【备战2020】高考数学二轮专题：专题十六 高考数学常见解题误区二 复习学案（上海地区专用）

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【备考2020】高考数学二轮专题复习学案
专题十六 高考数学常见解题误区二
课题 高考数学常见解题误区二 单元 第章 学科 数学 年级 十二
学习 目标 1、帮助学生改善在写题中出现的代数运算错误、格式混乱、粗心马虎等缺点； 2、提高学生运算的合理性、准确性、简洁性和快速性； 3、培养学生运算的严谨性和逻辑性。
重点 会根据法则、公式进行正确运算、变形和处理数据；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
难点 会根据法则、公式进行正确运算、变形和处理数据；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30



高考中，数学试题的解答，往往少不了需要运算和计算，但很多考生达不到高考对运算能力的要求。在运算的过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯有着决定性的作用，个体思维的跳跃性是产生运算漏洞的根本原因，这种思维性漏洞一旦产生，考生是很难发现的，考生本人还处我感觉很好，但得分率却不高。这些运算方面的错误大致可以分为以下几个方面：①没有正确使用运算法则和计算公式；②在进行数学关系式变形时出错；③不重视运算技巧，对已知条件不会有效利用，运算刻板，过程繁冗，缺乏各种简化计算的技巧；④数学符号引用不当，列式混乱，缺乏条理；⑤数值计算错误，缺乏一定的心算、估算和验算技能，不善于检验。
在二轮复习中，运算的合理性、准确性、简洁性和快速性作为首要的复习目标，对各种运算法则和计算公式，不仅要熟悉，还要学会灵活运用。同时，还得具备检验和修正错误的技能，并养成认真、冷静、严禁的良好解题和运算习惯。

一、没有正确使用运算法则和计算公式
【例1】解关于的不等式，并写出解集。
【难度】★★
【答案】m =0时，不等式为-2x-2>0,不等式的解集为；
时，可得若m>0,则, 此时不等式的解集为
若m<0,则不等式同解于不等式
当-2 当m= -2时，不等式的解集为．
【解析】对字母m分类讨论时，先要讨论二次项的系数，以区分是一次不等式还是二次不等式，还要注意化简后二次项系数对不等式的解的符号的影响．解不等式时，未知数系数对不等式变号时的影响一定要严格按照不等式的运算性质进行。

【例2】若,化简的结果是（ ）
． ． ． ．
【难度】★★
【答案】
【解析】在利用三角比公式化简三角比时一定要注意所求角所在的象限，从而判定其符号，同时也要注意偶次根号下开方出来的数一定是非负数。

【例3】
【难度】★★
【答案】4
【解析】，在进行对数的计算时，要注意公式的使用，以及真数恒大于0的隐藏条件，不少学生在化简时容易将第二个的真数化成，要警惕这种运算公式的使用的合理性。

【例4】
【难度】★★
【答案】0
【解析】对三阶行列式的计算、展开与合并公式，对角线计算法则，有些学生不熟练，此题可以分别计算每一个行列式的值，再进行合并运算，同时也可以利用三阶行列式的合并法则将三个二阶行列式合并成一个三阶行列式。

【巩固训练】
1．
【难度】★★
【答案】1
【解析】原式
，在进行对数运算时，常见的换底公式，提取指数幂公式需要熟练掌握，同时对对数的数值能够根据其单调性做出与0和1的大小比较。

2．解不等式: ．
【难度】★★
【答案】⑴当时，；
⑵当时，；
⑶当时，；
⑷当时，；
⑸当时，．


3．设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．5 D．10
【难度】★★
【答案】B
【解析】对给定的五个点设定其坐标形式为，，，，，再根据题意进行运算即可。

4．均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，那么“”是“”的（ ）
充分非必要条件 必要非充分条件
充要条件 既非充分又非必要条件
【难度】★★
【答案】
【解析】在解不等式中，注意当两个不等式系数之比是-1时，解集中的不等号会变向。

二、在进行数学关系式变形时出错
【例5】已知不等式的解集为，则的解集为
【难度】★★
【答案】
【解析】对一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的等价性，学生大都掌握比较清楚，但在进行韦达定理逆推时，不要忘记一元二次不等式的二次项系数的正负。正确思路有两种：（一），可以将化简成即可求解；（二）将关系式整理成，也可求解。


【例6】解方程
【难度】★★
【答案】方程的解必为方程的解，显然有，两边取常用对数得，或，即或，解得或，，而将代入原方程得左边等于而右边等于，显然不符合。故原方程的解是或
【解析】在等式两边同时取对数时，要保证两边都是正数，而方程的第一步变形就不是恒等变形，取绝对值是为了把一切对象都非负化。但在进行变形时大多学生没有注意到这一点。

