【备战2020】高考数学二轮专题：专题十 探索性问题 复习学案（上海地区专用）

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【备考2020】高考数学二轮专题复习学案
专题十 探索性问题
课题 探索性问题 单元 第章 学科 数学 年级 十二
学习 目标 考点1：对条件和结论的探索． 考点2：猜想、归纳、证明问题． 考点3：探索存在型问题． 考点4：命题组合探索性问题．
重点 培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程．
难点 培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程．
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30


探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求学生自己去寻找其存在与否，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求．解决这类问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
（1）直接求解；
（2）观察——猜测——证明；
（3）赋值推断；
（4）数形结合；
（5）联想类比；
（6）“特殊”——“一般”——“特殊” (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

一、条件追溯型
条件探索性问题一般采用反探法，即拿着结论探条件，然后再对探索出的条件进行证明和求解.
【例1】设都是锐角，，，请问是否可以求解，若能
求解，求出答案，若不能求解简述理由， 。
【难度】★★
【答案】在上递减，而，所以条件错误，不可解。

【例2】将函数的图像向左平移（）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为______________．
【难度】★★
【答案】

【例3】如图，在三棱柱中，已知平面，，，，是中点．当点在棱上的什么位置时，有平面？并证明你的结论．
【难度】★★
【答案】∵平面，平面，∴，
∵，是中点，∴，
又∵平面，，∴平面.
过点作，交于点.
∵，∴平面，故所作点适合题意，下面探索点的位置.
∵，，∴，∴，∴四边形是正方形，
连结，则有，∴，∴点是棱的中点，
∴点为棱的中点时，平面.
【解析】首先证明平面，然后过点作，交于点，则有平面，此时点即为所求点，最后在四边形中探索点的位置.

【巩固训练】
1．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为
【难度】★★
【答案】4
【解析】，∴≥9，≥4．

2．若直线与曲线有四个不同交点，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【难度】★★★
【答案】A

3．如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；
（2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离） (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★★
【答案】（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，
由题意，有｜CA｜=｜CM｜
∴,化简，得
x2=2py
它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
（2）由（1）得，直线c恰为轨迹E的准线 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0,）是抛物线的焦点 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜
由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点
直线BF的方程为联立方程组
得 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
即C点坐标为() (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜= (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

二、结论导向型
此型问题的基本解法是：先探索猜想结论，再证明结论.
【例4】 如图，在四棱锥中，是矩形，，，点是的中点，点在上移动. 试判断直线和的位置关系，并给出证明.
【难度】★★
【答案】结合图形猜想，证明如下.
∵，∴，∵，∴，
∵平面，，∴.
∵，∴，
∵，点是的中点，∴，
又平面，，∴，又，
∴.
【解析】根据题意，与平面应为特殊的位置关系，故可先结合图形，
对位置关系进行猜想，然后再利用已知条件对猜想进行证明.

【例5】已知点P(x0, y0) 在椭圆C：(a>b>0)上，如果经过点P的
直线与椭圆只有一个公共点时， 称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示
为：．根据以上性质，解决以下问题：
已知椭圆L：，若Q(u，v)是椭圆L外一点(其中u，v为定值)，经过Q点作椭圆L的
两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是 ．
【难度】★★★
【答案】
【解析】可以根据已知的结论猜测所求方程为，再用具体已知的数来证明即可。

【例6】 已知非零复数z1,z2满足｜z1｜=a,｜z2｜=b,｜z1+z2｜=c（a、b、c均大于零），问是否根据上述条件求出？请说明理由 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★★
【答案】 ∵|z1+z2|2=(z1+z2)(+)=|z1|2+|z2|2+(z1+z2)
∴c2=a2+b2+(z1+z2)
即 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) z1+z2=c2–a2–b2
∵z1≠0,z2≠0，∴z1+·z2= =|z2|2()+|z1|2()
即有 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) b2()+a2()=z1z2+z1z2
∴b2()+a2()=c2–a2–b2
∴a2()2+(a2+b2–c2)()+b2=0
这是关于的一元二次方程，解此方程即得的值 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

【巩固训练】
1．已知椭圆C：的上、下焦点分别为、，过椭圆C上一点作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点，则直线AB的斜率为 .
【难度】★★
【答案】
【解析】（方法一）利用特殊值将斜率设为1则斜率为-1,从而联立求解.
(方法二)利用图形中的极限位置思考，考虑、重合的情况；即过点做轴垂直的情况，交于椭圆与另外一点，则的斜率即过的切线斜率，利用可得

2．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随变化而变化
【难度】★★
【答案】B
【解析】由对称性，不妨设P在第一象限，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，由两曲线的定义，知：

PF1⊥PF2△F1PF2为Rt△.
同时可以猜测结论是Rt△，再来根据特值来进行反向求解。

3．已知首项为的数列满足（为常数）。
（1）若对于任意的，有对于任意的都成立，求的值；
（2）当时，若，数列是递增数列还是递减数列？请说明理由；
（3）当确定后，数列由其首项确定，当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。
说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）数列是递减数列；
（3）①数列满足，若，则数列是有穷数列；
②数列满足，若，则数列是有穷数列；
③数列满足，则数列是有穷数列的充要条件是存在，使得；′
④数列满足，则数列是有穷数列且项数为m的充要条件是


