）的通项公式，并指出点列，，…，，… 向哪一点无限接近？说明理由；
（3）令，数列的前项和为，设，求所有可能的乘积的和．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1），
设，，由题意得 ， ．
（2）分别用、代换上式中的n得
()
又，，
因，所以点列，，…，，…向点无限接近．
（3），．
，.
将所得的积排成如下矩阵：
，设矩阵的各项和为.
在矩阵的左下方补上相应的数可得
矩阵中第一行的各数和，
矩阵中第二行的各数和，
矩阵中第行的各数和，
从而矩阵中的所有数之和为.
所有可能的乘积的和
．

【例11】过坐标原点作倾斜角为的直线交抛物线于点，过点作倾斜角为的直线交轴于点，交于点；过点作倾斜角为的直线交轴于点，交于点；过点作倾斜角为的直线，交轴于点，交于点；如此下去……．又设线段的长分别为，数列的前项的和为．
（1）求；
（2）求，；
（3）设，数列的前项和为，若正整数成等差数列，且，试比较与的大小．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）如图，由是边长为的等边三角形，得点的坐标为，又在抛物线上，所以，得，
同理在抛物线上，得；
（2）如图，法1：点的坐标为，即点，所以直线的方程为或，因此，点的坐标满足
消去得，所以
又，故
从而 ①
由①有 ②
②-①得
即，又，于是
所以是以为首项、为公差的等差数列，

，
法2：点的坐标为，即点，
所以直线的方程为或
因此，点的坐标满足消去得，
又，所以，从而 ①
以下各步同法1
法3：点的坐标为，
即点，所以，
又在抛物线上，得
即
以下各步同法1
（3）因为，
所以数列是正项等比数列，且公比，首项，
因正整数成等差数列，且，设其公差为，则
为正整数，所以，，
则，，，
=

而

因为，所以，
又为正整数，所以与同号，
故，所以，．

【例12】如图，，，…，，…是曲线上的点，，
，…，，…是轴正半轴上的
点，且，，…，，
… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）．
（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；
（2）求证：（）；
（3）设，对所有，恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）依题意，有，，
（2）证明：①当时，可求得，命题成立；
②假设当时，命题成立，即有，
则当时，由归纳假设及，
得．
即
解得（不合题意，舍去）
即当时，命题成立．
综上所述，对所有，．
（3）

．
因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，
即．由题意，有． 所以，．
【巩固训练】
1．如图，过坐标原点作倾斜角为的直线交抛物线于点，过点作倾斜角为的直线交轴于点，交于点；过点作倾斜角为的直线交轴于点，交于点；过点作倾斜角为的直线，交轴于点，交于点；如此下去……．又设线段的长分别为，的面积分别为数列的前项的和为．
（1）求；
（2）求，；
（3）设，数列的前项和为，对于正整数，若，且，试比较与的大小．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）如图，由是边长为的等边三角形，得点的坐标为，又在抛物线上，所以，得，
同理在抛物线上，得．
（2）如图，法1：点的坐标为，即点，所以直线的方程为或，因此，点的坐标满足
消去得 ， 所以
又，故
从而 ①
由①有 ②
②-①得
即，又，于是
所以是以为首项、为公差的等差数，

，
法2：点的坐标为，即点，
所以直线的方程为或
因此，点的坐标满足消去得，
又，所以，从而 …①
以下各步同法1
法3：
点的坐标为，
即点，所以，
又在抛物线上，得
即
以下各步同法1
（3）因为，
所以数列是正项等比数列，且公比，首项，
则，，，
=（注意）

而
（注意）

因为，所以
又均为正整数，所以与同号，
故，所以，．

2．已知轴上的点满足（），其中；点在射线上，满足 （），其中．
（1）用表示点的坐标；
（2）设直线的斜率为，求的值；
（3）求四边形面积的取值范围．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）设则由
得

