【备战2020】高考数学二轮专题：专题十五 高考数学常见解题误区一 复习学案（上海地区专用）

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【备考2020】高考数学二轮专题复习学案
专题十五 高考数学常见解题误区一
课题 高考数学常见解题误区一 单元 第章 学科 数学 年级 十二
学习 目标 1、解决对数学基本概念模糊、特征不明的解题误区； 2、解决数学题阅读中的理解性错误； 3、建立数学题中的直观思维和逻辑性，解决解题中的思维和策略性错误。
重点 消除策略性错误的应对策略是：后期复习注意归类总结，对基础题中档题形成模式化解法
难点 消除策略性错误的应对策略是：后期复习注意归类总结，对基础题中档题形成模式化解法
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30




解题错误是数学过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同时也考生学习水平、身体与心理状况有关。数学解题错误既有个性又有共性，据统计数学错误有一定的规律性。
一、审题失误。看错题目是低级错误的又一种常见情况。对新题型或较长的题目，一定要在透彻理解题意的基础上做题，必要时可多读几遍题目。此外，当解题有时解不下去，或运算很繁时，要怀疑是否出现运算错误或没有充分利用条件，及时纠正，实在做不出，要敢于放弃，不能恋战。
二、方法或策略不当。有些问题有简捷的解法，而不当的方法则既费时又易错。有些同学往往拿到题目后，不认真思考，随便想到一种方法就解，结果或者是繁的做不下去，或是解题过程中出现运算错误，即使勉强解出结果，但用了大量时间。因此拿到题目不要急于落笔，先找出比较简单的方法再解题，既能准确算对，又能节省时间，否则会陷于欲进不能、欲罢不忍的尴尬状态。
三、书写不当。有些同学书写不规范，如有同学把5与8，4与9写得很难辨认。此类错误若是出现在解答题中，阅卷老师看得出是笔误，可以高抬贵手，也可酌情扣分，若出现在填空题中，就爱莫能助了。有些同学书写没条理，想到哪儿，就写到哪儿，感觉不对就涂改，有些卷面涂改太多，正确答案有时阅卷老师找不到在哪儿，易被错判。
四、公式和概念不熟。部分同学对一些公式始终不熟，如三角中的正切倍角公式与正弦万能公式不分等等。错用公式不仅导致结果错误，还会耽误宝贵时间。考前一定要记住平时不熟的公式，有效地检验方法就是再看看以往做错的一些习题。做对会做的题，你就成功了。
五、运算失误。运算错误是数学考试中最常见的错误，同学多认为是粗心。其实是多方面原因造成的。一是运算过程中口算多，结果在脑子里一闪念就写到纸上，这样的错误复查时较难查出。建议常犯此类错误的同学在运算时，把过程写出来，可能会减少些错误。二是开始时心理紧张，由于前面填空题简单，急于做完留出时间做后面的解答题。结果忙中出错。有些同学由于紧张会出现暂时遗忘，熟悉的知识一时想不起来，或把简单的计算如移项、合并同类项、去括号等算错。最好能以平常心态进考场，保持适度紧张有利于集中思维，使运算高效有序。
这样的情况在高三的学生里是普遍存在，之所以出现这种情况，表面上是粗心大意，或者是过于紧张造成的，但实际上这只是原因的一部分。最根本的原因还是由于基础不牢固，对平时所学知识没有真正的掌握透，还有积累的解题方法不够多，造成在解题目的时候无谓地增加了很多中间步骤，使得错误出现的机率增加。
最好的解决方法就是用本子记录经典试题和经典思路，还有积累一些思维和计算的技巧，当然还要勤加练习为是。

一、审题失误
【例1】
【难度】★
【答案】0
【解析】题中的设置条件考查的是对定义域的理解，或多学生看到此题时容易忽略反余弦函数自身的定义域的范围是，结合前面的根号下的非负性，不难知道可求出题目答案。

【例2】“成立”是“”成立的___________条件.
【难度】★★
【答案】必要不充分
【解析】在理解正切函数存在的条件时要注意正切自身存在的意义。

【例3】若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是______________.
【难度】★★
【答案】
【解析】只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.
，的夹角为钝角,
解得或 (1)
又由共线且反向可得 (2)
由(1),(2)得的范围是

