【备战2020】高考数学二轮专题：专题七 解析几何最值及参数范围问题 复习学案（上海地区专用）

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【备考2020】高考数学二轮专题复习学案
专题七 解析几何最值及参数范围问题
课题 解析几何最值及参数范围问题 单元 第章 学科 数学 年级 十二
学习 目标 1.能够比较熟练地应用数形结合的方法，结合曲线的定义和几何性质，以及参数或其它代换的方法解决解析几何的最值和参数范围问题；2.能够根据变化中的几何量的关系，通过联立韦达定理，建立目标函数，然后利用求函数的方法解决解析几何中的最值和参数范围问题；
重点 1．灵活运用联立韦达定理解决解析几何的最值和参数范围问题； 2．巧妙应用特殊方法解决解析几何最值和参数范围问题
难点 1．灵活运用联立韦达定理解决解析几何的最值和参数范围问题； 2．巧妙应用特殊方法解决解析几何最值和参数范围问题
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30


圆锥曲线中的最值和参数取值范围问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识、函数、不等式等知识为一体，综合性强，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。但其解法仍然有章可循，有法可依。常见的解法主要是联立利用韦达定理，当然也有一些特殊的方法，如几何法，点差法以及代换等方法。





一、特殊法求解最值及参数取值范围
【例1】已知点，在直线上找一点P，求使最大时P的坐标．
【难度】★★
【答案】
【解析】如图，设点是点B关于直线l的对称点，
则由，得：，∴直线BC的方程为：，将其与直线联立，解得，其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得．显然，，当且仅当A、C、P三点共线时，最大．可求得，直线AC方程为，与l方程联立解得P的坐标为．
【例2】求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．
【难度】★★
【答案】最大值，此时点坐标为；最小值，此时点坐标为
【解析】设椭圆的切线方程为，代入椭圆方程，得由，得．当时，直线与的距离，将代入方程，解得，此时，即椭圆上的点到直线的距离最小，最小值是．当时，直线到直线的距离，将代入方程，解得，此时，即椭圆上的点到直线的距离最大，最大值是．

【例3】已知正的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆C是的内接圆（点C为圆心）．
（1）求圆C的方程；
（2）设圆M的方程为，过圆M上任意一点分别作圆C的两条切线PE、PF，切点为E、F，求的最大值和最小值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）设两点坐标分别为，，由题设知．
又因为，，可得．即．
由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心C在轴上．
设C点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆C的方程为．
（2）设，则．
在中，，由圆的几何性质得
，，
所以，由此可得．则的最大值为，最小值为．

【例4】已知以为周期的函数，其中．若方程恰有5个实数解， 则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【难度】★★★
【答案】B
【解析】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆， 同时在坐标系中作出当的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，如图所示．

由图易知直线（1）与第2个椭圆（2），
相交，而与第3个半椭圆（3），
无公共点时，方程恰有5个实数解，将（1）代入（2）得
令，则．由，得．由，且，得．同样将（1）代入（3），由得．
综上知．故选B．

【例5】某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．
求抛物线方程；
如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？
【难度】★★
【答案】（1）；（2）“蝴蝶形图案”的面积为8；
【解析】（1） 由抛物线焦点得,抛物线方程为
（2） 设，则点，所以，，既解得
同理： ，
“蝴蝶形图案”的面积
令, ，则, 时,即“蝴蝶形图案”的面积为8．
【例6】已知点、，平面直角坐标系上的一个动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围；
（3）已知点是曲线上的两个动点，若（是坐标原点），试证明：直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）略
【解析】(1)依据题意，动点满足.
又，因此，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且．
所以，所求曲线的轨迹方程是．
(2) 设是曲线上任一点．依据题意，可得．
是直径，．又，

＝．
由，可得，即．
． 的取值范围是．
(另解：结合椭圆和圆的位置关系，有(当且仅当共线时，等号成立)，于是有．)
(3)证明：因是曲线上满足的两个动点，由曲线关于原点对称，可知直线也关于原点对称．若直线与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线的距离()是定值即可．设，点，则　　．
利用面积相等，有，于是．
又两点在曲线上，故 可得
因此，． 所以，，即为定值．
所以，直线总与定圆相切，且定圆的方程为：．