(1)
(n-1)
将（1）+（2）+…+（n-1）累加
得
坐标为
设， 则

，坐标为
（2）
（3）
记，则
时，，时
即故
又
则S的取值范围为

3．如图，在轴的正半轴上依次有点，其中点、，且，在射线上依次有点,点的坐标为（3，3），且.
（1）求（用含的式子表示）；
（2）求点、的坐标（用含的式子表示）；
（3）（理）（3）设四边形面积为，问中是否存在两项，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有这样的两项，若不存在，请说明理由.
（文）设四边形面积为，问中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由.
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1），

（2）由（1）的结论可得

的坐标，
（）且
是以为首项，为公差的等差数列
的坐标为.
（3）（文）连接，设四边形的面积为，
则

由，，成等差数列，
即，①
∵，∴是单调递减数列.
当时，，①式右边小于0，矛盾，
当时，得，易知是唯一解，∴，，成等差数列.
即当时，中不存在，，三项成等差数列.
综上所述，在数列中，有且仅有，，成等差数列.
（理）连接，设四边形的面积为，则

不妨设成等差数列，
又是单调递减数列.是等差中项，即，∴，即
1）当,时，得,是唯一解，∴，，成等差数列
2）当，时，即，① ∵，∴是单调递减数列.当时，，①式右边小于0，矛盾，
3）当时，不可能成立.
∵，∴数列是递减数列，
当时，，由（）知，
∴（当且仅当时等号成立）
∴对任意（）恒成立，
即当时，中不存在不同的三项恰好成等差数列.
综上所述，在数列中，有且仅有成等差数列.

4.如图，，，…，，…是曲线上的点，，，…，，…
是轴正半轴上的点，且，，…，
，… 均为斜边在轴上的等腰直角
三角形（为坐标原点）．
（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；
（2）猜测并证明数列的通项公式；
（3）设，集合，，若，求实常数的取值范围．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）依题意，有，，
（2）由得，
即．猜测．
证明：①当时，可求得，命题成立；
②假设当时，命题成立，即有，
则当时，由归纳假设及，
得．
即
解得（不合题意，舍去）
即当时，命题成立．
综上所述，对所有，．
（3）

．
因为函数在区间上单调递增，且，所以．

由，有或， 故，．


二、新定义问题
【例13】对于一组向量()，令，如果存在()，使得，那么称是该向量组的“向量”．
（1）设()，若是向量组的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若()，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知均是向量组的“向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与()关于点对称，求的最小值．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：(1)由题意，得：，则，解得：
(2) 是向量组的“向量”，证明如下：，
当为奇数时，
，故
即
当为偶数时，
故
即
综合得：是向量组的“向量”
(3)由题意，得：，，即
即，同理，
三式相加并化简，得：
即，，所以
设，由得：
设，则依题意得：，
得
故

所以

当且仅当()时等号成立，故．

【例14】记无穷数列的前项的最大项为，第项之后的各项的最小项为，令．
（1）若数列的通项公式为，写出，并求数列的通项公式；
（2）若数列的通项公式为，判断是否等差数列，若是，求出公差；
若不是，请说明理由；
（3）若数列为公差大于零的等差数列，求证：是否为等差数列．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）因为数列从第2项起单调递增，，
所以；；
当时，

（2）数列的通项公式为，递减且.
由定义知，

，数列递增，即


（3）①先证数列递增，利用反证法证明如下：
假设是中第一个使的项，，


与数列是公差大于0的等差数列矛盾.故数列递增.
已证数列递增，即，
；，
设若的公差为，则

故是等差数列.

【例15】设是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项， 那么称是封闭数列．
（1）若，判断是否为封闭数列，并说明理由；
（2）证明为封闭数列的充要条件是：存在整数，使；
（3）记是数列的前项之积，，若首项为正整数，公比，试问：是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；
若不存在，说明理由．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）不是封闭数列，因为，对任意的，有，
若存在，使得，即，，
该式左边为整数，右边是无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列．
（2）证明：（必要性）任取等比数列的两项，若存在使，则，
解得.故存在，使，
下面证明整数．
对，若，则取，对，存在使，
即，，所以，矛盾，故存在整数，使．
（充分性）若存在整数，使，则，
对任意，因为，所以是封闭数列.
（3）由于，所以，
因为是封闭数列且为正整数,所以，存在整数，使，
若，则，此时不存在．所以没有意义
若，则，所以，
若，则，于是，所以，
若，则，于是，所以，
综上讨论可知：，，该数列是封闭数列．