三、条件重组型
这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题．
【例7】实数、满足且，由、、、按一定顺序构成的数列（ ）
A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列
C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列
【难度】★★
【答案】B
【解析】本题为等差等比数列定义：，则同号
（1）、若都大于零，不妨设，则，
、、成等差数列，则、、、不能组成等差数列
、、成等比数列，则、、、不能组成等比数列
（2）、若都小于零，不妨设，则，
若、、、按一定顺序构成等比数列，则必、、、为等差数列，
、、成等差数列，则要求即（），，得，当，
成等差数列
三个负数一个正数，不能组成等比数列。

【例8】有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为、、（）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，若在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】

【巩固训练】
1．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．
若函数的图象与的图象关于 对称，则函数=
．
（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
【难度】★
【答案】①x轴， ②y轴，
③原点， ④直线

2．已知三个不等式：（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）
A　0 B　1 C　2　 D　3
【难度】★★
【答案】D
【解析】若，
∴，若

故三个命题均为真命题，选D．

四、规律探究型
【例9】操作变换记为，其规则为：，且规定：，是大于1的整数，如：，，则 .
【难度】★★
【答案】(21006,-21006)
【解析】，，
，，
，，…，

【例10】已知函数，且，
则满足方程的根的个数为 ( )
A.2n个 B. 2n2个 C. 2n个 D.2(2n -1)个
【难度】★★★
【答案】C
【解析】只要考虑与的图像的交点的个数.
n=1时，由图1知与的图像有2个交点；
n=2时，，
如图2，原线段OA1与D1C1，现分别变为线段OA2和D1A2；
原折线A1B1C1，现变为折线A2B2C2，
由图可知与的图像有22个交点…
一般地，的图像是把的图像横向倍增
而得，即每一个上三角波都倍增为两个上三角波，故与直线的图像的交点个数也翻了一番，交点个数成公比为2的等比数列，首项为2，故有2n个交点.

【例11】将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨 三角形可看出. 令，则 .
【难度】★★★
【答案】
【解析】通过观察可得
．
进而可得

【巩固训练】
1．若，，,
则f(1)+f(2)+…+f(2012)+f1(1)+f2(1)+…+f2012(1)= ．
【难度】★★★
【答案】2012
【解析】，，
，，
一般地，，而，∴，故原式=2012.

2．设幂函数，若数列{an}满足：a1=2012，且an+1=f(an)(nN*)，则数列的通项
an= ．
【难度】★
【答案】
【解析】an+1=f(an)=，∴，，，…，
一般可得.

3．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图1所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）．
【难度】★★
【答案】10；


五、存在判断型
【例12】已知函数(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)＞ (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点(1,0)对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★
【答案】（1）∵f(x)是奇函数
∴f(–x)=–f(x)，即

∴–bx+c=–bx–c
∴c=0
∴f(x)=
由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0，
当x＞0时，f(x)＞0
∴f(x)的最大值在x＞0时取得 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

∴x＞0时，
当且仅当
即时，f(x)有最大值
∴=1,∴a=b2 ①
又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2 ②
把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2
又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=
（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，
P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0
解之，得x0=1±,
∴P点坐标为()或()
进而相应Q点坐标为Q（）或Q() (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
过P、Q的直线l的方程 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) x–4y–1=0即为所求 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【解析】充分利用题设条件是解题关键 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)



【例13】我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．
（1）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）当时，求的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．
试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，
求出所有可能的值；若不存在，说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1） ，
，
于是，所求“果圆”方程为
，
（2）由题意，得 ，即．
，，得．
又． ．
（3）设“果圆”的方程为，．
记平行弦的斜率为．
当时，直线与半椭圆的交点是
，与半椭圆的交点是．
的中点满足 得 ．
， ．
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当时，以为斜率过的直线与半椭圆
的交点是．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，
即不在某一椭圆上．
当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．


【巩固训练】
1．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。
若，是否存在，有说明理由；
找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；
若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。
【难度】★★★
【答案】（1）由，
整理后，可得，，为整数，
不存在，使等式成立。
（2）解法一 若即， （*）
（i）若，当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。（ii）若，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右只边只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，，矛盾。
综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。
解法二 设，若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即，
，对都成立，
（i）若，。
（ii）若，则
综上所述，，使对一切，。
（3），
设
，
，，
取，
由二项展开式可得整数，使得，

存在整数满足要求。
故当且仅当，命题成立。
说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若为偶数，则为偶数，但为奇数。
故此等式不成立，一定为奇数。
当，
而
当为偶数时，存在，使成立，
当 ，
也即，，
由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在，成立，
当，
也即，而不是5的倍数，当所要求的不存在，
故不是所有奇数都成立。

