【备战2020】高考数学二轮专题：专题十四 高中数学解答题解题规范 复习学案（上海地区专用）

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【备考2020】高考数学二轮专题复习学案
专题十四 高中数学解答题解题规范
课题 高中数学解答题解题规范 单元 第章 学科 数学 年级 十二
学习 目标 1、解答题应答时，不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明； 2、对容易题要详写，过程复杂的试题要简写，答题时要会把握得分点； 3、 碰到难题既不能轻易放弃，也不要抓住不放，可以根据仅有的一些思路，能解多少写多少。
重点 答题过程要整洁美观、逻辑思路清晰、概念表达准确、答出关键语句和关键词。
难点 答题过程要整洁美观、逻辑思路清晰、概念表达准确、答出关键语句和关键词。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．
针对不少学生答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，必须要规范每种题型的答题方式，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．
解解答题的过程中，要以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，整个解答过程必要要有合理的逻辑性、缜密的严谨性，得到的答案也必须是可逆推的，解题并不需要做到每一步都计算出来，但对于解题格式的规范，是在高考中拿到高分的基础。


一、复数方程
在复数集中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式“”仅在实数集上有效，实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现，且不论是实根还是虚根，一定要注意判别式“”的的范围以及最后所求值的检验。
【例1】关于的方程的两根为、，且，求实数的值。
【难度】★★
【答案】因为关于的方程的两根为、，且，所以，，若、为实数，则，且，由韦达定理得，，将化简成，即，解得（另舍）；若、为虚数，则、为共轭复数，且，由得，所以，解得（另舍），综上所述，实数的值是或
【解析】复数方程的解答题本身难度不大，但很多学生拿不到全分，在求解的过程中，要么先是没有分类讨论，要么是在分类讨论中忘记了的判断和检验，而且需要注意的是，在所有分类讨论的解答题中，最后作答时一定要注意综合所有分类情况，题中打着重号的部分都是规范的格式所在。

【巩固训练】
1．若方程的两根满足，求实数的值.
【难度】★★
【答案】或
【解析】在复数范围内不一定成立，但一定成立.对于二次方程，韦达定理在复数范围内是成立的.，，则或，所以或.

二、三角函数的性质及解三角形
三角函数解答题中，主要以三角函数的化简为主，结合和利用正余弦、正切函数的图像和性质，求解三角函数的单调性、周期性、对称性和最值。这类解答题的第一步：三角函数式的化简，一般化成类似的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式；第二步：由、、的性质，将看做一个整体，解不等式，求角的范围或函数值的范围；第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果；第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．
【例2】已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值及最小值；
（3）写出函数的单调递增区间．
【难度】★★
【答案】由已知得


　
（1）函数的最小正周期为；
（2）∵，
∴．
∴当，，即，时，取得最大值；
当，，即，时，取得最小值.
（3）由，，
得，.
∴函数的单调递增区间为 （）．
【解析】三角函数的化简公式学生大都很熟悉，但在化简过程中，有的学生在草稿纸上化简完成，然后将答案一步抄写在答题纸上，这肯定是会扣分的，同样，在求最值或者值域的过程，要注意最值时必须要写出此时取得最值的的值，同时由于三角函数的周期性效果，必须要写出，不要遗漏，在写递推关系时，一些逻辑连接词和数学符号能写则写，可以增加整个解题过程的连贯性。

【例3】已知函数满足关系，其中是常数.
（1）设，，求的解析式；
（2）设计一个函数及一个的值，使得；
（3）当，时，存在，对任意，恒成立，求的最小值.
【难度】★★★
【答案】（1）， ；

（2），
若，则
，
(3),
显然，即的最小正周期是，
因为存在，对任意，恒成立，
所以当或时，
当时，
所以
或
所以的最小值是.
说明：写出分段函数后画出一个或多个周期上的函数图像，用数形结合的方法解同样给分


【例4】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.
（1）证明：A=2B；
（2）若△ABC的面积，求角A的大小.
【难度】★★
【答案】（1）根据已知条件，由正弦定理得，
故，
于是．
又，故，
所以或，
因此（舍去）或，
所以．
（2）由得，故有
，
因，得．
又，，所以．
当时，；
当时，．
综上，或．
【解析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得，再判断的取值范围，进而可证；（2）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得，再利用三角形的内角和可得角的大小．同时在解三角形的解答题中，判断范围是必须的一步，同时在得到多解的可能性中要注意检验。

【巩固训练】
1．已知函数.
（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论在区间[]上的单调性.
【难度】★★
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
试题解析： 解：的定义域为.