【例7】已知关于的方程的两根，满足，求实数的值。
【难度】★★
【答案】（1）若，为实根，则，解得或，由得，，即，，（舍去）或
（2）若，为虚根，则且，解得，又，得，，即，，（负值舍去）。
综上，实数的值是，。
【解析】在对题中条件进行化简时，学生都能想到利用韦达定理来求解，但在进行等价变形时，容易分不清楚是绝对值还是模长的形式，或者是平方变形时将绝对值直接去掉了，这都是需要注意的点。

【例8】设无穷等差数列的前项和为。
若首项，公差，求满足的正整数；
求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数都有成立。
【难度】★★
【答案】（1），代入，解得。
（2）设，则由得，。即对于一切正整数都成立。
，解得或或
或或，从而求得或或
【解析】题中考查的等差数列的前项和公式属于基础知识，学生都记忆比较熟练，但对于其几种不同的结构不熟悉，同时在解决高次方程恒成立时，也要注意变形成“0=0”或是整式两边完全一样；解二元方程组的过程中，注意变形时不要直接约去或者，这是很多学生都会犯的错误。

【巩固训练】
1．设，若均有，则
【难度】★★
【答案】
【解析】对题中的不等式关系在变形成函数关系时，先注意根据关系式得到的正负，利用零点的个数转化的根和的根的关系，求解检验即可。

2．函数的最大值是
【难度】★★
【答案】
【解析】平方变形时注意范围的限制。

3．满足方程的复数共有 个。
【难度】★★
【答案】6
【解析】注意实数和虚数的分类，以及虚数形式的构造和方程组的求解。


4．设函数，是公差为的等差数列，，则
【难度】★★★
【答案】
【解析】代入过程中注意两角和差公式的对比转化。或是利用函数关于点对称去转化关系式。
三、不重视运算技巧，对已知条件不会有效利用，运算刻板，过程繁冗，缺乏各种简化计算的技巧
【例9】已知，，，则的最大值是
【难度】★★
【答案】
【解析】对进行基本不等式变形时，很多学生不知道它与已知条件的关系，其实只需将中的乘以2可得，可得；或是利用换元法设，得转化为已知，求的最大值问题。

【例10】函数的值域是
【难度】★★
【答案】
【解析】换元令，可得可转化为耐克函数相关的形式。

【例11】已知圆：，点，在圆上运动且，为坐标原点，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】
【解析】此题的关键在于转化，不妨设的中点为，则，由弦
为，可知圆心到的距离为定值，即可变成原点到一个新的圆上的动点的距离问题。

【例12】曲线：与轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则当，时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为
【难度】★★★
【答案】
【解析】题中即求曲线上的动点到定点的距离的最小值，易知的望点是，所以在曲线上的点到的距离，当时，令，，再次换元即可求解。

【巩固训练】
1．设，，且恒成立，则的最大值是
【难度】★★
【答案】4
【解析】令，，原题可化简为即可求解。

2．若不等式对任意自然数恒成立，则实数的取值范围是
【难度】★★
【答案】
【解析】分奇偶讨论分别求解即可。

3．已知分别是函数和上两点，则线段长度的最小值为
【难度】★★
【答案】
【解析】在寻找题中条件的转化中，注意其图像是关于直线对称的。

4．当和取遍所有实数时，恒成立，则实数的最小值为
【难度】★★★
【答案】2
【解析】根据表达式的特征，转化为两点、间距离的平方，结合轨迹即可求解。

四、数学符号引用不当，列式混乱，缺乏条理
【例13】若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为、,则:的值是
【难度】★
【答案】
【解析】题中所求的是圆柱和球的表面积的比值，很多学生在求解是容易写成，没有用到正确的表现形式。

【例14】已知全集，集合，，利用构造一个空集可以是
【难度】★★
【答案】
【解析】在考虑集合间的基本关系时，注意用到的符号，，，等符号的意义及其可以使用的情况。

【巩固训练】
1．平面平面，点，点，且，点，又，过点三点确定的平面为，则
【难度】★★
【答案】直线

2．正方体中，截面和截面所成的二面角的大小的余弦值是
【难度】★★
【答案】
【解析】题中所求是该二面角的余弦值，很多学生在草稿纸上计算完角度就直接填上，概念和符号不清晰，解题思维不清楚。

