【备战2020】高考数学二轮专题：专题九 新定义型问题 复习学案（上海地区专用）

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【备考2020】高考数学二轮专题复习学案
专题九
新定义型问题
课题
新定义型问题
单元
第章
学科
数学
年级
十二
学习目标
能够快速阅读和理解高中数学中即时定义的新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等新定义题型，并能立刻运用它们解决相关的问题。
重点
1、强化对新定义题型的阅读理解能力；2、熟练掌握转化与化规思想方法的运用；3、能将其他学科知识与数学知识的相互转化。
难点
1、强化对新定义题型的阅读理解能力；2、熟练掌握转化与化规思想方法的运用；3、能将其他学科知识与数学知识的相互转化
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
30
2
例题解析
60
3
巩固训练
20
4
师生总结
10
5
课后练习
30
高考数学中考查五种能力：数学基础知识和基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力和数学应用与探究能力。对于最后一种数学应用于探究能力，有如下五种要求：（一）能运用基础知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题；（二）能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际中的问题，并能解释其实际意义；（三）能自主地学习一些新的数学知识和方法，并能初步应用；（四）能根据已有的知识和经验，发现和提出问题；（五）能运用有关的数学思想和方法对问题进行探究，并能正确地表述过程和结果。因此在高考数学中，各类新定义型的问题屡见不鲜，根据新定义的不同类型，我们将其分为如下几种：集合中的新定义问题、函数中的新定义问题、数列中的新定义问题以及解析几何中的新定义问题。
一、集合中的新定义问题
在集合的背景下，这类“新定义集合”，题中给出集合或集合元素满足的性质，从而来探讨集合中元素属性。在这类题型中，主要考查集合元素的三个特性：确定性、互异性和无序性，以及对集合之间的从属关系进行讨论和运算。
【例1】若，且，则称是“伙伴关系集”，在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集”的概率为
【难度】★★
【答案】
【解析】分析可得，中具有伙伴关系的元素组共有四组：，，和，和，它们中的任意几组组合均可组成非空伙伴关系集合，即“伙伴关系集”的个数为，而的所有非空子集共有个，故其概率为
【例2】非空集合关于运算满足：（1）对任意、，都有ab∈G；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①{非负整数}，为整数的加法．②{偶数}，为整数的乘法．
③{平面向量}，为平面向量的加法．④{二次三项式}，为多项式的加法．
⑤{虚数}，为复数的乘法．
其中关于运算为“融洽集”的是
（写出所有“融洽集”的序号）
【难度】★★
【答案】①③
【解析】非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；
（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：
①,满足任意，都有，且令，有，所以①符合要求；
②,若存在，则，矛盾，∴
②不符合要求；
③,取，满足要求，∴
③符合要求；
④，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以④不符合要求；
⑤，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴
⑤不符合要求，
这样关于运算为“融洽集”的有①③．
【例3】已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”。给出下列四个集合：①；②；③
；④其中所有“好集合”的序号是（
）
、①②④
、②③
、③④
、①③④
【难度】★★
【答案】
【解析】对题中的好集合的定义的实质阐述是对集合图像上的任一点，集合上都存在另外一点，使得，再结合函数的图像数形结合来求解。
【例4】已知集合，，定义集合，则中元素的个数为
【难度】★★
【答案】
【解析】
集合，
集合，经计算可知共有45个元素。
【例5】设集合，若是的子集，把中所有元素的和称为的“容量”（规定空集的容量为），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集．
(Ⅰ)
写出的所有奇子集；
(Ⅱ)
求证：的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
【难度】★★★
【答案】（Ⅰ），
，
.
（Ⅱ）对于的每个奇子集，
当时，取，
当时，取，
则为的偶子集.
反之，若为的偶子集，
当时，取，
当时，取，
则为的奇子集.
的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应，
所以的奇子集与偶子集的个数相等.