.
所以, 的最小正周期
解：令函数的单调递增区间是
由,得
设，易知.
所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
【解析】（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求定义域、周期根据（Ⅰ）的结论，研究三角函数在区间[]上单调性．

2．已知函数，其中、为非零实常数．
（1）若，的最大值为，求、的值．
（2）若，是图像的一条对称轴，求的值，使其满足，且．
【难度】★★
【答案】（1）因为（其中，），
所以的最大值为．
由，（2分）
及，（4分）
解得，或，．（6分）
（2）易知，当时，取得最大值或最小值，
于是，解得．（8分）
于是，（10分）
当时，解得或（）．（12分）
因为，故所求的值为，，．（13分）
【解析】在利用辅助角公式时，要注意的值虽然不一定要求解出来，但最好写出的关系式。

3．在中,已知.
（1）求证：；
（2）若求角A的大小.
【难度】★★
【答案】（1）∵，∴，
即. …………2分
由正弦定理,得，∴. …………4分
又∵，∴.∴即.…………6分
（2）∵ ，∴，∴.…………8分
∴，即.∴. …………10分
由（1），得，解得. …………12分
∵，∴.∴. …………14分

三、立体几何
立体几何解答题一般都是用来证明线面之间的位置关系，以及空间里的三角一距.在证明线面平行时，需要注意的不仅只有证明线线平行，还需要说明直线上有点在平面外，也不要写错了点线面之间从属关系的数学符号的表示；同样，在进行三角一距的求解与证明时，首先要在解答中说明哪一个标注的角为所求线线角、线面角、二面角的平面角或其补角，如果是利用空间向量的方法来证明和求解的，也需要说明哪一个为所求的三角比，再利用反三角形函数来表示.
【例5】如图，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，为棱的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
求该三棱锥的体积．
【难度】★★
【答案】（1）取中点，连结、，因为∥，所以就是异面直线与所成的角（或其补角）． ……………………………………………………（2分）
在△中，，， ………………………………（1分）
所以． ………………………………………………（2分）
所以，异面直线与所成的角的大小为． …………………（1分）
（2）作平面，则是正△的中心， ………………………（1分）
连结，， ……………………………………………………………（1分）
所以， ……………………………………………（1分）
所以，． ………………………………（2分）
【解析】在立体几何的求解中，如果是利用辅助线的方式来求解的，必须要先设点，联线，作辅助线的一般步骤必须规范，同时再找到所求问题的相关量，说明其值与所求之间的具体关系，同时在求解体积和表面积中，有单位的也不要忘记单位。

【例6】如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面，
（1）求证：；
（2）求二面角的大小.
【难度】★★
【答案】（1）连接BD，∵⊥平面
平面
∴AC⊥SD ………………4分
又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∴AC ⊥平面SBD
∴AC⊥SB. ………………6分
（2）设的中点为，连接、，
∵SD=AD，CS=CA,
∴DE⊥SA， CE⊥SA.
∴是二面角的平面角. …………9分
计算得：DE＝，CE＝，CD＝2，则CD⊥DE.
,
所以所求二面角的大小为 .………12分

【例7】在长方体中，，，，点在棱上移动．
（1）探求多长时，直线与平面成角；
（2）点移动为棱中点时，求点到平面的距离．
【难度】★★
【答案】（1）法一：长方体中，因为点在棱上移动，所以平面，从而为直线与平面所成的平面角，
中，. ……………………………5分
法二：以为坐标原点，射线依次为轴轴，建立空间直角坐标系，则点，平面的法向量为，设，得，由，得，故
（2）以为坐标原点，射线依次为轴，建立空间直角坐标系，则点，， ，
从而，， …………3分
设平面的法向量为，由
令，所以点到平面的距离为. …………4分