【例16】若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.
（1）判断下列函数：①；②中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（2）证明：函数是等比源函数；
（3）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论.
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）①②都是等比源函数；
（2）证明： ，，，因为成等比数列
所以函数是等比源函数；其他的数据也可以
（3）函数不是等比源函数.
证明如下：
假设存在正整数且，使得成等比数列，
，整理得，
等式两边同除以得.
因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，
所以等式不可能成立，
所以假设不成立，说明函数不是等比源函数.

【例17】一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．
求第2行和第3行的通项公式和；
证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于（）的表达式；
（3）若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数?，当时，都有．




【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）
．
（2）由已知，第一行是等差数列，假设第行是以为公差的等差数列，
则由
（常数）知第行的数也依次成等差数列，
且其公差为.综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；
由于，所以，所以
，由，得，
于是 ，即，
又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，，所以（）．
（3） ，
，
令，
．
， ，
，
令，则当时，都有，适合题设的一个等比数列为．


【例18】】已知数列 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)对任意的满足：，则称 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)为“Z数列”.
（1）求证：任何的等差数列不可能是“Z数列”；
（2）若正数列，数列是“Z数列”，数列是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列，使得是“Z数列”；
（3）若数列 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)是“Z数列”，设 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)求证 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??).
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）设等差数列的首项，公差，

所以任何的等差数列不可能是“Z数列”
或者根据等差数列的性质：
所以任何的等差数列不可能是“Z数列”.
（2）假设是等比数列，则
是“Z数列”，所以
，所以不可能是等比数列，
等比数列只要首项公比
其他的也可以：，
等比数列的首项，公比，通项公式
恒成立，
补充说明：分析：，
根据几何意义只要的一阶导函数单调递减就可以
（3）因为，，，……，

同理：

因为数列 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)满足对任意的 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)
所以.

【例19】已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.
（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；
（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；
（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：⑴设，，则：，
分两种情况： 是奇数，则，，
若是偶数，则，，
⑵当时，

∴
⑶∵，∴，∴
由定义可知： ∴
∴ ∴
∵，∴，
综上可知：当时，都有.

【例20】对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，
则称数列具有“性质”：①；②存在实数,使得成立.
（1）数列、中，、（），判断、是否具有“性质”；
（2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且，，证明：数列具有“性质”，并指出的取值范围；
（3）若数列的通项公式（）.对于任意的（），数列具有“性质”，且对满足条件的的最小值，求整数的值.
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）在数列中，取，则，不满足条件①，
所以数列不具有“性质”；
在数列中，，，，，，
则，，，
所以满足条件①；（）满足条件②，所以数列具有“性质”。
（2）因为数列是各项为正数的等比数列，则公比，
将代入得，，
解得或（舍去），
所以，，
对于任意的，，且
所以数列具有“性质”，
（3）由于，则，
由于任意且，数列具有“性质”，所以
即，化简得，
即对于任意且恒成立，所以①
=由于及①，所以
即时，数列是单调递增数列，且
只需，解得②
由① ②得，所以满足条件的整数的值为2和3.
经检验不合题意，舍去，满足条件的整数只有


【例21】如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.
（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；
（2）已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，求证：数列是“兑换数列”，并用和表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由.
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”
所以也是该数列的项，且
故，即。
（2）设数列的公差为，因为数列是项数为项的有穷等差数列
若，则
即对数列中的任意一项

同理可得：若，也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列是 “兑换数列”；
又因为数列所有项之和是，所以，即
（3）假设存在这样的等比数列，设它的公比为，
因为数列为递增数列，所以
则
又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数
故数列必为有穷数列，不妨设项数为项，则
①若则有，又，由此得，与矛盾；
②若。由，得
即，故，与矛盾；
综合①②得，不存在满足条件的数列.