（Ⅲ）对于任意，
（1）当时，含的的子集共有个，由（Ⅱ）可知，
对每个数（），在奇子集与偶子集中，所占的个数是相等的；
（2）当时，将（Ⅱ）中的换成即可，
可知在奇子集与偶子集中占的个数是相等的.
综合（1）（2），每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数相等.
所以的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
【巩固训练】
1．设，是有限集，定义，其中表示有限集中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，，。对于这两个命题的判断，正确的是（
）
、命题①和命题②都成立
、命题①和命题②都不成立
、命题①成立，命题②不成立
、命题①不成立，命题②成立
【难度】★★
【答案】
【解析】命题①显然正确，通过文氏图可知表示的区域不大于的区域，故命题②也正确，故选。可以利用来证明。
2．对于集合的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后面的数。例如集合的“交替和”是，集合的“交替和”为。当集合中的时，集合的所有非空子集为，，，则它的“交替和”的总和，请你尝试对，的情况计算相应的“交替和”的总和，，并根据其结果猜测集合的每一个非空子集的“交替和”的总和
【难度】★★★
【答案】
【解析】容易得出，，猜想。的“交替和”的总和为，的“交替和”的总和分为两类：一类是不含的的“交替和”的总和为，另一类是含的，在的子集里都放上数，由于最大，原来的“交替和”变为了，故这类含的子集“交替和”的总和为，所以的“交替和”的总和为
3．设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的，，都有（表示中的较小者），则的最大值是
【难度】★★
【答案】11
【解析】集合含有两个元素的子集共有个，又，，，故需要排除4个，共有11个。
4．已知集合，，定义集合，则中元素所围成的区域的面积为
【难度】★★★
【答案】
【解析】集合中的动点由集合和集合复合得到，可以先将点固定，让其平移，根据的限制条件，可知每一个点所能移动的区域是以为圆心，以1为半径的圆，刻画出所有满足题意得区域，即可求出面积。或是利用代入法可得，也可以得出满足题意的区域。
二、函数中的新定义问题
创新函数新定义问题是通过重新定义相应的函数，对函数的知识加以深入地创新，结合原有函数的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的函数创新问题。对函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性和最值需要有较深的理解和掌握。
【例6】定义为正整数（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如，记，，则的值为
【难度】★★
【答案】
【解析】利用题目定义的函数运算关系，先算几个数（或几步）看看，试图从中找到相关的规律，是我们常用的方法。将，于是有，从16开始，以8为周期作重复变形，故有：。
【例7】设函数的定义域为，设函数的定义域为,若存在常数,使对一切实数均成立,则称为“倍约束函数”.
现给出下列函数:
①;
②;
③;
④;
⑤是定义在实数集上的奇函数,且对一切,均有.
其中是“倍约束函数”的是
。（写出所有正确命题的序号）
【难度】★★★
【答案】①④⑤
【解析】①，显然只需即可，所以它是“倍约束函数”；②可知，
||，且当时，
，故此时不可能存在符合题目要求，所以不是“倍约束函数”；③||，且，故此时不可能存在符合题目要求，所以不是“倍约束函数”；④，且经过分析可以确定其图象大致如右。可以肯定存在符合题目要求,所以是“倍约束函数”；⑤是奇函数，过原点，令，，则原式即为，故存在使之符合定义，故此项正确。故答案为：①④⑤
【例8】对于函数，若同时满足下列条件：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域是，那么叫上的闭函数．
　　（1）求闭函数符合条件的区间；
　　（2）若是闭函数，求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）∵在上是增函数，由闭函数的定义，知
∴或，或　故符合条件的区间为或［或．
　　（2）已知函数是闭函数，其定义域为．
　　由定义知存在，使在上的值域为，又知函数在上为增函数，则
　　故是方程的两个相异实根．
　　由，得，两边平方，得
整理得即方程在内有两个相异实根，设，
　　则，即，解得．
　　故实数的取值范围为．
【例9】已知函数，且.