【巩固训练】
1． 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，M、E分别是和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.
(1)求证：BB1∥平面EFM；
(2)求四面体的体积。
【难度】★★
【答案】(1)证明：连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，
∴BB1∥ME， …………3分
又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM. …………6分
（2）正三棱柱中，由（1），所以，
…………8分
根据条件得出，所以，…………10分
又，因此。 …………12分

2．如图，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【难度】★★
【答案】（1）因为底面△是等腰直角三角形，且，所以，，…（2分）
因为平面，所以， ………………………………………（4分）
所以，平面． ……………………………………………………（5分）
（2）以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
由（1），是平面的一个法向量， ………………………（2分）
，，设平面的一个法向量为，则有
即 令，则，，
所以， …………………………………………（5分）
设与的夹角为，则， …………………（6分）
由图形知二面角的大小是锐角，
所以，二面角的大小为． ……………………………（7分）

3．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，点为的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若点为母线的中点，求与平面所成的角.（结果用反三角函数表示）
【难度】★★
【答案】（1）证明：在圆锥中，………………（2分）
∵点为的中点，…………………（4分）
由平面…………（6分）
（2）解：联结，平面
为与平面所成的角……………（8分）
设，则，
在中，（11分）
………………………………（12分）

四、函数
对于题中已经给出的函数或是要求的函数，都需要先确定函数的定义域．根据求单调性、值域、最值等步骤探求函数的性质，对于含参的分类讨论、奇偶性和周期性证明方式、反函数存在的意义等一般性的规范步骤，都需要尤其注意。
【例8】设是实数，函数（）．
（1）求证：函数不是奇函数；
（2）当时，求满足的的取值范围；
（3）求函数的值域（用表示）．
【难度】★★★
【解析】（1）假设是奇函数，那么对于一切，有，
从而，即，但是，矛盾．
所以不是奇函数．（也可用等证明）
因为，，所以当时，，由，
得，即，，
因为，所以，即．
①当，即时，恒成立，故的取值范围是；
②当，即时，由，得，故的取值范围是．
（3）令，则，原函数变成．
①若，则在上是增函数，值域为．
②若，则
对于，有，
当时，是关于的减函数，的取值范围是；
当时，，当时，的取值范围是，
当时，的取值范围是．
对于，有是关于的增函数，
其取值范围．
综上，当时，函数的值域是；
当时，函数的值域是；
当时，函数的值域是．
【解析】在证明函数的奇偶性时，首先需要说明定义域关于原点对称，其次再求解解析式形式的统一性，同时求解值域时，需要先看定义域，同时两者都需要写成集合的形式。

【例9】已知函数的反函数为 ．
（1）若，求实数的值；
（2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）


经检验是原方程的解.

，
设，当
（当且仅当，即时等号成立）
，其中，所以
所以
所以实数的取值范围是.
【解析】在求函数的反函数之前，首先需要确定原函数的值域，用来作为所求反函数的定义域，如果所求函数中包含几种不同的函数结构，需要取所有函数定义域的交集。

【例10】已知函数（其中且），是的反函数.
（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；
（3）设，其中. 记，数列的前项的和为（），求证：.
【难度】★★★
【解析】（1）转化为求函数在上的值域，
该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范围为
（2）的定义域为，……………………… 5分
定义域关于原点对称，又， 故，
所以函数为奇函数。
下面讨论在上函数的增减性. 任取，，设，令，
所以 因为，所以.
又当时，是减函数，所以.
由定义知在上函数是减函数.
又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减函数.
（3） ； 因为，，所以，
。
设时，则 ， 且，
由二项式定理，
所以，
从而。
【解析】判断函数单调性时，需要先看判断，再看定义域，证明函数在定义域内的单调性。同时证明单调性的三个步骤也不要有遗漏：1、设值；2、作比较；3、作结论。

【巩固训练】
1．已知．
（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；
（2）当时，若，求的值；
（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★
【解析】（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数．
∵，∴
所以既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）当时，，
由得
即或
解得
所以或．
（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，
故只需考虑，此时原不等式变为
即
故
又函数在上单调递增，所以；
对于函数
①当时，在上单调递减，，又，
所以，此时的取值范围是．
②当，在上，，
当时，，此时要使存在，
必须有 即，此时的取值范围是
综上，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是．