【巩固训练】
1．函数的单调递增区间是
【难度】★
【答案】

2．已知平面上三点A、B、C满足的值等于 （ ）
A．25 　　　　B．24 　　　　C．－25 　　　　D．－24
【难度】★★
【答案】C
【解析】学生看在看到多个向量作运算时，第一感觉会比较麻烦，其实本题的实质只是向量的线性运算，先合并再利用模长代入运算即可。

3．如果函数的图像关于直线对称，则
【难度】★★
【答案】-1
【解析】学生在审题时看到三角前面的时，不知道从何动手，用特殊值的方式能快速求解。
（一）特殊值法：因为图像关于直线对称，故可以取两个对称的点，
不妨取和，则由，可得a=-1
（二）辅助角

因为图像关于直线对称，故，得



二、方法或策略不当
【例4】若向量 =(cos,sin) ， =， 与不共线，则与一定满足（ ）
A． 与的夹角等于- B．∥
C．(+)(-) D． ⊥
【难度】★★
【答案】C
【解析】 错因：学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。

【例5】若函数的值域为，则函数的解析式为
【难度】★★
【答案】或
【解析】此题的实质是已知一个一元二次不等式的解集，求相关参数的问题，还原成一元二次方程解的问题。

【例6】过圆∴外一点M（4，-1）引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为
【难度】★★
【答案】
【解析】错误的思路是先找切点而后再直线方程，造成了很大的计算量。正确的解题思路应该是利用相关的切线结论公式去套用。

【例7】定义区间、、、的长度均为，已知实数、，则满足的构成的区间的长度之和为
【难度】★★★
【答案】2
【解析】此题的难度在于未知数、的不确定，解题思路难以确定，可以利用特殊到一般的转化方法来求解，或是将此题看成两个函数和的高低比较，利用图形即可求解出答案。

【巩固训练】
1．方程的解集是
【难度】★
【答案】
【解析】方程中含有三个底，只需将方程左右两边同时除以转化成二次型方成即可。

2．已知等差数列的前项和为，首项为，数列也成等差数列，且公差与的公差相等，则
【难度】★★
【答案】
【解析】题中的未知条件较多，如果让按照常规的首项和公差的方式解题会比较麻烦，我们可以利用奇数列的特殊性去变换，奇数列满足其也成等差，只需要将其放缩一下即可；或是利用等差数列前和的结构，也能简化计算。

3．已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。
【难度】★★
【答案】
【解析】错解 (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,
∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.
上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
事实上，原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4= (1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，
∴(a + )2 + (b + )2的最小值是。

4．当和取遍所有的实数时，且恒成立，则实数的最大值为
【难度】★★★
【答案】2
【解析】根据表达式的特征，转化为两点、间距离的平方，结合、两点的轨迹即可求解。

三、书写不当
【例8】若函数，则不等式的解集为
【难度】★★
【答案】
【解析】本题要求的是解集，解题时要写出集合或是区间的形式，不能写成范围，注意数学符号的规范。

【例9】若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则满足的条件是________________ .
【难度】★
【答案】
【解析】注意行列式中余子式和代数余子式的区别。

【例10】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成的
角的余弦值的大小为__________________．
【难度】★★
【答案】
【解析】注意在利用三角来求解立体几何中的角度时要注意角的范围和题中所要求的形式。

【例11】已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 .
【难度】★
【答案】
【解析】注意题中是含有单位的，做题时不要犯这类忘记单位的书写错误。

【巩固训练】
1．直线与椭圆交于、两点，已知直线的斜率为1，则弦的中点的轨迹方程是
【难度】★★
【答案】
【解析】解此类题目时，方程一定要写成一般形式，其次是注意范围的限制。

2．三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为，则____________．
【难度】★★
【答案】-14

3．如图，已知正方体，，为棱的中点，则与平面所成的角为 （结果用反三角表示）
【难度】★★
【答案】．（，）

4．下列三个命题中错误的个数是
①经过球上任意两点，可以作且只可以作球的一个大圆；
②球的面积是它的大圆面积的四倍；
③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.
【难度】★★
【答案】2
【解析】注意是写错误的个数，而不是序号。

四、公式和概念不熟
【例12】若方程表示的曲线可以是
【难度】★★
【答案】直线、圆、椭圆、双曲线
【解析】注意解析几何中曲线轨迹的概念和满足其轨迹图形时的条件。