2．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，
右焦点到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在与椭圆交于两点的直线，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【难度】★★★
【答案】（1）设椭圆C的方程为，半焦距为，则
解得： 所以，，椭圆方程为
（2）解：存在直线，使得成立。
由 得
由得。
设，则
由得，
所以 （6分） 化简得
所以 （8分） 由 得，
因此， 所以实数的取值范围是

3．已知为为双曲线的两个焦点，焦距，过左焦点垂直于轴的直线，
与双曲线相交于两点，且为等边三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）设为直线上任意一点，过右焦点作的垂线交双曲线与两点，
求证：直线平分线段（其中为坐标原点）；
（3）是否存在过右焦点的直线，它与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，
且使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【难度】★★★
【答案】（1）设，则由可得
由为等边三角形，可得
又因由上式解得
所以双曲线C的方程为
（2）证明：由条件，可设T(1，t)，则，从而过点的直线的
垂线的方程为
设则由 得
易知当且
进而有

由于故直线经过线段的中点
即直线平分线段
（3）由条件，可设直线的方程为并设
由于双曲线C的两条渐近线的方程为
则由得
于是故
从而由 解得
而当时，方程的判别式于是直线的方程为


1、条件追溯型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．
2、结论导向型问题，先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．
3、条件重组型问题，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．
4、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．
5、存在判断型问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．




1．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤．
（i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有．（填所选条件的序号）
【难度】★
【答案】③⑤ ， ②⑤
【解析】由线面平行关系知:∥可得∥; 由线面垂直关系得: ∥

2．已知函数，那么

【难度】★
【答案】
【解析】考察函数可发现左式构成规律：，于是立得结论为．若直接代入费力又费时．

3．设函数，给出以下四个结论：
①它的图象关于直线对称；②它的图象关于点(对称；③它的周期是；④在区间上是增函数．以其中两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
【难度】★★★
【答案】①③②④或②③①④


4．如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，．
（Ⅰ）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；
（Ⅱ）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于．并证明你的结论．
【难度】★★
【答案】解法1：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面相交于点，，连结OG，因为PC∥平面，平面∩平面APC＝OG，故OG∥PC，所以，OG＝PC＝．
又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面，
故∠AGO是AP与平面所成的角．
在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝．
所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为．
（Ⅱ）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1⊥A1C1， 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP．
那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．
解法二：(本题也可用空间向量来求解)

5．在四棱锥P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，问底面的边BC上是否存在点E (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
（1）使∠PED=90°；
（2）使∠PED为锐角 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 证明你的结论 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★
【答案】 (1)当AB≤AD时，边BC上存在点E，使∠PED=90°;当AB>AD时，使∠PED=90°的点E不存在 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) （只须以AD为直径作圆看该圆是否与BC边有无交点）（证略）
（2）边BC上总存在一点，使∠PED为锐角，点B就是其中一点 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
连接BD，作AF⊥BD，垂足为F，连PF，∵PA⊥面ABCD，∴PF⊥BD，又△ABD为直角三角形，∴F点在BD上，∴∠PBF是锐角 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
同理，点C也是其中一点 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

6．是否存在都大于2的一对实数a、b(a＞b)使得ab, ,a–b,a+b可以按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★
【答案】∵a>b,a>2,b>2,
∴ab,,a–b,a+b均为正数，且有ab>a+b>,ab>a+b>a–b (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
假设存在一对实数a,b使ab,,a+b,a–b按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是单调数列 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即
①ab,a+b,a–b,, 或 ②ab,a+b,,a–b由（a+b）2≠ab·
所以②不可能是等比数列，若①为等比数列，则有 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

经检验知这是使ab,a+b,a–b,成等比数列的惟一的一组值 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 因此当a=7+,b=时，ab,a+b,a–b,成等比数列 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

7．已知椭圆C1:，抛物线C2:，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点．
(Ⅰ)当AB⊥轴时，求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为
x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）．
因为点A在抛物线上，所以，即．
此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上．
（Ⅱ）：假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上．
　当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为．
由消去y得． ①
设A、B的坐标分别为（x1，y1）， （x2，y2），
则x1，x2是方程①的两根，x1＋x2＝．
由消去y得，②
∵C2的焦点在直线上，所以，代入②得 ③
由于x1，x2是方程③的两根，∴ ，从而 = ④
因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，
所以，且
．
从而．
所以，代入④得．
解得，此时．
因为C2的焦点在直线上，所以．
即．
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为．
【解析】“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行．“不存在”就是没有，找不到．这类问题常用反证法加以认证．“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由．这类问题常用“肯定顺推”．





知识梳理

例题解析















例3图

















例4图

x

O

y

1



y=f1(x)

图1：n=1时

1

y=x

y

x

O

1



y=f1(x)

1

y=x



A1

A2

B1

B2

C1

D1

C2





图2：n=2时

第3题图

…

y



O







.

.









x

.

y

O









.

.

.

M







x

















反思总结

课后练习

A

y

B

O

x






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