【例7】给定椭圆：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的
“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）过椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，求的方程；
（3）若点是椭圆的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）直线的方程为，的方程为，
或直线的方程为，的方程为；（3）
【解析】（1）由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．
（2）由题意可得点坐标为，设直线过且与椭圆C只有一个交点，则直线的方程可设为，将其代入椭圆方程可得，即，
由，解得，所以直线的方程为，的方程为，
或直线的方程为，的方程为．
由题意，可设，则有，又A点坐标为，故，
故,
又，故， 所以的取值范围是．

【例8】已知圆过定点，圆心在抛物线上，、为圆与轴的交点．
（1）当圆心是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．
（2）当圆心在抛物线上运动时，是否为一定值？请证明你的结论．
（3）当圆心在抛物线上运动时，记，，求的最大值，并求出此时圆的方程．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）是定值；（3）取得最大值，此时圆的方程为
【解析】（1）抛物线的顶点为，准线方程为，圆的半径等于1，圆的方程为．弦长
（2）设圆心，则圆的半径，
圆的方程是为：
令，得，得，，是定值．
（3）由（2）知，不妨设，，，．．
当时，．
当时，．
当且仅当时，等号成立
所以当时，取得最大值，此时圆的方程为．


【巩固训练】
1．椭圆上一动点P，则到直线的距离最小值为 ．
【难度】★★
【答案】

2．已知点F是双曲线的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．
【难度】★★
【答案】9
【解析】设是双曲线的右焦点，根据双曲线定义，即
又，将代入，得，
即，等号当且仅当三点共线，故的最小值为9.故填9.

3．已知是抛物线上的一个动点，为焦点．
求点到点的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值．
点，求得最小值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）

4．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
【难度】★★
【答案】D
【解析】由已知双曲线的左右焦点即为两圆的圆心，先将P点看成定点，M、N看成动点，则．
．

5．如图，在直线上任意取一点，经过点且以椭圆的焦点作椭圆，问当在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？
【难度】★★
【答案】点坐标，此时长轴最短为
【解析】椭圆的两焦点分别为，
作关于直线的对称点，则直线的方程为
由方程组　　得的坐标，
由中点坐标公式得的坐标,所以直线的方程．
解方程组　　得点坐标，此时长轴最短为．　　

6．已知椭圆的两焦点为、，点满足，则的取值范围为 ．
【难度】★★
【答案】

7．已知椭圆（）的焦距为，且椭圆的短轴的一个端点与左、右焦点、构成等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上上任意一点，求的最大值与最小值；
【难度】★★
【答案】（1）；（2）的最大值为，最小值为
【解析】（1）已知，，， 所以，
所以椭圆的标准方程为．
，，设，则，，（），
因为，所以，，
由，得的最大值为，最小值为．

8．点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，．
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知可得点．设点P的坐标是，则．由已知得，则或．由于，只能，于是点的坐标是．
（2）直线AP的方程是设点M的坐标是，则M到直线AP的距离是，
于是，又，解得，椭圆上的点到点M的距离d满足

由于当时，取得最小值


二、联立韦达定理求解最值及参数范围
【例9】已知圆⊙，动圆与⊙相切且过定点；
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与轨迹交于两点，求四点围成的四边形面积的最大值。

【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设动圆圆心为，则，
所以动圆圆心是以为焦点的椭圆，方程为．




（2）设，代入得：，
设，
则，解得：
若，则
，
（取等号。）
四点围成的四边形面积的最大值为．

【例10】已知椭圆，过点的直线与椭圆C相交于两点
（1）若与轴相交于点，且为的中点，求直线的方程；
（2）设点，求的最大值.
【难度】★★
【答案】（1），或；（2）1
【解析】（1）设， 因为为的中点，且的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以，解得，又因为点在椭圆C上，所以，即，解得， 则点的坐标为或，所以直线l的方程为，或.
（2）设，，则
所以，则
当直线的斜率不存在时，其方程为，，此时；
当直线的斜率存在时，设其方程为，
由题设可得的坐标是方程组的解，消去y得
所以， 则，
所以，
当时，等号成立, 即此时取得最大值1.
综上，当直线的方程为或时，有最大值1.

