【备战2020】高考数学二轮专题：专题十三 高中数学解答题解题技巧 复习学案（上海地区专用）

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【备考2020】高考数学二轮专题复习学案
专题十三 高中数学解答题解题技巧
课题 高中数学解答题解题技巧 单元 第章 学科 数学 年级 十二
学习 目标 1、审清题意，综合所有条件，提炼全部已知线索，形成整体认识； 2、画好图形：涉及到图形的题目要做到定形状、定性质、定数量，注意图形中的可变因素，注意图形的运动和变换； 3、寻求合理的解题思路和方法，找到得分点：以退为进、正难则反、大胆猜测、分解分步； 4、确保运算准确，学会检验结果。
重点 解答题中学会不缺步、不跳步、检验计算，尽可能多得分。
难点 解答题中学会不缺步、不跳步、检验计算，尽可能多得分。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30




解答题是高考数学的一个大板块，是学生突破思维和能否取得高分的关键。对解答题的解题策略，首先需要审清题意，这是做好解答题最关键的一步，一定要全面、认真地审清关键词语、图形和符号，包括题中所涉及到的隐性条件等，恰当理解条件与所求目标间的联系，合理设计好解题程序。在做好第一步的同时，根据解答题的特点，探求不同的思路，是做好解答题的又一关键步骤。由于高考数学解答题设计比较灵活，寻求解题思路时，尽可能地将条件和问题熟悉化、具体化、简单化，再合理运用分析法和综合法将其不断地转化与化归，使问题不断清晰明了。除此之外，如果遇到一个很难的解答问题，可以将其分解为一系列的步骤，或者是一个个的小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少；还有的一些解答题分成了几步，而有时往往会在某一环节上卡壳，这时我们可以先承认这一未完成的中间结论，跳步解答，看能否得出最后的结论；如果所要解决的问题较为抽象和普遍，而较难证明和求解，不妨从一般到特殊转化，从具体到抽象转化，先将所求问题退化一步，拿到关键得分点；最后要注意书写格式的清晰和规范，这也是完成解答题的一种辅助方式。

一、以退为进
【例1】（18分）已知函数.
（1）指出的基本性质（结论不要求证明）并作出函数的图像；
（2）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）关于的方程（）恰有6个不同的实数解，求的取值范围.

【难度】★★★
【答案】（1）解：
……………1分 是偶函数…………2分
在区间和上单调递增，在区间和上单调递减…3分
的最大值是，无最小值，值域为…………………………………4分
（说明：在端点和处可开可闭，在处必须是开的，两个区间可以用“和”连接，但不能用“”连接；写对值域给分）
（作图如下：）…………………………6分



（2）因为关于的不等式恒成立，
令，则……………7分
即不等式上恒成立…………………………………………8分
当时， ………………9分 ……………10分
又 …………11分 ………………12分
（3）关于的方程（）恰有6个不同的实数解即有6个不同的解，…………………………………………13分
数形结合可知必有和， ………………………………14分
令，则关于的方程有一根为2，另一根在间…15分
…………………………………………………18分
【解析】对于复合型的函数、方程或不等式问题，我们可以先利用换元的方法将其退化为已知熟悉的二次方程的形式，利用二次方程的特点去讨论和转化，这时候题目分析起来会相对简单许多。