【巩固训练】
1．对于一组向量()，令，如果存在()，使得，那么称是该向量组的“向量”．
（1）设()，若是向量组的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若()，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知均是向量组的“向量”，其中，，
求证：可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：(1)由题意，得：，则，解得：
(2) 是向量组的“向量”，证明如下：，
而
，
故
即 所以是向量组的“向量”
(3)由题意得：，，即
，同理，
三式相加并化简，得：
即，，所以
由，则


（注：分解结果不唯一）

2．记无穷数列的前项的最大项为，第项之后的各项的最小项为，令．
（1）若数列的通项公式为，写出，并求数列的通项公式；
（2）若数列递增，且是等差数列，求证：为等差数列；
（3）若数列的通项公式为，判断是否等差数列，若是，求出公差；
若不是，请说明理由．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）因为数列单调递增，，
所以；；
当时，
数列的通项公式
（2）数列递增，即，令数列公差为


所以为等差数列.
（3）数列的通项公式为，递减且.
由定义知，

，数列递增，即



3．若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.
（1）判断下列函数：①；②中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（2）证明：对任意的正奇数，函数不是等比源函数；
（3）证明：任意的，函数都是等比源函数.
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）①②都是等比源函数.
（2）证明：假设存在正整数且，使得成等比数列，
，整理得，
等式两边同除以得.
因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，
所以等式不可能成立，
所以假设不成立，说明对任意的正奇数，函数不是等比源函数
（3）因为任意的，都有，
所以任意的，数列都是以为首项公差为的等差数列.
由，（其中）可得
，整理得
，
令，则，
所以，
所以任意的，数列中总存在三项成等比数列.
所以任意的，函数都是等比源函数.
4．一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．
求第2行和第3行的通项公式和；
证明：数表中除最后2行以外每一行的数都依次成等差数列；
求关于（）的表达式．







【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1），
，
（2）由已知，第一行是等差数列，假设第行是以为公差的等差数列，则由

（常数）
知第行的数也依次成等差数列，且其公差为.
综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列．
（3）由于，所以，
所以，
由得，
于是，即，
又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，，所以（）．


4、整数问题
【例22】已知数列满足：，且，设.
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，是否存在连续的三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
（3）试证明：在数列中，一定存在正整数，使得构成等比数列；并求出之间的关系．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）由已知，可知．于是，
① 当为奇数时，当
；
② 当为偶数时，当．
又因为，故数列的通项公式为
（2）由（1）易得，假设在数列中，存在连续三项
构成等差数列，则，代入后经过化简，可得．
经过分类讨论，易得，在数列中，有且仅有连续三项构成等差数列．
（3）要使成等差数列，只需代入后经过化简，
可得
① 若，代入式，经过化简后，可得，
于是当为奇数且时，成等差数列；
② 若，在式中，左端；
而右端；所以，当时，不能构成等差数列；
综上所述：存在不小于3的奇数且时，成等差数列．

【例23】平面直角坐标系中，已知点在函数的图像上，点在直线上.
(1)若点与点重合，且，求数列的通项公式；
(2)证明：当时，数列中任意三项都不能构成等差数列；
(3)（文）当时，记，，设，将集合的元素按从小到大的顺序排列组成数列，写出数列的通项公式．
（理）当时，记，，设，将集合的元素按从小到大的顺序排列组成数列，写出数列的通项公式．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：(1)因为,所以,,
由,得,所以,
因为且,所以,所以 ,是等差数列,
(2)由题意，得：,
(反证法)假设存在数列中的三项 , , 成等差数列,其中 , ，
则，且，所以，
因为等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以等式不成立，所以假设不成立.
所以数列中的任意三项都不能构成等差数列.
(3)（文）当时,， ，
设,则且,设，，则,
所以 ,
因为,所以当且仅当为偶数时上式才能成立.当为偶数时，

所以 ，所以，所以.
（理）当时,设,则,且,设,,
则,所以,因为,且,所以能被整除.
当时, ；
当时,,
所以能被整除.
当时,,
所以不能被整除.综上, 时,，
所以.