【例11】已知点，椭圆：（）的长轴长为，
是椭圆的右焦点，直线的一个方向向量为，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的动直线与椭圆相交于、两点，当△的面积最大时，求的方程．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，直线的点方向式方程为， 令，得，即，由已知，，所以．所以椭圆的方程为．
（2）由题意，设直线的方程为， 将代入，得，当△，即时，直线与椭圆相交，设，，则，，所以
，
又点到直线的距离，所以△的面积．
设，则，，因为，所以，当且仅当，即时，取最大值．所以，当△的面积最大时，直线的方程为．

【例12】已知椭圆的两个焦点分别是、，且焦距是椭圆上一点到两焦点距离的等差中项．
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得．由题意得，故椭圆方程为．
（2）当轴时，显然．当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为．由消去y整理得．
设，线段MN中点为，
则，所以，．
线段MN的垂直平分线方程为．在上述方程中令，得，当时，；当时，．
所以，或，综上，的取值范围是．

【例13】如图，两条过原点O的直线分别与x轴、y轴成30°的角，已知线段PQ的长度为2，且点在直线上运动，点在直线上运动．
（1）求动点的轨迹C的方程；
（2）设过定点的直线与（1）中的轨迹C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线的斜率的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知得直线，，
在直线上运动，直线上运动，，
由得，即，
动点的轨迹C的方程为．
（2）当不存在时，显然不成立．
当存在时，设直线方程为，将其代入，
化简得，设，
且，为锐角，，即，
．将代入上式，化简得，由且，得．

【例14】设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，过的焦点F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
（1）求，的标准方程；
（2）设是准线上一点，直线的斜率为
，的斜率依次为，请探究：与
的关系；
（3）若与交于C、D两点，为的左焦点，问是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.
【难度】★★


















【答案】（1）；（2）；（3）的最小值为
【解析】（1）在椭圆上，在抛物线上， ：
（2）是抛物线的焦点，①当直线的斜率存在时，设：,，联立方程，得，时恒成立，，因准线为，设，，，
，与的关系是. ②当直线的斜率不存在时，：，得
，，，仍然有
（3） =.是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，①当直线的斜率存在时，
设：,，
联立方程,得，时恒成立.
（也可用焦半径公式得：）联立方程，得，恒成立.
, =. ②当直线的斜率不存在时，：，
此时，，，=.所以，的最小值为.

【例15】设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为,线段的中点分别为，且是面积为的直角三角形．过作直线交椭圆于两点．
(1) 求该椭圆的标准方程；
(2) 若，求直线的方程；
(3) 设直线与圆相交于两点，令的长度为，若，求的面积的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）设所求椭圆的标准方程为,右焦点为.
因是直角三角形，又，故，得，在中，，从而.因此所求椭圆的标准方程为：
(2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为：,代入椭圆方程得,设，则是上面方程的两根，因此，，又，所以 ，由，得=0，即，解得；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：和
(3) 当斜率不存在时，直线，此时，
当斜率存在时，设直线，则圆心到直线的距离，
因此，得
联立方程组：得，由韦达定理知，
，所以，
因此.
设，所以，所以
综上所述：的面积

【例16】已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线,若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足．
（1）求曲线的方程；
（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；
（3）求面积的最大值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）1；（3）
【解析】（1）设两动圆的公共点为，则有：．由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，．所以曲线的方程是：．
（2）证法一：由题意可知：，设，,
当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点
当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：
，把②代入①有：
③，④，
因为，所以有，
，把③④代入整理：
，（有公因式）继续化简得：
，或（舍），
综合斜率不存在的情况，直线恒过定点．
证法二：（先猜后证）由题意可知：，设，,
如果直线恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在轴上，设为；
取特殊直线，则直线的方程为，
解方程组得点，同理得点，
此时直线恒经过轴上的点
下边证明点满足条件
当的斜率不存在时，直线方程为：，
点 的坐标为，满足条件；
当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：
，把②代入①得：
③，④，
所以