【例2】已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中、都是大于1的正整数，且，.
（1）求的值；
（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求的值；
（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由.
【难度】★★★
【答案】（1）由已知，得，，由，，得，，因、都是大于1的正整数，故，又，故，再由，得，故 ，即，所以，综上，；
（2）由，对于任意的，均存在，使得，则，又，由数的整除性，得是5的约数，故，，所以时，存在正整数满足题意；
（3）设数列中，，，成等比数列，由，得化简得
当时，时，等式成立，而，不成立；
当时，时，等式成立；
当时，，这与矛盾，这时等式不成立；
综上，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50.
【解析】对于第一问中的的值的求解，很多学生感觉没有思路，对于列出的已知条件，观察对比得到不等式是关键；第二问中的的值的求解，学生也许不会求解其整数的存在性，但可以通过特殊值的方式来先列出等式，看有无可能求出的值，通过由特殊到一般的方式来退化计算，多观察几个就能得到满足题意的；第三问同第二问，可以先找后求其唯一性。
【例3】已知椭圆：的右焦点与短轴两端点构成一个面积为的等腰直角三角形，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，点在直线上，且，求证：为定值；
（3）设点在椭圆上运动，，且点到直线的距离为常数，求动点的轨迹方程．
【难度】★★★
【答案】（1）由条件可得，， …………………………3分
椭圆的方程为．………………………………………………………5分
（2）设，则的方程为，由得…7分
．…10分
（3）设，由得 ①
又点在椭圆上得： ②
联立①②可得 ③ …………………………12分
由得，即
可得， ………………………………………………………14分
将③代入得：，
化简得点轨迹方程为：.…………………………16分
【解析】对于解析几何的一般思路，所有学生基本都知道是设直线方程，设点，然后联系方程，求解计算，但大部分学生都卡在了计算这一步，其实对于类似本题的定值定点等问题，可以先利用特殊值求出题中的结果是多少，然后再化简代数式即可，即时最后化不完全，也能求出结果，再下一问中也能继续使用。

【巩固训练】
1．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．
（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界的集合；若不是，也请说明理由；
（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1），则在上是增函数，故，
即， ……………………………………………（2分）
故，所以是有界函数． ……………………………………………（4分）
所以，上界满足，所有上界的集合是． ……………………（6分）

（2）因为函数在上是以为上界的有界函数，故在上恒成立，即，所以，（）， ……（2分）
所以（），
令，则，故在上恒成立，
所以，（）， ………………………（5分）
令，则在时是减函数，所以；（6分）
令，则在时是增函数，所以．…（7分）
所以，实数的取值范围是． ……………………………………（8分）

2．设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数使对任意正整数都成立．
现在给出只有5项的有限数列其中；
试判断数列是否为集合的元素；
（2）数列的前项和为且对任意正整数点在直线上，证明：数列并写出实数的取值范围；
（3）设数列且对满足条件②中的实数的最小值都有求证：数列一定是单调递增数列．
【难度】★★★
【答案】（1）对于数列不满足集合的条件①，数列不是集合中的元素.
对于数列，
而且，当时有显然满足集合的条件①②，故数列是集合中的元素. -------------------4分
（2）因为点在直线上，所以
①当时，有 ②
①②，得所以，当时，有
又
所以
因此，对任意正整数都有所以，数列是公比为的等比数列，故
对任意正整数都有且故实数的取值范围是实数的取值范围是-------------------10分
（3）假设数列不是单递增数列，则一定存在正整数使------12分
此时，我们用数学归纳法证明：对于任意的正整数当时都有成立.
①时，显然有成立；
②假设时，
则当时，由可得从而有所以
由①②知，对任意的都有-----------------------------------------16分
显然这个值中一定有一个最大的，不妨记为于是从而与已知条件相矛盾.
所以假设不成立，故命题得证．---------------------------------------------------------18分
【解析】第三问的条件较为抽象，不好着手分析推理，而对于数列的证明问题，还有一种通用的数学归纳法，论证的过程也许拿不到满分，但还是能拿到关键的步骤分，而不能将题空着。

3．已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：．
（1）求曲线的方程；
（2）若的坐标为，求直线和轴的交点的坐标；
（3）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标．
【难度】★★★
【答案】（1）设两动圆的公共点为Q，则有：．由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，．所以曲线的方程是：．…4分
（2）由条件，知道,，=,
,得直线: , ………………………6分
解方程组可得, ……………………………8分
,直线:, 所以交点．………………………10分
（3）证法一：由题意可知：，设，,
当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点……………12分
当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：
，把②代入①有：……………14分
③，④，
因为，所以有，
，把③④代入整理：
，（有公因式m-1）继续化简得：
，或（舍），
综合斜率不存在的情况，直线恒过定点． ………………………16分
证法二：（先猜后证）由题意可知：，设，,
如果直线恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在轴上，设为；
取特殊直线，则直线的方程为，
解方程组得点，同理得点，
此时直线恒经过轴上的点（只要猜出定点的坐标给2分）……12分
下边证明点满足条件
当的斜率不存在时，直线方程为：，
点 的坐标为，满足条件；………………………14分
当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：
，把②代入①得：
③，④，
所以