【例24】已知数列的前项和为，且满足 ()，，设，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若≥，，求实数的最小值；
（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1），，，当时，
=2，所以为等比数列．
，．
（2） 由（1）可得，
；， ，
所以，且．所以的最小值为.
（3）由（1）当时，
当时，，，
所以对正整数都有．
由，，(且)，只能是不小于3的奇数．
①当为偶数时，，
因为和都是大于1的正整数，
所以存在正整数，使得，，
,，所以且，相应的，即有，为“指数型和”；
②当为奇数时，，由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以 不成立，此时没有“指数型和”．

【例25】设数列的各项都是正数，为数列的前项和，且对任意，都有,,,(常数，是以为底数的自然对数，)
（1）求数列、的通项公式；
（2）用反证法证明：当时，数列中的任何三项都不可能成等比数列；
（3）（文）设数列的前项和为，求证：对任意，恒成立．
（理）设数列的前项和为，试问：是否存在常数，对一切，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请证明你的结论．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）解：由 ，得；
又因为，
所以，由得
，所以为等数列，；
由,，，得，
因此，即：为等比数列。。
（2）证明：假设数列中存在不同的3项成等比数列，不妨设为第项成等比数列。
由于，所以，
即：，由奇偶性知：且
，因此，
产生矛盾，假设不成立。所以数列中的任何三项都不可能成等比数列。
（3）
①当时，在上为单调递增函数，
②当时，。
记
，所以数列为增函数。
所以当时，
所以，对任意，恒成立.
（理科）解：
①当时，在上为单调递增函数，所以对于任意常数，恒成立。
②当时，。
记
，所以数列为增函数。
所以当时，
所以，所以对于任意常数，恒成立。
即：存在常数，对一切，恒成立，常数的取值范围是．

【例26】已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且．
（1）求a1，a3；
（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：(1)令n=1，则a1=S1==0．a3=2；
（2）由，即， ① 得 ． ②
②－①，得 ． ③
于是，． ④
③+④，得，即．
又a1=0，a2=1，a2－a1=1，
所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以，an=n－1．
法二②－①，得 ． ③
于是，
所以，an=n－1．
(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，
则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，．
所以，(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解．
当p≥3，且p∈N*时，<0，故数列{}(p≥3)为递减数列
于是≤<0，所以此时方程(☆)无正整数解．
综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列．

【例27】已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为d，为其前n项和，且满足,．数列满足,，为数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）（法一）在中，令，，
得 即
解得，，
又时，满足，
，
．
（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立．
，等号在时取得．此时 需满足．
②当为奇数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立．
是随的增大而增大， 时取得最小值．
此时 需满足．
综合①、②可得的取值范围是．
（3），
若成等比数列，则，即．
由，可得，即，
．又，且，所以，此时．
因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．
[另解] 因为，故，即，
，（以下同上 ）．

【例28】设各项均为正数的数列的前n项和为且满足：
（1）求数列的通项公式；
（2）设
（3）是否存在大于2的正整数使得若存在，求出所有符合条件的；若不存在，请说明理由.
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）由及 两式相减，得


由于各项均为正数，故由上式，可得
于是数列是以为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为：
（2）因为
故
于是
（3）假设存在大于2的正整数使得
由（1），可得
从而
由于正整数均大于2，知
故由
得
因此，存在大于2的正整数使得

【例29】设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．
（1）设，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足，求数列的通项公式；
（2）设，若数列每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求；
（3）在（2）的条件下，，求符合条件的的个数．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）因是公比为的等比数列，
从而，由，
故解得或（舍去），因此，又 ，解得
从而当时，
当时，由是公比为的等比数列得
，因此
（2）由题意
得,，依此类推.
（3）猜想：
，一共有335,得

又，④故有
.⑤
若不然，设
若取即，则由此得，
而由③得 得
由②得
而此推得（）与题设矛盾
同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,
因此为6的倍数.