（3）面积
由第（2）小题的③④代入，整理得： 因在椭圆内部，所以,可设，
，(时取到最大值)．所以面积的最大值为．

【例17】已知直线与圆锥曲线相交于两点，与轴，轴分别交于两点，且满足、．
（1）已知直线的方程为，抛物线的方程为，求的值；
（2）已知直线，椭圆，求的取值范围；
（3）已知双曲线，试问是否为定点？若是，求点的坐标；若不是，说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）将，代入，求得点，，又因为，由 得到，，，同理由得，所以=.
（2）联立方程组： 得，，又点，由 得到，，同理由 得到，，=，即，
, 因为，所以点在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知，所以.
（3）假设在轴上存在定点，则直线的方程为，代入方程得到:，, （1）而由、
得到： （2） （3）
由（1）（2）（3）得到：，，所以点，
当直线与轴重合时，，，或者，，
都有，也满足要求，所以在轴上存在定点.




【例18】在平面直角坐标系中，点到点的距离的4倍与它到直线的距离的3倍之和记为，当点运动时，恒等于点的横坐标与18之和．
（1）求点的轨迹；
（2）设过点的直线与轨迹交于两点，求线段长度的最大值．
【难度】★★★
【答案】（1）点P轨迹C是由椭圆在直线的右侧部分与抛物线在直线的左侧部分（包括端点）所组成的曲线；（2）
【解析】：（1）设点P的坐标为，则．由题设，
，
当时，，
当时，，
故如图，点P轨迹C是由椭圆在直线的右侧部分与抛物线在直线的左侧部分（包括端点）所组成的曲线．
（2）如图所示，易知直线与曲线的交点都是，直线的斜率分别为．
当点P在上时，由（1）知，
当点P在上时，由（1）知，
若直线斜率存在，则直线方程为．
当或，即时，直线与轨迹C的两个交点都在上，此时，．
．
由，则是这个方程的两个根，
．
由．故当，即时，．
当，即时，直线与轨迹C的两个交点分别在上，不妨设M在上，N在上．此时，．
设直线AF与椭圆的另一个交点为，则．
，
．
而点A，E都在上，且，由1）知，．
若若直线斜率不存在，则．
综上所述，线段MN长度的最大值为．

【例19】已知中心在原点，左焦点为的椭圆的左顶点为，上顶点为，到直线的距离为.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 过的直线交椭圆于、两点，交直线于点，若是、的等比中项，求直线的方程；
(3) 圆以椭圆的两焦点为直径的两端点，圆的任意一条切线交椭圆于两点、，试求弦长的取值范围.
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】(1)设椭圆方程为：（），所以直线方程为：
∴到直线距离为，又，
解得：，，故：椭圆方程为：.
(2) 当直线与轴重合时，，而，所以
故可设直线方程为：，代人椭圆的方程，得：，即： ， ∴
记，， ∴，∵，即，∴，∴，解得：，符合，所以，故直线的方程为，即：
（3）椭圆的两焦点为、，所以圆的方程为：①若切线垂直于轴，则其方程为：，易求得；②若切线不垂直于轴，可设其方程为：，所以，将代人椭圆方程，得：
∴（*）记、两点的坐标分别为、此时：，
∴ 令，所以，，∴
综合①②,得：弦长的取值范围为.

【例20】如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点，
（1）若，求曲线的方程；
如图，作直线平行于曲线的渐近线，
交曲线于点A、B，求证：弦AB的中点M
必在曲线的另一条渐近线上；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点
C、D，求面积的最大值。
【难度】★★★
【答案】（1）和；（2）略；（3）略

【解析】（1） ，则曲线的方程为和。
曲线的渐近线为 ， 如图，
设直线
则

又由数形结合知，，设点，则，，，即点M在直线上。
（3）由（1）知，曲线，点 设直线的方程为 ，
设 由韦达定理：


令，，
，，当且仅当即时等号成立
时，


【巩固训练】
1．已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是 ．
【难度】★★
【答案】32
【解析】：设直线，联立．
又，即的最小值是32．

2．设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点．
（1）求数量积的取值范围；
（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意，可求得，．设，则有，
所以，．
（2）设直线的方程为，代入，整理得，（*）因为直线过椭圆的左焦点，所以方程*有两个不相等的实根．设，，中点为，则
，，．线段的垂直平分线的方程为．令，则．
因为，所以．即点横坐标的取值范围为．

3．已知椭圆的长轴长为，，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．
（1）求椭圆的方程； 求动圆圆心轨迹的方程；
（2） 在曲线上有四个不同的点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．
【难度】★★
【答案】（1），；（2）32
【解析】(1)由已知可得，则所求椭圆方程.
由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为.
由题设知直线的斜率均存在且不为零，设直线的斜率为，，则直线的方程为：，联立 消去可得 由抛物线定义可知:
，同理可得
又（当且仅当时取到等号），所以四边形面积的最小值为.