五、数值计算错误，缺乏一定的心算、估算和验算技能，不善于检验
【例15】已知有相同两焦点、的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是 （ ）
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 随的变化而变化
【难度】★★
【答案】B
【解析】不妨设在第一象限，设，由两曲线的定义可知
，

，为。
此题可以根据未知数的不确定性，在计算时不妨取两组数值代入进行验算和检验。

【例16】已知椭圆C：的上、下焦点分别为、，过椭圆C上一点作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点，则直线AB的斜率为 .
【难度】★★
【答案】
【解析】（方法一）
设，的直线方程为，则的直线方程为，分别与椭圆方程联立得：
由题知，1是方程的一个根，根据根与系数的关系得：，
同理，则，，则的斜率为
.
（方法二）利用特殊值将斜率设为1则斜率为-1,从而联立求解.
(方法三)利用图形中的极限位置思考，考虑、重合的情况；即过点做轴垂直的情况，交于椭圆与另外一点，则的斜率即过的切线斜率，利用可得

【例17】设依次表示平面直角坐标系轴、轴上的单位向量，且，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】
【解析】根据题意，的几何意义为一个点到的距离加上这个点到的距离等于，如下图所示，即到点的距离加上到的距离等于，而就等于，所以这个点的轨迹即线段，而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段上的点到点的距离的取值范围，最短距离即下图中的的长度，用点到直线的距离公式或者等面积法可求得，因为，，所以距离的最大值为3

用代数的方法计算，因为有根号，过程会很繁杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题，但在计算的过程中要注意题中的是线段，需要注意点到线段的距离不一定是点到直线的距离。

【例18】设双曲线（）上动点到定点的距离的最小值为，则的值为（ ）
A． B. C. 0 D. 1
【难度】★★
【答案】A
【解析】双曲线方程两边同时除，得到，当，，即方程，这就是方程的极限位置，即求点到直线的距离，所以选A，这是一类要考虑极限位置的极限题型，在高考题中出现过类似题型，一般找到了极限位置，题目是很容易解的，很多学生不会做是因为没有想到极限位置，而是想把用表示出来，这就复杂了。

【巩固训练】
1．实数、满足且，由、、、按一定顺序构成的数列（ ）
A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列
C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列
【难度】★★
【答案】B
【解析】本题为等差等比数列定义：，则同号
（1）、若都大于零，不妨设，则，
、、成等差数列，则、、、不能组成等差数列
、、成等比数列，则、、、不能组成等比数列
（2）、若都小于零，不妨设，则，
若、、、按一定顺序构成等比数列，则必、、、为等差数列，
、、成等差数列，则要求即（），，得，当，
成等差数列
三个负数一个正数，不能组成等比数列。

2．若直线通过点，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】D
【解析】先把点带入得到，即可得，得到就可求出；此题还可以利用点的特殊性，转化为直线经过圆心在原点的单位圆上的一点，利用图形效果可得原点（即圆心）到直线的距离小于半径1,转化为，可直接求得。对于点的使用，可以取特殊的角来计算和检验。

3．已知定义在上的单调递增函数，对于任意的，都有，且恒成立，则
【难度】★★
【答案】6
【解析】由题意，而，
若，则，不符合题意，舍；
若，则，符合题意；
若，则，由单调性可知，故，与已知矛盾，舍；所以.则有，

4．定义（其中表示不小于的最小整数）为“取上整函数”，，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）
① ②若，则
③任取， ④
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
【难度】★★
【答案】C
【解析】本题为新定义： 可以通过举反例进行排除，或者通过画的图像；
①选项只需取等分数即可排除；④选项只需取（反面例子很多）即可轻松排除