………………………16分
二、正难则反
【例4】设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义在上的函数．
（1）证明函数是定义域上的函数；
（2）判断函数是否为定义域上的函数，请说明理由；
（3）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数．
【难度】★★★
【答案】（1）证明如下：对任意实数及，
有 2分
， 4分
即， 5分 ∴是函数； 6分
（2）不是函数， 7分
说明如下(举反例)：取，，，
则，
即，∴不是函数； 10分
（3）假设是上的函数， 11分
若存在且，使得。
（i）若，
记，，，则，且，
那么
，这与矛盾； 13分
（ii）若，
记，，，同理也可得到矛盾； 14分
∴在上是常数函数， 15分
又因为是周期为的函数，所以在上是常数函数，这与的最小正周期为矛盾. 16分
所以不是上的函数。
【解析】如果正面求解比较困难，或者说推翻一个结论性的问题，都可以从反面出发，假设反证或是举反例寻找矛盾都可以，这样可以简化题型思路。

【例5】对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.
（1）设数列满足（），（不同时为0），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；
（2）设数列的前项和为，且.
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列满足（），，，，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.
【难度】★★★
【答案】（1）由数列是周期为的周期数列，
且，即，4分
（2）当时，，又得.……………6分
当
，
即或.…………………………8分
①由有，则为等差数列，即，
由于对任意的都有，所以不是周期数列.………10分
②由有，数列为等比数列，即，
即对任意都成立，
即当时是周期为2的周期数列.…………………12分
（3）假设存在，满足题设.
于是又则.
所以是周期为3的周期数列，所以的前3项分别为，
则，………………………………16分
当时，;
当时，;
当时，.
综上.………………………………………………………18分
为使恒成立，只要，即可，
综上，假设存在，满足题设，，.…………………20分
【解析】对于存在性判断的问题，我们一般都是从结果出发，执果索因，而对于某些已知判断不存在的情况，我们只需要举出反例即可。

【巩固训练】
1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、两点，求证：为定值．
【难度】★★
【答案】（1） 因为的焦点在轴上且长轴为，
故可设椭圆的方程为（）， ……………………………（1分）
因为点在椭圆上，所以， …………………………（2分）
解得， …………（1分）
所以，椭圆的方程为． …………………………………（2分）
（2）设（），由已知，直线的方程是， ……（1分）
由 （*） ………………………（2分）
设，，则、是方程（*）的两个根，
所以有，， ……………………………………（1分）
所以，


（定值）． ………………………………（3分）
所以，为定值． ……………………………………………………（1分）
（写到倒数第2行，最后1分可不扣）
【解析】定值可以利用特殊的点去检验，然后通过方程一般性设值去化简，即使运算量有些学生达不到，扣去合并运算的那一步，还是能拿到大部分的分值。

2．已知数列的各项均不为零，，且对任意，都有．
（1）设若数列是等差数列，求；（5分）
（2）设当时，求证：是一个常数；（6分）
（3）当时，求数列的通项公式（7分）
【难度】★★★
【答案】(1) 由题意得： 1分
2分

3分
5分
（2）计算，，猜想 7分
欲证明恒成立
只需要证明恒成立
即要证明恒成立
即要证明恒成立 （***） 9分
10分
（***）左边=
（***）右边=
所以(***)成立 11分
方法二：计算，，猜想 7分