4．椭圆的中心为原点 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，焦点在 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)轴上，，过 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)的直线 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)与椭圆交于 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)、 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)两点，且 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，求 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．
【难度】★★
【答案】 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)， (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)
【解析】设椭圆的方程为 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)直线 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)的方程为 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??) ，则椭圆方程可化为 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)即 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，联立 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)得 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??) （*）
有 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)而由已知 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)有 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，代入得 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)
所以 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，
当且仅当 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)时取等号 ，由 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)得 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，将代入（*）式得 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，所以 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)面积的最大值为 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，取得最大值时椭圆的方程为 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)

5．已知定点和直线，过定点与直线相切的动圆圆心为点.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，求的最小值．

【难度】★★
【答案】（1）；（2）16
【解析】(1)由题设点到点的距离等于它到的距离，
∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．
∴所求轨迹的方程为.
(2)由题意直线的方程为，与抛物线方程联立消去，得记，则.
∵直线的斜率，易得点的坐标为，


∵，当且仅当时取到等号，，即的最小值为16.

6．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在与椭圆交于两点的直线，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设椭圆C的方程为，半焦距为，则
解得： 所以，，椭圆方程为.
（2）存在直线，使得成立.由 得，由得.设，则由得，所以化简得 所以，由 得，，因此， 所以实数的取值范围是

7．已知椭圆的右焦点为，短轴的端点分别为,且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为，试求的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意不妨设，，则，.
由，得. 又因为，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）依题意直线的方程为. 由得.
设，，则，.所以弦的中点为.所以
.直线的方程为，由，得，则，所以. 所以.又因为，所以.所以.所以的取值范围是.

8．已知椭圆(1) 椭圆的短轴端点分别为(如图)，直线分别与椭圆交于两点，其中点满足，且.
①证明直线与轴交点的位置与无关；
②若?面积是?面积的5倍，求的值；
(2)若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、
两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）①因为,，且，直线的斜率为,直线斜率为, 直线的方程为 ,直线的方程为 ,
由得，
由得，；
据已知，，直线的斜率
直线的方程为,令,得与轴交点的位置与无关.
②,,,
,，,
，整理方程得，即，
又有，， ，为所求.
(2) 因为直线,且都过点,所以设直线,
直线,
所以圆心到直线的距离为,
所以直线被圆所截的弦；
由,所以
所以
所以
当时等号成立,此时直线


三、综合应用
【例21】椭圆长轴是短轴的倍，直线与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右项点，
求椭圆的方程；
（2）若椭圆上两点E、F使面积的最大值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意， 设
解得即

椭圆的方程为
设 中点为
在椭圆上，则
由①-②得
直线EF的方程为即
并整理得，

又原点到直线的距离为

当时等号成立，所以面积的最大值为

【例22】在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上与不重合的点．
（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；
（2）若，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（3）记是与椭圆的交点，若直线的方程为，当△面积取最小值时，
求直线的方程．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）椭圆一个焦点和顶点分别为，
所以在双曲线中，，，
，因而双曲线方程为．
（2）设，，则由题设知：，．
即解得因为点在椭圆上，所以，即，亦即．所以点的轨迹方程为．
（3）（方法1）因为所在直线方程为．解方程组得，，所以，.
又解得，，所以．
由于
或，当且仅当时等号成立，即时等号成立，
此时面积的最小值是．所在直线方程为．
（方法2）设，则，因为点在椭圆上，所以，即（i）又（ii）
（i）+（ii）得，所以.当且仅当（即）时，. 又,所在直线方程为．