设，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象.
（Ⅰ）若函数有两个零点，且，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设连续函数在区间上的值域为，若有，则称该函数为“陡峭函数”.若函数在区间上为“陡峭函数”，求实数的取值范围.
【难度】★★★
【答案】(Ⅰ)由,即,
由题设可知，
因为有两个零点，且，
，
，又，于是实数的取值范围为.
（Ⅱ）由可知，其对称轴为，
①当时，，函数在区间上单调递减，
最小值，最大值，
则，显然此时不存在，
②当时，，最小值，
又，最大值，则，
，又，此时亦不存在，
③当时，，最小值，
又，故最大值，
则，
,即，
综上可知，实数的取值范围为
【巩固训练】
1．定义为正整数（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如，记，，则的值为
【难度】★★★
【答案】145
【解析】按照例5的模式寻找规律即可得到答案，尽量多写几项。
2．已知符号函数，是上的增函数，，则（
）
、
、
、
、
【难度】★★
【答案】
【解析】分类比较与的大小，根据的单调性确定的符号，从而确定，再结合选项进行判断。因为，所以当时，，因为是上的增函数，所以，；同理可得当时，，；当时，，也成立，故正确。
3．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则下列真命题的个数是
（
）
①；②函数是偶函数；
③任取一个不为零的有理数，对任意的横成立；
④存在三个点，，，使得为等边三角形
、1
、2
、3
、4
【难度】★★
【答案】C
4．若对于定义在上的连续函数，存在常数，使得对任意的实数成立，则称是回旋函数，且阶数为.
(Ⅰ)试判断函数是否是一个回旋函数；
(Ⅱ)已知是回旋函数，求实数的值；
(Ⅲ)若对任意一个阶数为的回旋函数，方程均有实数根，求的取值范围．
【难度】★★★
【答案】(Ⅰ)不是回旋函数。
假设是阶回旋函数，则，
即对任意实数成立，则，无解，所以不是回旋函数。
(Ⅱ)设是阶回旋函数，则，
若，上式对任意实数均成立；
若，得对任意实数成立。
所以对任意实数均成立。
则且，所以，所以。
若，则，解得；
若，，解得
综上所述，
(Ⅲ)当时，阶回旋函数应满足恒成立，所以有实数根；
当时，令，得，所以。
若，显然有实数根；
若，则。
又因为是连续函数曲线，所以在上必有实数根。
当时，取，
考查，显然是定义在上的连续函数曲线，且
，
所以是阶回旋函数。
因为对任意实数，，所以无实数根。
综上所诉，满足条件的的取值范围为
三、数列中的新定义问题
数列中的新定义和创新题主要针对等差、等比、递推公式和求和公式等进行综合运用，对常见的求通项和求和的方法需要有一定的掌握，同时涉及到数列与函数、数列与解析几何、数列与二项式定理、数列与排列组合等的综合应用，也需要回顾函数的性质、解析几何常见结论、二项式的赋值法以及排列组合的展开和合并公式等。
【例10】在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”。已知数列1，2。第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2；
那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为
【难度】★★★
【答案】88575
【例11】设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”；
（1）若数列的前项和，，证明：是“数列”；
（2）若等差数列，公差，，证明：是“数列”；
（3）设点在直线上，其中，，若是“数列”，求、满足的条件。
【难度】★★★
【答案】（1）
当时，
是奇数，是偶数
∴不是“H数列”
（2）
对任意，存在使，即
是一奇一偶，一定是自然数
（3）时
，
时，
不恒成立
显然不是“H数列”
时
是“H数列”，所以对任意时,存在成立
,,
的正实数
【例12】对于数列，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”．
（1）若数列1，，2为“趋稳数列”，求的取值范围；
（2）已知等差数列的公差为，且，其前项和记为，试计算：
（）；
（3）若各项均为正数的等比数列的公比，求证:是“趋稳数列”．
【难度】★★★
【答案】（1）由题意，即
解得
（2）
∵
∴，
∴
∴
（3）由已知，设，因且，故对任意的，都有
∴对
，
因∴
∴,,,,,
∴
∴
∴
∴即对任意的，都有，故是“趋稳数列”
【例13】已知数列的各项均为整数，其前项和为．规定：若数列满足前项依次成公差为的等差数列，从第项起往后依次成公比为的等比数列，则称数列为“关联数列”．
（1）若数列为“关联数列”，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求出，并证明：对任意，；
（3）已知数列为“关联数列”，且，是否存在正整数，使得若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）为“6关联数列”，前6项为等差数列，从第5项起为等比数列