9分
由于，上式两边同除以，
得
所以， 11分
所以 是常数 11分
（3）计算，，
类比猜想 12分



由于，上式两边同除以，
得
所以，
所以 是常数 13分
所以 14分




猜想 15分
用数学归纳法证明：

假设
则


17分
所以对一切 18分

三、大胆猜测
【例6】已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为证明：为定值；
（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆过且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）由题意得，所以
又点在椭圆上，所以解得
所以椭圆的标准方程为----------------------------------------------3分
（2）由（1）知，设点
则直线的方程为 ① 直线的方程为 ②
把点的坐标代入①②得 所以直线的方程为
令得令得
所以又点在椭圆上，
所以即为定值．-------------------------------9分
（3）由椭圆的对称性，不妨设由题意知，点在轴上，
设点则圆的方程为----------------------11分
由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点的距离的最小值是
设点是椭圆上任意一点，则
当时，最小，所以 ①
假设椭圆存在过左焦点的内切圆，则 ②
又点在椭圆上，所以 ③------------------------------------14分
由①②③得或
当时，不合题意，舍去，且经验证，符合题意。
综上，椭圆存在过左焦点的内切圆，圆心的坐标是---------16分
【解析】在解析几何的位置、距离、特殊点、特殊值的判断中，不妨转换个角度，现根据现有条件猜测和利用数值求出一个可行的答案，再反向论证即可。

【例7】已知数列 ，为其前项的和，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，求证：当时；
（3）已知当，且时有，其中，求满足的所有的值．
【难度】★★★
【答案】（1）当时，
又 ，所以 ……………………………5分
(2)、<法一> ，，


…6分
<法二>：数学归纳法
①时，， ………………………1分
②假设时有 ………………………1分
当时，
是原式成立
由①②可知当时； ………………………4分
(3)，
相加得，

，
………………………4分
时，无解
又当时；，时，；时，
时，为偶数，而为奇数，不符合
时，为奇数，而为偶数，不符合
综上所述或者 ……………………………4分
【解析】对于数列中求解整数存在可能性，有些题的取值有限，不妨取等值进行代入运算，如果发现了几个满足题意的值，只需要再进行检验值的唯一性。

【巩固训练】
1．已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的另一个交点为，线段的中点的横坐标是．
（1）求双曲线的标准方程；（2）求的大小；
（3）若动点在双曲线的左支上，设，问的值是否随点的位置改变而改变？试说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）直线的斜率，直线的方程为，
设双曲线的标准方程为，点的坐标为，
则由，消去得，得，
由，解得，故双曲线的标准方程为
（2）由（1）知直线与双曲线的交点的横坐标满足方程 ，
解得，得点的坐标为，
又点的坐标为，所以直线的斜率为，得；
（3）满足的不随点位置的改变而改变．
证明：设点，则，
当轴时，，为等腰三角形，；
当轴不垂直时，的斜率为，
的斜率为，所以，
，将代入上式，整理得：，
所以，故在中，，
因此，当动点在双曲线的左支上时，满足的不随点位置的改变而改变．
【解析】第三问中的角度的关系，其实很好猜测的两个值可能是和，在平面直角坐标系中才能结合几何意义来求解，这时只需要再进行证明即可。

2．已知数列中，，对任意的，、、成等比数列，公比为；、、成等差数列，公差为，且．
（1）写出数列的前四项；
（2）设，求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．
【难度】★★★
【答案】（1）由题意得
，，或.
故数列的前四项为或.
（2）∵成公比为的等比数列，
成公比为的等比数列
∴，
又∵成等差数列，
∴.
得，，
，
∴，，即.
∴ 数列数列为公差等差数列，且或.
∴或.
（3）当时，由（2）得.
，，
，
.
当时，同理可得，.
解法二：（2）对这个数列，猜想， 下面用数学归纳法证明：
ⅰ）当时，，结论成立.
ⅱ）假设时，结论成立，即.
则时，
由归纳假设，. 由成等差数列可知，于是，
∴ 时结论也成立.
所以由数学归纳法原理知.
此时.
同理对这个数列，同样用数学归纳法可证. 此时.
∴或.
（3）对这个数列，猜想奇数项通项公式为.
显然结论对成立. 设结论对成立，考虑的情形.
由（2），且成等比数列，
故，即结论对也成立.
从而由数学归纳法原理知.于是（易见从第三项起每项均为正数）以及，此时.
对于这个数列，同样用数学归纳法可证，此时.
此时.