【例23】已知三角形的三个顶点分别为，，.
（1）动点在三角形的内部或边界上，且点到三边的距离
依次成等差数列，求点的轨迹方程；
若，直线:将分割为面积相等
的两部分，求实数的取值范围.
【难度】★★★
【答案】（1）（）；（2）
【解析】（1）法1：设点的坐标为，则由题意可知：，
由于，，，所以，
化简可得：（）
法2：设点到三边的距离分别为，其中，.所以， 于是点的轨迹方程为（）
由题意知道，
情况（1）.
直线：，过定点，此时图像如右下：
由平面几何知识可知，直线过三角形的重心，从而
情况（2）.此时图像如右下：令得，故直线与两边分别相交，
设其交点分别为，则直线与三角形两边的两个交点坐标、应该满足方程组：. 因此，、是一元二次方程：的两个根.即，
由韦达定理得：而小三角形与原三角形面积比为，
即.所以，，亦即. 再代入条件，解得，从而得到. 综合上述（1）（2）得：
解法2：由题意知道
情况（1）.直线的方程为：，过定点，
由平面几何知识可知，直线应该过三角形的重心，从而
情况（2）.
设直线：分别与边，边的交点分别为点，通过解方程组可得：，，又点，
∴=，同样可以推出.亦即，再代入条件，解得，从而得到.综合上述（1）（2）得：
解法3：
情况（1）.
直线的方程为：，过定点， 由平面几何知识可知，直线过三角形的重心，从而
情况（2）.
令，得，故直线与两边分别相交，
设其交点分别为，当不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则也不断减小.
当时，与相似，由面积之比等于相似比的平方.
可知，所以，综上可知

【例24】如左图，已知半径为的圆的内接四边形的对角线和相互垂直且交点为．
SHAPE \* MERGEFORMAT

（1）若四边形中的一条对角线的长度为，试求：四边形面积的最大值；
（2）试探究：当点运动到什么位置时，四边形的面积取得最大值，最大值为多少？
（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形．如右图，设平面直角坐标系中，已知椭圆的内接四边形的对角线和相互垂直且交于点． 试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）略
【解析】（1）因为对角线互相垂直的四边形面积，而由于为定长，则当最大时，四边形面积取得最大值． 由圆的性质，垂直于的弦中，直径最长，故当且仅当过圆心时，四边形面积取得最大值，最大值为．
（2）解法一：由题意，不难发现，当点运动到与圆心重合时，对角线和的长同时取得最大值，所以此时四边形面积取得最大值，最大值为．
解法二：设圆心到弦的距离为，到弦的距离为，的距离为．则，，且．可得，
．
又，当且仅当时等号成立．
所以，当且仅当时等号成立．
又因为点在圆内运动，所以当点和圆心重合时，此时，故此时四边形的面积最大，最大值为．不难发现，此时该四边形是圆内接正方形，对角线交点与圆心重合．
（3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大．
类比猜想2：若两条直线斜率确定，当点在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形的面积最大．
以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．
证：设椭圆的方程为（），平行弦的方程为，
联立可得．
不妨设、，则
．
由于平行弦的斜率保持不变，故可知当且仅当时，即当直线经过原点时，取得最大值（*）．特别地，当斜率不存在时，此结论也成立．
由以上结论可知，类比猜想一正确．又对于椭圆内任意一点构造的对角线互相垂直的椭圆内接四边形，我们都可以将对角线平移到交点与椭圆中心重合的椭圆内接四边形，而其中，，所以必有．即证明了猜想二也是正确的．
类比猜想3：当点在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得最大值．
要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．”在此基础上，可参考以下两种续证方法．
证法一：当点在椭圆中心时，不妨设对角线所在直线的斜率为．
（i）当时，即为椭圆长轴，又，故是椭圆的短轴． 所以此时椭圆内接四边形的面积为．
（ii）当时，对角线的斜率为．由此前证明过程中的（*）可知，，若将代换式中的，则可得弦的长度，．
所以，

．
由，
则，
综上（i）和（ii），故可证明猜想三正确．

证法二：如图，四边形对角线交点与椭圆中心重合．
由对称性，不妨设椭圆上的点的坐标为，；相邻的点坐标为，．由对称性可知，
．
且当时，取得最大值．
又因为，故．
由，
所以．
故只有当时才满足，而因为，故只有当时成立．即由椭圆参数方程的定义，当且仅当点和点分别落在椭圆长轴和短轴顶点上时，猜想3正确．
【巩固训练】
1．已知点、，若直线与线段相交（包含端点的情况），则实数的取值范围是 ．
【难度】★
【答案】
【解析】：由已知，直线过定点，而，作图可知，．．