且，
即，解得
（或）．
（2）由（1）得（或）
，
，可见数列的最小项为，
证明：，
列举法知当时，；
当时，，设，则，．
（3）为“关联数列”，且
，
①当时，由得
，或．
②当时，由得，不存在
③当时，由，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，舍去；当时，舍去
当时，舍去；当时，舍去
综上所述，存在或或或．
【巩固训练】
1．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，
其中．对于正整数，规定为的阶差分数列，
其中．若数列有，，且满足，
则
．
【难度】★★
【答案】26
2．已知两个无穷数列分别满足，，其中，设数列的前项和分别为，
（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；
（2）若数列满足：存在唯一的正整数（），使得，称数列为“坠点数列”
①若数列为“5坠点数列”，求；
②若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由。
解答：
【难度】★★★
【答案】（1）数列都为递增数列，∴，，
∴，
；
（2）①∵数列满足：存在唯一的正整数，使得，且，
∴数列必为，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，
故；
②
∵，即，
而数列为“坠点数列”且，∴数列中有且只有两个负项．
假设存在正整数，使得，显然，且为奇数，而中各项均为奇数，∴必为偶数．
i.当时，
当时，，故不存在，使得成立
ii.当时，
显然不存在，使得成立
iii．当时，
当时，才存在，使得成立
所以
当时，，构造：为，为
此时，，所以的最大值为。
3．
设数列A：
，
,…
().如果对小于()的每个正整数都有
＜
，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在使得>，则
；
（3）证明：若数列A满足-
≤1（n=2,3,
…,N）,则的元素个数不小于
-.
【难度】★★★
【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】试题分析：（1）关键是理解G时刻的定义，根据定义即可写出的所有元素；
（2）要证，即证中含有一元素即可；
（3）当时，结论成立.只要证明当时仍然成立即可.
（3）当时，结论成立.
以下设.
由（Ⅱ）知.[]
设，记.
则.
对，记.
如果，取，则对任何.
从而且.
又因为是中的最大元素，所以.[]
从而对任意，，特别地，.
对.
因此.
所以.
4．如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列
中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.
（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；
（2）若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和；
（3）
已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，试判断数列是否是“兑换数列”？
如果是的，给予证明，并用和表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.
（4）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列，是否有可能它既是等比数列，又是
“兑换数列”？给出你的结论并说明理由.
【难度】★★★
【答案】（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”
所以也是该数列的项，且
故即。
（2）不妨设有穷数列的项数为。因为有穷数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，
所以也是该数列的项，又因为数列是递增数列
，且，则，
故
（3）数列是“兑换数列”。证明如下：设数列的公差为，
因为数列是项数为项的有穷等差数列
若，则
即对数列中的任意一项，
同理可得：若，也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列是
“兑换数列”；
又因为数列所有项之和是，所以，即
（4）假设存在这样的等比数列，设它的公比为，因为数列为递增数列，
所以，则
又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数
故数列必为有穷数列，不妨设项数为项，则，
①
若，则有，又，由此得，与矛盾；
②
若。由，得
即，故，与矛盾；
综合①②得，不存在满足条件的数列。
四、解析几何中的新定义问题
解析几何中的新定义主要涉及以解析几何中的定点、定值和最值为主的求解和证明，对解析几何的基本性质和常见结论需要比较熟练，常见的弦长公式、焦点三角形面积公式、从圆到解析几何的类比等。
【例14】设，常数，定义运算“”：，定义运算“”：
；对于两点、，定义.