四、分解分步
【例8】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆＋＝1(a>b>0)上不同的三点，A(3，)，B(－3，－3)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求点C的坐标；
(3)设动点P在椭圆上(异于点A，B，C)且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明·为定值并求出该定值.
【难度】★★★
【答案】　(1)由已知，得解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设点C(m，n)(m<0，n<0)，则BC中点为(，).
由已知，求得直线OA的方程为x－2y＝0，
从而m＝2n－3. ①
又∵点C在椭圆上，∴m2＋2n2＝27. ②
由①②，解得n＝3(舍)，n＝－1，从而m＝－5.
∴点C的坐标为(－5，－1).
(3)设P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).
∵P，B，M三点共线，∴＝，
整理得y1＝.
∵P，C，N三点共线，∴＝，
整理得y2＝.
∵点P在椭圆上，∴x＋2y＝27，x＝27－2y.
从而y1y2＝＝＝3×＝.
∴·＝5y1y2＝，
∴·为定值，定值为.

【解析】解析几何中的第一问一般式轨迹方程的求解，在求解中注意一些范围的限制，第二问和第三问中涉及的问题比较广，但针对本题的定值问题的求解，学生大都卡在综合计算这一步，未知量太多时容易运算出错，不妨先求值，得出结果，再进行化简对比。

【例9】设函数，其中为正整数.
（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；
（2）证明：；
（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.
【难度】★★★
【答案】（1）在上均为单调递增的函数. …… 2分
对于函数，设 ，则
，
，
函数在上单调递增. …… 4分
（2） 原式左边

. …… 6分
又原式右边.
. …… 8分
（3）当时，函数在上单调递增，
的最大值为，最小值为.
当时，， 函数的最大、最小值均为1.
当时，函数在上为单调递增.
的最大值为，最小值为.
当时，函数在上单调递减，
的最大值为，最小值为. …… 11分
下面讨论正整数的情形：
当为奇数时，对任意且
，
以及 ，
，从而 .
在上为单调递增，则
的最大值为，最小值为. …… 14分
当为偶数时，一方面有 .
另一方面，由于对任意正整数，有
，
.
函数的最大值为，最小值为.
综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.
当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. …… 18分
【解析】第一问考查的函数的基本性质，注意题目的条件，先判断，再利用单调性的定义证明，第二问和第三问是递进式的设置问题，第二问没有证明的情况下也可以用来做三问的条件，很多学生再解题时没有关注到这点，同时在第三问中虽然函数形式较为复杂，但猜测和计算最大值还是相对比较容易的，这一步的分是可以取得的，中间的计算即使不会也不要卡住不动，也可以跳过这一步，相对多拿步骤分。

【例10】已知首项为的数列满足（为常数）。
（1）若对于任意的，有对于任意的都成立，求的值；
（2）当时，若，数列是递增数列还是递减数列？请说明理由；
（3）当确定后，数列由其首项确定，当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。
说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）数列是递减数列；……………………………………10′
（3）①数列满足，若，则数列是有穷数列；………12′
②数列满足，若，则数列是有穷数列；……14′
③数列满足，则数列是有穷数列的充要条件是存在，使得；……16′
④数列满足，则数列是有穷数列且项数为m的充要条件是
……18′
【解析】第一问和第二问根据题中条件计算和求解相对不难，第三问很多学生在求解时能看出当时，数列是有穷数列，拿到的分值较少，对于开放性的探究题，不妨先找初始值，然后做变形和发散，本题如再往前推几步，就能找到规律，拿到得分点。

【巩固训练】
1．已知曲线C上任意一点P到两定点F1(－1，0)与F2(1，0)的距离之和为4.
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(－4，0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点(B在M、C之间)，N为BC中点.
①证明：k·kON为定值；
②是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由.
【难度】★★★
【答案】由已知可得：曲线C是以两定点F1(－1，0)和F2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以a＝2，c＝1?b＝＝，
故曲线C的方程为＋＝1.
(2)证明　设过点M的直线l的方程为y＝k(x＋4)，
设B(x1， y1)，C(x2， y2)(x2>x1).
①联立方程组
得(4k2＋3)x2＋32k2x＋64k2－12＝0，
则
故xN＝＝，
yN＝k(xN＋4)＝.
所以kON＝－，
所以k·kON＝－为定值.
②解　若F1N⊥AC，则kAC·kF1N＝－1，
因为F1(－1，0)，
kF1N＝＝，
因为A(－2，0)，kAC＝，
故·＝－1，
代入y2＝k(x2＋4)得x2＝－2－8k2，y2＝2k－8k3，
而x2≥－2，
故只能k＝0，显然不成立，
所以这样的直线不存在.