2．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线中的取值范围是________．
【难度】★★
【答案】
【解析】根据双曲线定义，设，则，故，即，根据双曲线的几何性质，，即，即．

3．、分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上有一点P，使，试确定的取值范围．
【难度】★★
【答案】

4．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围．
【难度】★★
【答案】
5．已知点，P是平面内一动点，直线PA、PB的斜率之积为。
求动点P的轨迹方程；
过点作直线，与点P的轨迹交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的
斜率k的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．

6．已知椭圆中，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P(4，0)，M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点
E，求直线PN的斜率的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)由题意知， 所以，即， , 又因为， ，故椭圆C的方程为
(2)由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为.
由得①
由，得，
又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是：．

7．已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线的焦点为
其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点。
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，且分别为椭圆的上顶点和右顶点，点是线段上的动点，求的取值范围。
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】(1)抛物线的焦点为，双曲线的焦点为
∴可设椭圆的标准方程为，由已知有，且
，∴椭圆的标准方程为.
(2)设，线段方程为，即，点是线段上，，，，，将代入得， ，
，的最大值为24，的最小值为.
的取值范围是.

8．如图,已知点,直线:,为平面上的动点,过点作的垂线,垂足为点,且.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过轨迹的准线与轴的交点作方向向量为的直线与轨迹交于不同两点、,问是否存在实数使得?若存在,求出的范围;若不存在,请说明理由;
(3)在问题(2)中,设线段的垂直平分线与轴的交点为,求的取值范围.
【难度】★★★
【答案】
【解析】(1)设,由题意,,,, ,, 由,得,
化简得.所以,动点的轨迹的方程为
(2)轨迹为抛物线,准线方程为,即直线,所以, 当时,直线的方程为,与曲线只有一个公共点,故 ， 所以直线的方程为,由 得, 由△,得
设,,则,, 所以,,
若,则,即, ,, 解得.所以
(3)由(2),得线段的中点为,线段的垂直平分线的一个法向量为,所以线段的垂直平分线的方程为, 令,, 因为,所以. 所以的取值范围是 .



与圆锥曲线有关的最值和参数取值范围问题常用以下方法解决：
1. 结合图形，以形助数，找到直观的图形的变化范围，进而得出参数的取值范围；
2. 结合参数方程，特别是在圆和椭圆中，通过参数可以简明得表示曲线上点的坐标，进而利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求最值和取值范围问题；
3. 构造二次方程，将图像交点个数问题转化为方程解的个数问题，然后利用一元二次方程判别式的正负性来确定判别式中参数的取值范围；
4. 构造二次方程，利用一元二次方程的韦达定理将题中所给的量与方程的系数联系起来，再利用不等式，函数值域等方法求得方程系数中参数的取值范围；
5. 对于面积，距离等量的取值范围问题，通常需要找到一个合适的参数作为自变量，构造一个表示所求量的函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．
在处理探讨解析几何中参数问题的求解策略时，整合已有的数学知识， 开阔解题思路，提高解题速度，培养创新思维．



1．已知复数（）的模为，则的最大值是 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】考虑点，则点P在圆上移动，而表示点P和原点连线的斜率，由图易知过原点的圆的切线斜率最大，最大值为．

2．对于抛物线上任意一点Q，点都满足，则a的取值范围是______．
【难度】★★
【答案】
【解析】：设点，则．
又，又即在上的最小值是当时取得，为，即的对称轴应在的左侧．
．

3．点是函数图像上的任意一点，点，则两点之间距离的最小值是______________．
【难度】★★
【答案】
【解析】：原函数可化为分段函数形式：．当时，由图已知，时，．当时，．当即时，．．

4．已知△，点的坐标为，点、分别在图中抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，那么△的周长的取值范围为 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】：由已知易得即圆的半径，恒等于2，将转化为点到抛物线准线的距离，由图易得当点位于上下两个端点时，取得极小值，当点位于原点时，取得极大值．即．