【巩固训练】
1．已知数列满足（为常数，）
（1）当时，求；
（2）当时，求的值；
（3）问：使恒成立的常数是否存在？并证明你的结论．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）
（2）　，，，
，，，，，，，，
，我们发现数列为一周期为６的数列．事实上，由有
，．
　　　因为　，所以．
　（3）假设存在常数，使恒成立．由　　　　　，
及，有
式减式得．所以，或．
当，时，数列｛｝为常数数列，不满足要求．
由得，于是，
即对于，都有，
所以　，
从而　．
所以存在常数，使恒成立．

2．由等式是虚数单位成立的所有正整数，按从小到大顺序排列所形成的数列记为，是数列的前项和，且数列满足关系：N.
（1）试求数列和的通项公式；
（2）若甲数列的每一项都是乙数列的项，且乙数列中至少有一项不是甲数列的项，则称甲数列是乙数列的真子数列.试证明：数列是数列的真子数列.
【难度】★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）解：由，由复数相等的条件得
因而数列的通项公式为
由得：，即
（2）即对任意的，，注意到必为偶数，
记，
这表明对任意的，必存在，使得，
则数列的每一项都是数列的项；
而对于，若存在使得，则，
此方程的在上无解，这表明数列中至少有第三项不是数列中的项，
因而数列是数列的真子数列.

本讲主要为除常见的求数列通项、数列求和及数列单调性问题之外的其余综合问题．这些问题分为三类：数列与其他章节知识结合的问题，这些章节包含函数、向量、二项式定理及解析几何等；数列新定义类型的问题；以及数列中的整数方程及整数不等式问题．
数列与其他章节的综合问题，需要综合运用数列及相关章节的知识，解决相应问题．这些问题综合性较强，需要考生讲这些综合问题分解为一个个基本问题，然后对这些基本问题一一求解，问题即得以解决．
数列新定义问题，考察的是对于数列知识的迁移能力．解决这类问题，最重要的是要强调一种由简单到复杂的思维方式．这类问题基本没有相应的通用解法，需要考生通过简单例子总结归纳出规律，然后应用这些规律解决这一类问题，对学生的能力要求极高．
数列中和整数相关的方程及不等式问题在基础知识及基本方法的讲解中基本没有涉及到，难度很大．这一类问题的解决，一般是通过考虑整数的奇偶性，结合具体的方程或不等式加以解决．










1．如图，平面直角坐标系中，射线（）和（）上分别依次有点、，……，，……，和点，，……，……，其中，，．且， ……）．
（1）用表示及点的坐标；
（2）用表示及点的坐标；
（3）写出四边形的面积关于的表达式，并求的最大值．

【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）
（2）


（3），

，时，单调递减．
又，．
或时，取得最大值．

2．对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质”：①；②存在实数,使得成立.
（1）数列、中，、（），判断、是否具有“性质”；
（2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且，，求证：数列具有“性质”；
（3）数列的通项公式（）.对于任意且，数列具有“性质”，求实数的取值范围.
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）在数列中，取，则，不满足条件①，
所以数列不具有“性质”；
在数列中，，，，，，
则，，，
所以满足条件①；（）满足条件②，所以数列具有“性质”．
（2）由于数列是各项为正数的等比数列，则公比，将
代入得，
，解得或（舍去）
所以，，
对于任意的，，且
所以数列满足条件①和②，所以数列具有“性质”．
（3）由于，则，
由于任意且，数列具有“性质”，所以
即，化简得，，
即对于任意且恒成立，所以①
=由于及①，所以
即时，数列是单调递增数列，所以最大项的值为
则满足条件②只需即可，所以这样的存在②
所以即可．

3．如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.
（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；
（2）若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和；
（3）已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，试判断数列是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用和表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”
所以也是该数列的项，且
故，即。
（2）不妨设有穷数列的项数为，因为有穷数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，
所以也是该数列的项，又因为数列是递增数列

则，故
（3）数列是“兑换数列”。证明如下：
设数列的公差为，因为数列是项数为项的有穷等差数列
若，则
即对数列中的任意一项，
同理可得：若，也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列是 “兑换数列”；
又因为数列所有项之和是，所以，即.