(1)若，求动点的轨迹；
(2)已知直线与(1)中轨迹交于、两点，若，试求的值；
(3)在(2)中条件下，若直线不过原点且与轴交于点S，与轴交于点T，并且与(1)中轨迹交于不同两点P、Q
,
试求的取值范围．
【难度】★★★
【答案】(1)设,则
又由≥0可得P(,)的轨迹方程为，
轨迹C为顶点在原点，焦点为的抛物线在轴上及第一象限的内的部分
(2)
由已知可得
,
整理得,
由
,得．∵，∴
∴
,
解得或(舍)
；
(3)∵∴
设直线,依题意,，则,分别过P、Q作PP?1⊥y轴，QQ1⊥y轴，
垂足分别为P1、Q1，则．
由消去y得
∴≥．
∵、取不相等的正数，∴取等的条件不成立
∴的取值范围是（2，+）
【例15】和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系中，空间曲面的方程是一个三元方程．设、为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点的轨迹．
（1）试建立一个适当的空间直角坐标系，求曲面的方程；
（2）指出和证明曲面的对称性，并画出曲面的直观图．
【难度】★★★
【答案】（1）如图，以两个定点，的中点为坐标原点，以，所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，以与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，，
，
两边平方，得，
两边平方，整理得
令，得．①
若点、在轴上，则方程为：
（2）对称性：
由于点关于坐标原点的对称点也满足方程①，说明曲面
关于坐标原点对称；
由于点关于轴的对称点也满足方程①，说明曲面关于轴对称；
同理，曲面关于轴对称；关于轴对称．
由于点关于平面的对称点也满足方程①，说明曲面关于平面对称；
同理，曲面关于平面对称；关于平面对称．
图略．
【例16】已知椭圆的焦距为，且右焦点与短轴的两个端点组成一个正三角形。若直线与椭圆交于、，且在椭圆上存在点，使得：（其中O为坐标原点），则称直线具有性质.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线垂直于轴，且具有性质，求直线的方程；
（3）在椭圆上是否存在三个不同的点、、，使得直线、、都具有性质.
若存在，求出一组、、；若不存在，说明理由.
【难度】★★★
【答案】（1）由可得：
由，所以：
所以：，
所以椭圆；
（2）设直线，则、.
其中满足：，.
设,
由可得：，,
由点在椭圆上，所以.
即，所以：.
直线为：或.
（3）不存在，理由如下：
假设在椭圆上存在三个不同的点，
使得直线、、都具有性质.
因为直线具有性质，所以在椭圆上存在点，使得：.
设，则，，因为点M在椭圆上，
所以：，
又因为：，可得：
①
同理：
②
③
若中至少有一个为，不妨设，则，
由①③得：，即为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾！；
若均不为，则由①、②、③可得：矛盾！
得证.
【例17】已知椭圆：（），其焦距为，若（），则称椭圆为“黄金椭圆”．
（1）求证：在黄金椭圆：（）中，、、成等比数列．
（2）黄金椭圆：（）的右焦点为，为椭圆上的
任意一点．是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．[]
（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆：（）的左、右
焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过焦点、．
试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．
【难度】★★★
【答案】（1）证明：由及，得，
故、、成等比数列．
（2）解：由题设，显然直线垂直于轴时不合题意，设直线的方程为，
得，又，及，得点的坐标为，
因为点在椭圆上，所以，又，得，
，故存在满足题意的直线，其斜率．
（3）黄金双曲线的定义：已知双曲线：，其焦距为，若（或写成），则称双曲线为“黄金双曲线”．
在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线：的左、右焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过顶点、．
证明：直线的方程为，原点到该直线的距离为，
将代入，得，又将代入，化简得，
故直线与圆相切，同理可证直线、、均与圆相切，即以、为直径的圆为菱形的内切圆，命题得证．
【巩固训练】
1．如果是函数图像上的点，是函数图像上的点，且两点之间的距离能取到最小值，那么将称为函数与之间的距离。按这个定义，函数和之间的距离是
.