2．已知函数的反函数为，记.
（1）求函数的最小值；
（2）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.
【难度】★★
【解析】（1）由得，即（）
（）

由于，所以（当且仅当时，等号成立）
所以当时，函数
（2）由（）
得，
在区间上是单调递增函数,需满足：当时，，即
，即，
所以

3．设是定义在上的函数，对,恒有，且当时，.
（1）求证：；
（2）证明：时恒有；
（3）求证：在上是减函数；
（4）若，求的范围.
【难度】★★★
【答案】(1) 取，则，因为 所以
(2) 设则， 由条件可知
又因为，所以，
∴时，恒有
（3）设，则
= =
因为，所以，所以，即
又因为，所以
所以，即该函数在R上是减函数.
(4) 因为，所以
所以，所以
【解析】解抽象函数不等式，往往利用函数的单调性和奇偶性消去，同时不要忘记“定义域优先”.

五、数列
数列解答题的第一二问一般主要涉及对数列的通项和求和进行化简和计算，在进行通项公式的求解时，需要特别注意的是每次利用递推关系时，如果出现了类似的项，步骤中一定要写出的范围限制，当然，是必不可少的。在使用数列的性质中，也要注意求公式的合理性，比如说等比数列的求和公式的两种不同形式，是需要讨论其公比的取值范围，在没有得知公比的范围时，要分类讨论。
【例11】已知数列满足，对任意都有．
（1）求数列()的通项公式；
（2）数列满足()，求数列的前项和；
（3）设，求数列()中最小项的值．
【难度】★★★
【答案】(1) 对任意都有成立，，∴令，得．
∴数列()是首项和公比都为的等比数列． ∴．
　(2) 由()，得
()．
故．
当时，．于是，
当时，；
当时，

又时，，
综上，有
　(3)，， ∴，．
　　
　　∴数列()是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为3．
【解析】数列中首项不满足时，要写成分段数列的形式。

【例12】数列满足，，令，是公比为的等比数列，
设.
（1）求证：；
（2）设的前项和为，求的值；
（3）设前项积为，当时，求为何值时， 取到最大值.
【难度】★★
【答案】（1）
5分
（2）当时
当时
10分
（3）
； ；
取到最大值； 16分

【巩固训练】
1．已知数列中，，，的前项和为，且满足（）．
（1）试求数列的通项公式；
（2）令，是数列的前项和，证明：；
（3）证明：对任意给定的，均存在，使得当时，（2）中的恒成立．
【难度】★★★
【答案】（1）由（），得（），
所以（）， 即（） ……………………（2分）
又，所以
． ……………………（4分）
（2），………………（2分）
所以，
． …………………………………………………………（5分）
所以，．
（3）由（2），，因为，
所以随着的增大而增大． ………………………………………………（1分）
若，则，化简得， …………（2分）
因为，所以，所以，
， ……………………………………（4分）
当，即时，取即可． …………（5分）
当，即时，记的整数部分为，
取即可． ……………………………………………………………（7分）
综上可知，对任意给定的，均存在，
使得当时，（2）中的恒成立．……………………………………（8分）

2．数列各项均不为0，前n项和为，，的前n项和为，
且
（1）若数列共3项，求所有满足要求的数列；
（2）求证：是满足已知条件的一个数列；
（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列，并使得
【难度】★★★
【答案】（1）时， ……1分
时，
…3分
时，
当时， …………4分
当时， …………5分
所以符合要求的数列有：；； …………6分
（2），即证， 用数学归纳法证：
1．时，成立 …………7分
2．假设，成立 …………8分
则时，

等式也成立 …………10分
综合1、2，对于，都有 …………11分
是满足已知条件的一个数列。 …………12分
（3） ① ②
②-①得
,③ …………14分
时④
③-④得 …………15分

或 …………16分
构造:
ⅰ) …………18分
ⅱ) ⅲ)
ⅳ) (答案不唯一，写出一个即可)
【解析】数学归纳法使用的过程中，需要注意过程的规范性，先证时成立（但有的数学归纳法是从前面好几项开始的），再假设成立，然后利用的条件来推导成立。