2．在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且.设.
（1）若，，，求方程在区间内的解集；
（2）若点是过点且法向量为的直线上的动点.当时，设函数的值域为集合，不等式的解集为集合. 若恒成立，求实数的最大值；
（3）根据本题条件我们可以知道，函数的性质取决于变量、和的值. 当时，试写出一个条件，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.
【说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.】
【难度】★★★
【答案】（1）由题意，
当，，时，，
，则有或，.
即或，.
又因为，故在内的解集为.
（2）由题意，的方程为.在该直线上，故.
因此，，
所以，的值域.
又的解为0和，故要使恒成立，只需
，而，
即，所以的最大值.
（3）解：因为，设周期.
由于函数须满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.
因此，根据三角函数的图像特征可知，
，.
又因为，形如的函数的图像的对称中心都是的零点，故需满足，而当，时，
因为，；所以当且仅当，时，的图像关于点对称；此时，，.
（i）当时，，进一步要使处取得最小值，则有，；又，则有，；因此，由可得，；
（ii）当时，，进一步要使处取得最小值，则有，；又，则有， ；因此，由可得，；
综上，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”的充要条件是“当时，（）或当时，（）”.

3．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。
若，是否存在，有说明理由；
找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；
若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。
【难度】★★★
【答案】（1）由， ……2分
整理后，可得，，为整数，

不存在，使等式成立。 ……5分

（2）解法一 若即 （*）
（i）若，

当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。……7分
（ii）若，（*）式等号左边取极限得
（*）式等号右只边只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，，矛盾。
综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。……10分
解法二 设，若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即，
，对都成立，……7分
（i）若，。
（ii）若，则
综上所述，，使对一切，。 ……10分
（3），
设
，
，， ……13分
取，……15分
由二项展开式可得整数，使得，

存在整数满足要求。
故当且仅当，命题成立。 ……18分
说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若为偶数，则为偶数，但为奇数。
故此等式不成立，一定为奇数。 ……1分
当，
而
当为偶数时，存在，使成立， ……1分
当 ，
也即，，
由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在，成立，……2分
当，
也即，而不是5的倍数，当所要求的不存在，
故不是所有奇数都成立。





对于解答题的难题，如函数、数列和解析几何，需要研究解题策略，会做的题目力求做对、做全、得满分，而对于不能全部完成的题目，需要学会缺步解答和跳步解答，解题过程中卡在某一环节时，可以承接中间结论，往下推，或直接利用前面的结论做下面的（2）、（3）问。








1．已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，点为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中、是椭圆上的点，直线与的斜率
之积为，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点，使得为定值？ 若存在，给出证明；
若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）因为点为椭圆上一点，所以， ……… 2分
得 ， 椭圆方程为 ……………… 4分
（2）设, 又，化简得 2分
则，， ……………… 3分
……………… 5分
所以

（定值） ……………… 8分
（3）因为动点P（x0，y0）满足，即，
所以点P的轨迹为焦点的椭圆。
存在点A()、B（），使得=（定值）… 4分
【解析】因为题中所求解的是定值问题，可以利用特殊点先求解，再换成一般的点进行代入运算，即时算不到最后，还是可以得到结果。

2．已知数列满足（）．
（1）若数列是等差数列，求它的首项和公差；
（2）证明：数列不可能是等比数列；
（3）若，（），试求实数和的值，使得数列为等比数列；并求此时数列的通项公式．
【难度】★★★
【答案】（1）解法一：由已知，， ……（1分）
若是等差数列，则，即， ……（1分）
得，， 故． ……………………（1分）
所以，数列的首项为，公差为． ………………（1分）
解法二：因为数列是等差数列，设公差为，则，
故， ……（1分）
，又，所以有， …………（1分）
又，从而． …………（1分）
所以，数列的首项为，公差为． …………（1分）
（2）假设数列是等比数列，则有，
即， ………………（1分）
解得，从而，， …………（1分）
又． …………（2分）
因为，，，不成等比数列，与假设矛盾，
所以数列不是等比数列． ………………（2分）
（3）由题意，对任意，有（为定值且），
即． ………………（2分）
即， …………（1分）
于是，， …………（1分）
所以， …………（2分）
所以，当，时，数列为等比数列． …………（1分）
此数列的首项为，公比为，所以．
因此，的通项公式为． ………………（1分）
【解析】要证明一个显然易见的结论错误，最常用的就是反证法。