【难度】★★
【答案】
2．（1）设椭圆：与双曲线：有相同的焦点，是椭圆
与双曲线的公共点，且的周长为，求椭圆的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.
（2）如图，已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”
上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，
求证：为定值；
（3）由抛物线弧：（）与第（1）小题椭圆弧：（）所合成的封闭曲线为“盾圆”.设“盾圆”上的两点关于轴对称，为坐标原点，试求面积的最大值.
【难度】★★★
【答案】（1）由的周长为得，
椭圆与双曲线：有相同的焦点，所以，
即，，椭圆的方程；
（2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为，
当时，，，
即；
当时，，，
即；
所以为定值；
（3）因为“盾圆”关于轴对称，设于是，
所以面积，
按点位置分2种情况：
①当在抛物线弧（）上时，
设所在的直线方程（），
联立，得，同理，
面积，所以；
②当在椭圆弧上时，
于是联立，得；
即，由，
当且仅当等号成立，所以，
综上等腰面积的最大值为
3．如图，已知曲线，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．
(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C1—C2型点”；
(3)求证：圆内的点都不是“C1—C2型点”．
【难度】★★★
【答案】（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；
（2）直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须；
直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须
故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”.
（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，
则
直线与圆内部有交点，故
化简得，……①
若直线与曲线C1有交点，则
化简得，……②
由①②得，
但此时，因为，即①式不成立；
当时，①式也不成立
综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，
即圆内的点都不是“C1-C2型点”
．
在所有新定义的题型中，都是在原有的函数、三角、立几、解几、数列等知识的综合应用，解决这类题的关键是数学思想方法的转化及运用，同时需要学生有一定的创新意识，能够在接触新定义的同时并能使用其证明来求解相关问题。
1．设是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离.
若点A(-1,1),B在上，则的最小值为__________．
【难度】★★
【答案】
2．在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，
．有四个命题：①存在实数，使点在直线上；②若，则过、两点的直线与直线平行；③若，则直线经过线段的中点；④若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是（
）
．①
②
③；
．②
③
④；
．①
③
④；
．①
②
③
④．
【难度】★★★
【答案】
3．若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.
（1）判断下列函数：①；②中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（2）证明：对任意的正奇数，函数不是等比源函数；
（3）证明：任意的，函数都是等比源函数.
【难度】★★★
【答案】（1）①②都是等比源函数.
（2）证明：假设存在正整数且，使得成等比数列，
，整理得，
等式两边同除以得.
因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，
所以等式不可能成立，
所以假设不成立，说明对任意的正奇数，函数不是等比源函数
（3）因为任意的，都有，
所以任意的，数列都是以为首项公差为的等差数列.
由，（其中）可得，
整理得，
令，则，
所以，
所以任意的，数列中总存在三项成等比数列.
所以任意的，函数都是等比源函数.
4．对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；
（2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.
求证：（k=1,2,…,m）；
（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，
求.
【难度】★★★
【答案】（1）数列为：2,
3,
4,
5,
1；2,
3,
4,
5,
2；2,
3,
4,
5,
3；
2,
3,
4,
5,
4；2,
3,
4,
5,
5.
（2）因为，，
所以.
因为，，
所以，即.
因此，.
（3）对，；；
；.
比较大小，可得.
因为，所以，即；
，即.
又，从而，，，.
因此
=
=
===.
知识梳理
例题解析
O
x
y
P
S
T
Q
Q1
P1
x
y
o
3
反思总结
课后练习
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精品试卷·第
2
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