六、解析几何
【例13】在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上与不重合的点．
（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；
（2）若，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（3）记是与椭圆的交点，若直线的方程为，当△面积取最小值时，求直线的方程．
【难度】★★★
【答案】（1）椭圆一个焦点和顶点分别为，………………………1分
所以在双曲线中，，，，
因而双曲线方程为．……………………………………………………4分
（2）设，，则由题设知：，．
即………5分 解得……………………7分
因为点在椭圆C上，所以，即…，
亦即．所以点M的轨迹方程为．…………………9分
（3）（方法1）因为AB所在直线方程为．
解方程组得，，
所以，.
又解得，，所以．………… 11分
由于
……………………………………………14分
或，当且仅当时等号成立，即k＝1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝．……………………………………… 15分
AB所在直线方程为． ………………………………………………… 16分
（方法2）设，则，
因为点A在椭圆上，所以，即（i）又（ii）
（i）+（ii）得，………………………………………………11分
所以.……………………………14分
当且仅当（即）时，. 又
AB所在直线方程为．………………………………………………… 16分
【解析】很多学生在求解曲线的方程时，过程较为简单，往往一步得到曲线方程，这一点要特别注意，解答题第一问的过程要尽可能的详细，而且要特别注意轨迹中有没有范围的限制，这一点也不要忘。在利用基本不等式求解最值的过程中，一定要注意“一正二定三相等”，不能直接得到最值。

【例14】已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线,若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足．
（1）求曲线的方程；
（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；
（3）求面积的最大值．
【难度】★★★
【答案】（1）设两动圆的公共点为Q，则有：．由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，．所以曲线的方程是：．…4分
（2）证法一：由题意可知：，设，,
当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点……………6分
当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：
，把②代入①有：……………8分
③，④，
因为，所以有，
，把③④代入整理：
，（有公因式m-1）继续化简得：
，或（舍），
综合斜率不存在的情况，直线恒过定点． ………………………10分
证法二：（先猜后证）由题意可知：，设，,
如果直线恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在轴上，设为；
取特殊直线，则直线的方程为，
解方程组得点，同理得点，
此时直线恒经过轴上的点（只要猜出定点的坐标给2分）……2分
下边证明点满足条件
当的斜率不存在时，直线方程为：，
点 的坐标为，满足条件；………………………8分
当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：
，把②代入①得：
③，④，
所以

………………………10分
（3）面积==
由第（2）小题的③④代入，整理得： ……………………………12分
因在椭圆内部，所以,可设， ………………14分
，(时取到最大值)．
所以面积的最大值为． …………………………………………16分
【解析】在解析几何中设直线方程时，学生基本都是使用直线的点斜式来使用的，但是很多学生最后会忘了讨论，而直线的斜率有可能不存在。同时即时求出直线的方程后，也需要检验其与曲线方程联立的一元二次方程是否有解。

【巩固训练】
1．如图，设是椭圆的下焦点，直线（）与椭圆相交于、两点，与轴交于点．
（1）若，求的值；
（2）求证：；
（3）求△面积的最大值．
【难度】★★★
【答案】（1）由得，所以△，
设，，则，， ………………（2分）
因为，所以，代入上式求得． ………………………（4分）
（2）由图形可知，要证明，等价于证明直线与直线的倾斜角互补，
即等价于． ………………………………………………………（2分）

． …………………………………………（5分）
所以，． …………………………………………………（6分）
（3）由△，得，所以

， ………………………………………………………………（3分）
令，则，故
（当且仅当，即，取等号）． ………（5分）
所以，△面积的最大值是． ……………………………………………（6分）

2．已知椭圆：的中心为，一个方向向量为的直线与只有一个公共点
（1）若且点在第二象限，求点的坐标；
（2）若经过的直线与垂直，求证：点到直线的距离；
（3）若点、在椭圆上，记直线的斜率为，且为直线的一个法向量，且
求的值.
【难度】★★★
【答案】（1）设直线：，根据题意可得：……1分
，消去并整理得……①…………2分
，解得，因为在第二象限，故，…3分
代入①得，解得，进而，故.……4分
（2）根据题意可得，直线：……5分
设直线：（），则……5分
消去得……6分
，解得，即……7分
且，，故……8分
点到直线的距离
当时，；……9分
当时，，当且仅当时等号成立.
综上①②可得，点到直线距离.……10分
（3）根据条件可得直线的斜率，……11分
由于，则直线的斜率的……12分
于是直线的方程为，由，可得……13分
设点，则……14分
同理……15分
……16分