3．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到可得到“边形数列”，记它的第项为．

1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28
（1）求使得的最小的取值；
（2）试推导关于、的解析式；
（3）是否存在这样的“边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）
由题意得，所以，最小的.
（2）设边形数列所对应的图形中第层的点数为，则
从图中可以得出：后一层的点在条边上增加了一点，两条边上的点数不变
则，
得是首项为1公差为的等差数列
则.（或等）
（3）
显然满足题意，
而结论要对于任意的正整数都成立，则的判别式必须为零
所以，得 故满足题意的数列为“三角形数列”.

4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.
(1)求椭圆方程；
(2)若C，D分别是椭圆长轴的左，右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，证明：·为定值；
(3)在(2)的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【难度】★★★
【答案】∵a＝2，b＝c，a2＝b2＋c2，∴b2＝2，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)证明　C(－2，0)，D(2，0)，
设M(2，y0)，P(x1，y1)，
则＝(x1，y1)，＝(2，y0)，
直线CM：＝，
即y＝x＋y0，
代入椭圆x2＋2y2＝4得，
(1＋)x2＋yx＋y－4＝0.
∵x1·(－2)＝，
∴x1＝－，
∴y1＝，
∴＝(－，)，
∴·＝－＋＝＝4(定值).
(3)解　设存在Q(m，0)满足条件，则MQ⊥DP，
＝(m－2，－y0)，＝(－，)，
则由·＝0，
得－(m－2)－＝0.
从而得m＝0，
∴存在Q(0，0)满足条件.

5．平面直角坐标系中，已知点在函数的图像上，
点在直线上．
（1）若点与点重合，且，求数列的通项公式；
（2）证明：当时，数列中任意三项都不能构成等差数列；
（3）当时，记，，设，将集合的元素按从小到大的顺序排列组成数列，写出数列的通项公式．
【难度】★★★
【答案】(1)因为,所以,,
由,得,所以,
因为且,所以, 　
所以 ,是等差数列,
（反证法）假设存在数列中的三项 , , 成等差数列,其中 ,
则 ,　且
所以，
因为等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以等式不成立，
所以假设不成立.
所以数列中的任意三项都不能构成等差数列. (2)由题意，得： ,
(3)当时,设,则,且,设,,则,所以,　
因为,且,所以能被整除.
当时, ；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
当时,,
所以能被整除. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
当时,
,
所以不能被整除. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
综上, 时,，
所以 .

6．对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.
（1）若x＞2，且，求x的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通
项公式.（8分）
【难度】★★★
【答案】（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式. ……2分
所以x=2b，从而x=4. ……4分
（2）证明：取.设满足.
由得，所以、异号.
因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，
故1X. ……7分
假设，其中，则.
选取，并设满足，即，
则、异号，从而、之中恰有一个为-1.
若=-1，则2，矛盾；
若=-1，则，矛盾.
所以x1=1. ……10分
（3）[解法一]猜测，i=1, 2, …, n. ……12分
记，k=2, 3, …, n.
先证明：若具有性质P，则也具有性质P.
任取，、.当、中出现-1时，显然有满足；
当且时，、≥1.
因为具有性质P，所以有，、，使得，
从而和中有一个是-1，不妨设=-1.
假设且，则.由，得，与
矛盾.所以.从而也具有性质P. ……15分
现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, n.
当n=2时，结论显然成立；
假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, …, k；
当n=k+1时，若有性质P，则
也有性质P，所以.
取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.
若，则1，不可能；
所以，，又，所以.
综上所述，，i=1, 2, …, n. ……18分
[解法二]设，，则等价于.
记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于
原点对称. ……14分
注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，
所以也只有n-1个数.
由于，已有n-1个数，对以下三角数阵


……

注意到，所以，从而数列的通项公式为
，k=1, 2, …, n. ……18分
















知识梳理

例题解析

反思总结

课后练习






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