【例13】已知函数的定义域为R，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】应选C，错误原因是只把分母看成二次函数研究，而忽视了情况。

【例14】设依次表示平面直角坐标系轴、轴上的单位向量，且，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】
【解析】在转化成轨迹定义时注意其限制条件，题中的轨迹只能形成一条线段。

【例15】已知等差数列的前项和为，向量，，
，且，则用表示 （ ）．
A. ????? B. ?????? C. ???? D.
【难度】★★
【答案】C
【解析】根据题意，在同一条直线上，∴，∵，∴，即，化简即可表示，选C，对于三点共线的形式，在向量中这一点要熟记。

【巩固训练】
1．如图，已知直线，抛物线图像上的一个动点到直线与轴的距离之和的最小值是
【难度】★★
【答案】1
【解析】如下图，，用点到直线距离公式求，熟记抛物线的定义

2．在中，，向量的终点在的内部（不含边界），则实
数的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】
3．若()是所在的平面内的点，且.给出下列说法：
；②的最小值一定是；
③点、在一条直线上；④向量及在向量的方向上的投影必相等.
其中正确的个数是（ ）
个. 个. 个. 个.
【难度】★★
【答案】
【解析】本题考查了平面向量数量积和投影的有关知识.如图，过点A作直线于点C，依题意知点在直线l上，可知①错误，的最小值可能为OC,②错误；③④正确.


4．函数在区间上可找到个不同数，，……，，使得，则的最大值等于（ ）
8 9 10 11
【难度】★★
【答案】
【解析】令，则可转化为的交点问题，如图所示：当时最多出现10个交点.




（1）注意审题。把题目多读几遍，弄清这个题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题。
（2）答题顺序不一定按题号进行。可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使自己尽快进入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目。若有时间，再去拼那些把握不大或无从下手的题。这样也许能超水平发挥。
（3）挖掘隐含条件，注意易错易混点，例如集合中的空集、函数的定义域、应用性问题的限制条件等。
（4）方法多样，不择手段。高考试题凸现能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值（含特殊值、特殊位置、特殊图形）、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答。不要在一两个小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是要做对”，即使是“蒙”也有25%的胜率。
（5）控制时间。一般不要超过40分钟，最好是30分钟左右完成选择题，争取又快又准，为后面的解答题留下充裕的时间，防止“超时失分”。

1．对正整数n,设抛物线y2=2(2n+1)x,过点P(2n,0)作直线交抛物线于两点，则数列的前n和= 。
【难度】★★
【答案】

2. 设是方程的两个实根，则的最小值是
【难度】★★
【答案】B
【解析】很多学生会误选了A，应注意∴
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得：

有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根，∴
当时，的最小值是8；
当时，的最小值是18。
这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。

3. 已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围。
【难度】★★
【答案】 错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+ ，
∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。
分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。
事实上，由于(x+2)2+ =1 (x+2)2=1－ ≤1 －3≤x≤－1，
从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1, ]。
注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。

4．直线与圆没有公共点，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】A
【解析】应选A，忽视了，错误地选取了C。

5．设O（0，0）A（1，0），B（0，1）P是线段AB上的一个动点，若则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】B
【解析】忽视了点P在线段AB上应满条件，错选了D，应选B

6．已知{（x,y）|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=则直线(m+3)x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形的面积是
【难度】★★
【答案】2
【解析】只重平行，忽视重合，忘舍了m=4

7．已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。
【难度】★★
【答案】 错解 (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,
∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.
分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
事实上，原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4= (1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，
∴(a + )2 + (b + )2的最小值是。

8．曲线，与直线有两个公共点，则实数k取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】D
【解析】错选C，错因化一元二次方程求解，忽视了函数的特点，解题策略不当，应注意数形结合，用直线和圆珠笔的位置关系求解。

9.求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。
【难度】★★
【答案】错误解法 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为
，消去得整理得
直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为
错误分析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。
②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。
③一般地，设所求的过点的直线为,则，
令解得k = ,∴ 所求直线为
综上，满足条件的直线为：

10．设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.
【难度】★★
【答案】错误解法 ，

。
错误分析 在错解中，由，
时，应有。
在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若，则有但，即得与题设矛盾，故.
又依题意 ,即因为，所以所以解得







知识梳理

例题解析

























反思总结

课后练习






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