七、应用题
高考数学中的应用题需要理解题目中的数据和变量的意义，构建函数、三角、立体或者数列模型，再利用其构建模型的性质来解决应用题的问题。应用题的规范解答中首先要设置未知数，并注意实际应用问题的范围；其次根据已知条件列出等量关系；三是解出所求关系及其变形，解决所求问题；四是检验答案的可行性；最后一步一定要作答。
【例15】某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所
在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影
部分所示．已知，，路宽米．
设
（1）求灯柱AB的高（用表示）；
（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC
所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）
【难度】★★
【答案】（1）三角形ACD中，，
由 ，得
.................................3分
三角形ABC中，
由 ，得
...................6分
（2）三角形ABC中，
由 ，得
.................................9分
所以
.......................................................11分
因为，所以
所以当时，取得最小值......................13分
制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米. .....14分
答：所以当时，制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米

【例16】用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，抛物线与梯形下底的两个焊接点
为．已知梯形的高是厘米，两点间的距离为厘米．
（1）求横梁的长度;
（2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）
【难度】★★
【答案】（1）如图，以为原点，梯形的上底所在直线为轴，建立直角坐标系
设梯形下底与轴交于点，抛物线的方程为：
由题意，得，……….3’
取，即
答：横梁的长度约为28cm………………..6’
（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点
设…..7’

则，即…………..10’
得
梯形周长为
答：制作梯形外框的用料长度约为141cm……..14’

【巩固训练】
1．某菜农有两段总长度为20米的篱笆及，现打算用它们和两面成直角的墙、围成一个如图所示的四边形菜园（假设、这两面墙都足够长）．已知（米），，．设，四边形的面积为．
（1）将表示为的函数，并写出自变量的取值范围；
（2）求出的最大值，并指出此时所对应的值.
【难度】★★
【答案】（1）在中，由正弦定理，得，
于是，， （2分）
， （2分）
所以四边形的面积为
．（2分）
（2）


． （4分）
所以，当时，四边形的面积取得最大值．（2分）

2．如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点与凳面圆形的圆心的连线垂直于凳面和地面，且分细钢管上下两段的比值为，三只凳脚与地面所成的角均为．若、、是凳面圆周的三等分点，厘米，求凳子的高度及三根细钢管的总长度（精确到）．
【难度】★★
【答案】联结，，由题意，平面，因为凳面与地面平行，
所以就是与平面所成的角，即．（2分）
在等边三角形中，，得，（4分）
在直角三角形中，，（6分）
由，解得厘米．（9分）
三根细钢管的总长度厘米．（12分）
答：凳子的高度为47.13厘米，三根细钢管的总长度为163.25厘米。


1、解与解集：方程的结果一般用解表示（除非强调求解集）；不等式结果一般用解集（集合或区间）表示，三角方程的通解中必须加k∈Z。在写区间或集合时，要正确地书写圆括号、方括号或花括号，区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开。
2、带单位的计算题或应用题，最后结果必须带单位，特别是应用题解题结束后一定要写符合题意的“答”。
3、分类讨论题，一般要写综合性结论。
4、任何结果要最简。
5、排列组合题，无特别声明，要求出数值。
6、函数问题一般要注明定义域。
7、参数方程化普通方程，要考虑消参数过程中最后的限制范围。
8、轨迹问题①注意轨迹与轨迹方程的区别。轨迹方程一般用普通方程表示，轨迹还需要说明图形情况。②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中或的范围。
9、分数线要划横线，不用斜线。
10、向量法要画坐标系。
11、数列分段的形式要注意写
12、立体几何中求解角度时注意题中单位的统一。