4．定义，，…，的“倒平均数”为（）．已知数列前项的“倒平均数”为，记（）．
（1）比较与的大小；
（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．
（3）设数列满足，（且），（且），且是周期为的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）设数列的前项和为，由题意得，所以，
当时，，当时，，而也满足此式．
所以（）．所以，
，因此．
（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，
即对任意恒成立，由（1）知数列是递增数列，所以只要，即，解得或．
所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立．
（3）由，，得，
① 若，则，，，
因为周期为，故，所以，所以，（舍），故．
此时，为，，，，，，…．符合题意．
② 若，则，，因为周期为，故，
所以，即或，解得或，均不合题意．
设数列的前项和为，则对，有
即 所以 因此．

5.设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．
（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；
（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）由题意，创新数列为3，4，4，4的所有数列有两个，
即3，4，1，2和3，4，2，1．
（2）存在数列的创新数列为等比数列．设数列的创新数列为，
因为为前个自然数中最大的一个，所以．
若为等比数列，设公比为，因为，所以．
当时，为常数列满足条件，即为数列
（或写通项公式）；
当时，为增数列，符合条件的数列只能是，又不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．
（3）存在数列，使它的创新数列为等差数列，
设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，
所以．若为等差数列，设公差为，
因为，所以．且
当时，为常数列满足条件，即为数列（或写通项公式），
此时数列是首项为的任意一个排列，共有个数列；
当时，符合条件的数列只能是，此时数列是，有1个；
当时， 又
这与矛盾，所以此时不存在。
综上满足条件的数列的个数为个（或回答个）．

6．设各项都是正整数的无穷数列满足：对任意，有．记．
（1）若数列是首项，公比的等比数列，求数列的通项公式；
（2）若，证明：；
（3）若数列的首项，，是公差为1的等差数列．记，，问：使成立的最小正整数是否存在？并说明理由．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1），；
（2）根据反证法排除和
证明：假设，又，所以或
①当时，与矛盾，所以；
②当时，即，即，又，所以与矛盾；
由①②可知．
（3）首先是公差为1的等差数列，
证明如下：时，
所以，
即
由题设又
即是等差数列．又的首项，所以，，对此式两边乘以2，得
两式相减得
，即，
当时，，即存在最小正整数5使得成立．
注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明．

7．已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数n，当为偶数时，；当为奇数时，．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若成等差数列，求的值；
（3）设（且N），数列的前n项和为，求证：．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1）由，可得，，…，，，，，
即的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．
故数列的通项公式为．
（2）若时，，，
由成等差数列，可知即，解得，故；
若时，，，
由成等差数列，可知，解得，故；
若时，，，
由成等差数列，可知，解得，故；
若时，，，
由成等差数列，可知，解得，故；
∴的值为．
（3）由（），可得，
，，
若，则是奇数，从而，
可得当时，成立．
又，，
故当时，；当时，．
故对于给定的，的最大值为

，
故．

8．如果无穷数列满足下列条件：① ；②存在实数，使．其中，那么我们称数列为数列．
（1）设数列的通项为，且是数列，求的取值范围；
（2）设是各项为正数的等比数列，是其前项和，证明：数列是数列；
（3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：．
【难度】★★★
【答案：见解析】
【解析】：（1） ，故，数列单调递减；
当时，即 ，
则数列中的最大项是，所以，
（2） 是各项正数的等比数列，是其前项和，，
设其公比为，，整理，得
解得 （舍去）
对任意的，有，且，故是数列。
（3）假设存在正整数使得 成立，有数列的各项均为正整数，可得，
即。因为，所以，
由及得 ，故
因为 ， 所以
由此类推，可得，又存在,使，总有，故有，
这与数列的各项均为正数矛盾 ，所以假设不成立，即对任意，都有成立.











知识梳理

例题解析

输入

开始







输出



结束





是

否

x

y

O

P1

P2

P3

Q1

Q3

Q2

P4



x

y

O

P1

P2

P3

Q1

Q3

Q2

P4

Bn+1

Bn

B2

B1

An+1

An

A2

A1

O

y

x





反思总结

课后练习






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