5．设集合，，若，则实数m的取值范围是_______．
【难度】★★
【答案】
【解析】：若，则符合题意的条件是：直线与圆有交点，从而由，解之得，矛盾；
若，则代入后可知矛盾；
若，则当，即时，集合A表示一个环形区域，且大圆半径不小于，即直径不小于1，集合B表示一个带形区域，且两直线间距离为，从而当直线与中至少有一条与圆有交点，即可符合题意，从而有或，解之得．综上所述，实数m的取值范围是．

6．点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的平分线上一点，且．某同学用以下方法研究：延长交于点，可知为等腰三角形，且为的中点，得．类似地：点是椭圆上的动点，是椭圆的焦点，是的平分线上一点，且，则的取值范围是 ．
【难度】★★★
【答案】
【解析】：类比双曲线中研究方法，延长交于点，可知为等腰三角形，且为的中点，得．
由椭圆性质易得，当点P位于椭圆上顶点时，取得极小值0；当点P位于椭圆右顶点时，取得极大值．综上，．

7．已知点P是抛物线上一点，设P到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）．
A．5 B．4 C． D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】如图，因为抛物线的准线和直线在抛物线的同侧，故考虑利用抛物线的定义将点P到准线的距离转化为到焦点F的距离．此时点F和直线在抛物线异侧，根据图像可得的最小值即为点F到直线的距离．易得．

8．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】A
【解析】设圆心到直线距离为，则，由即．

9．已知，P是椭圆上一点，则的最大值为（ ）．
A．10 B． C． 　D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】由已知易得，点B恰为椭圆左焦点，而点A在椭圆内部，根据同侧求和，异侧求差，将P到B的距离转化为P到椭圆右焦点F的距离．即，而．故．

10．如果曲线 （ H为参数） 与直线恒有公共点，求实数a的取值范围．
【难度】★★
【答案】
【解析】由已知， 曲线C的普通方程是．它表示以为圆心，半径为1的圆．要使直线与圆有公共点，则应满足圆心到直线的距离：．

11．已知抛物线与圆相交于四个点．求r的取值范围．
【难度】★★★
【答案】
【解析】将抛物线代入圆，消去，整理得（1）．抛物线E与圆M相交于4个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根．则解得，即．

12．设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且最小值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设定点，已知过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点，满足，求的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，则有，．
．
由题意，，所以，椭圆的方程为．
由（1）得，设的方程为，代入
得．
设，则，
．
设的中点为，则，，，
即，
．因为直线不与坐标轴垂直的，
所以．．

13. 已知圆．
（1）设点是圆C上一点，求的取值范围；
（2）如图，定点为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，求点的轨迹的内接矩形的最大面积．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）解法一：∵点在圆C上，∴可设；
，从而．
解法二：设，则点同时在已知圆和直线上，即圆和直线有公共点，故圆心到直线距离，即
（2）解法一：∴NP为AM的垂直平分线，∴．
又∴动点N的轨迹是以点为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为焦距
∴点N的轨迹是方程为
由矩形及椭圆对称性可知内接矩形必关于x轴，y轴，原点对称，故只要求得矩形在第一象限内的部分面积最大值即可．设矩形在第一象限内的顶点，故矩形面积，
点D在椭圆上，∴，所以轨迹为椭圆，其内接矩形的最大面积为．
解法二：（以上同解法一）
设矩形在第一象限内的顶点，故矩形面积．点D在椭圆上，故可设，，
当且仅当时，．所以轨迹为椭圆，其内接矩形的最大面积为．

14．我们把由半椭圆半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
（1）若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
【难度】★★★
【答案】（1）“果圆”方程为，；（2）略；（3）若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或
【解析】（1），
，于是，
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则，
，的最小值只能在或处取到．即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．．
当，即时，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；
若，当取得最小值时，点的横坐标是或．










知识梳理

解三角形

例题解析

P

M

y

O

l

F1

F2

x



N

































x

y

A

B

C

D

F0

O

F















x

y

mx

N

M

O

①

②

O

x

y



y

反思总结

课后练习















x

O

A

MAO

N

C

P

yxO

y

O









.

.

.

M







x

.






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