1．如图，在直三棱柱中，,.
（1）求证：平面；
（2）若D为的中点，求异面直线与所成的角的大小.
【难度】★★
【答案】（1）由题意知四边形是正方形，故.…………… 2分
由得.又,所以，
故 ………………………………………………………… 4分
从而得.……………………………………………… 6分
（2）解法一：在线段上取中点M，连结OM ∴直线OM与所成角等于直线AD与所成的角. ………………………………… 8分
设，在△中，,
……………………………………………………………11分
…………………………………13分
，异面直线AD与所成角的大小是. …14分
解法二：设，以为坐标原点建立空间直角坐标系可得，，，，，
………………………………………………………10分
直线AD与所成的角为，向量的夹角为
……………………………………12分
又，，
即异面直线AD与所成角的大小是.……………………………14分

2．已知函数（，），且函数的最小正周期为．
（1）求函数的解析式；
（2）在△中，角，，所对的边分别为，，，若，，且，求的值．
【难度】★★
【答案】 （1）， ………………（3分）
又，所以，， ………………………………………………（5分）
所以，． …………………………………………………（6分）
（2），故，
所以，或（），
因为是三角形内角，所以．……（3分）
而，所以，， …………………………（5分）
又，所以，，所以，，
所以，． …………………………………（8分）

3．为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型：
以表示第个时刻进入园区的人数；
以表示第个时刻离开园区的人数．
设定以分钟为一个计算单位，上午点分作为第个计算人数单位，即；点分作为第个计算单位，即；依次类推，把一天内从上午点到晚上点分分成个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．
（1）试计算当天点至点这一小时内，进入园区的游客人数、离开园区的游客人数各为多少？
（2）假设当日园区游客总人数达到或超过万时，园区将采取限流措施．该单位借助该数学模型知晓当天点（即）时，园区总人数会达到最高，请问当日是否要采取限流措施？说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）当天点至点这一小时内进入园区人数为
（人） …………………3分
离开园区的人数（人） ………………6分
（2）当天下午点（）时
进入园区人数为

（人） ………10分
此时，离开园区的人数
人………12分
此时，园区共有游客为（人） ………13分
因为，所以当天不会采取限流措施． ………14分

4．各项均为正数的数列的前项和为，且对任意正整数，都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）如果等比数列共有项，其首项与公比均为，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新的数列．求数列中所有项的和；
（3）如果存在，使不等式 成立，求实数的范围．
【难度】★★★
【答案】（1）当时，由得 …………1分
当时，由，得
因数列的各项均为正数，所以 ………………………………3分
所以数列是首相与公差均为等差数列, 所以数列的通项公式为．……………………4分
（2）数列的通项公式为 …………………………5分
数列中一共有项，其所有项的和为
……8分

……………………………11分
（3）由得
…………13分
记
因为，当取等号，所以取不到
当时，的最小值为
（）递减，的最大值为…………15分
所以如果存在，使不等式 成立
实数应满足，即实数的范围应为．………………………18分

5．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
如果函数的值域为，求实数的值；
研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；
对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）.
【难度】★★★
【答案】(1) ，
(2) 函数在和上单调递增，在和上单调递减，
(3) 可以把函数推广为（常数），其中是正整数，
当是奇数时，函数在和上单调递减，在和上单调递增，
当为偶数时，函数在和上单调递减，在和上单调递增，
当或时，函数取得最大值，当时，取得最小值；

6．如图，射线所在的直线的方向向量分别是，点在内，于，于．
（1）若，求的值；
（2）若的面积为，求的值；
（3）已知为常数，的中点为，且，当变化时，求动点的轨迹方程．
【难度】★★★
【答案】（1）当=1时，所以=-1，又因为, 1分
所以，即， 2分
由解得 3分
即所以 4分
（2）设，则， 6分
由得,即， 7分
解得（舍去），，所以 8分
， 9分
①若，则，化简得，解得或 10分
②若，则，化简得，解得或，均不合题意.综上①②可得，的值为或. 11分
（3）设，根据题意可知：
，其中 12分
，即（*） 13分
，故， 14分
变形得（*） 将（*）带入（**）得，，即
故点的轨迹为双曲线的右支. 16分











知识梳理

例题解析

B

A

C

E

D

A1

C1

E

A

B

C

D

B1



A

B

C

A1

B1

C1

D

（例15题图）

A

B

C

D











反思总结

课后练习






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