高考数学解题中突破运算和思维障碍的常规策略：
1、语言转译：及时将题目条件与结论中读不懂的部分，由原有的表述样式，转译为新一种表述样式，利用不同的语言样式的优点，凸现题目的数学本质，如将普通语言改译为符号语言，或将符号语言改译为图形语言，常常可以帮助我们突破语言关卡，读懂或切入题意．
2、数形结合：从数学对象的本质看，数即数学记号具有高度的抽象性，简约性，形即数学图形具有高度的直观性，形象性，数形结合思想相辅相成，完美地凸现了数学对象的各种本质及本质间的联系．数学运算中，不能充分揭露题目的隐含条件，找不到运算的突破口时，有意识地运用数形结合思想转换思维角度，赋条件和结论中的数式以图形，或给条件和结论中的图形以数式的解释，以形释数，由数思形，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，尽现题目丰富的种种联系，许多思维障碍便不攻自破了．
3、逆向思维： ① 逆向分析，当直接证法受阻时，变换视角，从待证结论出发，递次寻找结论成立的充分（充要）条件，直至题设或显然的数学事实，此执果寻因的证法通常叫分析法，是不等式证明中的重要间接证法； ② 逆用知识：当定理、法则、公式顺用不符合题没条件，只有逆向运用才能解题时，根据题没逆用知识就成为解题的必须策略，但解题成败的关键是对知识能否逆用的认识，即对定理、公式、法则使用范围的深刻理解；③ 逆向推求，在一些难度较大的探索型开放题，如存在性问题，从问题结论出发，假设问题结论存在（成立），结合题设条件，逆向推理或演算，找到确切的数值或明显的矛盾，使问题获解； ④ 反证法：当结论的正面不易证明时，假定结论反面成立，通过归谬，穷举等严格推理，引出矛盾，否定“反设”，从而肯定结论正确；⑤ 反面求补，当结论的正面比较复杂，而反面比较简单时，求结论的补集．
4、联想迁移：高考数学运算中思维受阻时，将题目的条件和结论，与数学各分支中不同的数学知识，数学方法乃至兄弟学科或现实生活中的其他知识常识，充分展开接近联想、相似联想、对比联想，改变问题情境，获得创造性的解法．
5、归纳猜想：归纳是通过分析部分特殊的事例去概括出普遍的结论的一种由特殊到一般的推理方法，当题目条件抽象性强，不易直接进行演绎推理获得结论时，转换思维角度，从特值、特例出发，经过观察，运用抽象或类比，猜想其一般规律，再给予严格证明，是高考数学解答题中难度较大的综合题——归纳猜想型开放性题的必由思路．
6、分解突破：对不易识别模式，进行形式转换，或情境较复杂，不易整体突破的非常规问题，根据问题的结构，数学对象的内涵（本质属性）和外延（使用范围），灵活转换思维角度，运用分解、分割、分离、分情况等策略，转化为一些相关连的小的子运算．
7：整体思想：当运算条件分散，联系隐蔽或形式复杂，不易处理时，灵活变通思维，整体观察、分析、代入、替换、配凑、构造、消元，常能另辟途径，使思路奇巧、运算简捷．


1．已知，且，则向量在方向上的投影是
【难度】★
【答案】 2

2．在中，，，，则
【难度】★★
【答案】

3．已知一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比．
【难度】★★
【错解】四个数成等比数列，可设其分别为则有，解得或，故原数列的公比为或
【解析】按上述设法，等比数列的公比是，是正数，四项中各项一定同号，而原题中无此条件，所以增加了限制条件。
【正解】设四个数分别为则，
由时，可得
当时，可得

4．在中，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】 A
【解析】由平方相加得
若，则， ，又 ，
选A
此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现。这里提示我们要注意对题目条件的挖掘。

5．等差数列中，为其前项的和，则 （ ）
A.都小于，都大于
B.都小于，都大于
C. 都小于，都大于
D. 都小于，都小于
【难度】★★
【答案】B
【解析】易错原因：已知条件不会灵活运用.

6．如图，在正方形中，，、分别是边、上的两个动 点，且， 则的取值范围是
【难度】★★
【答案】
【解析】法一（建系法）：分别以所在直线建立直角坐标系，设，则，，则

设，则
，即所以
法二（向量基本定理法）：设，则，

设，则
法三（巧设角）：设，则


7．已知点在椭圆（）上，如果经过点的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点称为切点，这条切线方程可以表示为：；根据以上性质，解决以下问题：
已知椭圆，若是椭圆外一点（其中、为定值），经过点作椭圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程是

【难度】★★★
【答案】
【解析】先类比推理，再利用特殊数值进行检验，可大大减少计算量。

8．设函数,其中.若是的三条边长,则下列结论中正确的是 ( )
①对一切都有；
②存在,使不能构成一个三角形的三条边长；
③若为钝角三角形,则存在,使.
①② ①③ ②③ ①②③
【难度】★★★
【答案】D
【解析】①的判断比较简单，②的计算策略是找到特殊值利用余弦定理进行计算，③是零点存在定理。

9．设、分别是椭圆的左、右焦点.,
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【难度】★★
【答案】（1）易知
设P（x，y），则

，
，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4
（2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k
直线l的方程为
由方程组
依题意
当时，设交点C，CD的中点为R，
则

又|F2C|=|F2D|

∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|
综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|
【解析】化归思想，消元思想是数学中的两大思想，也是解决此题计算的关键。










知识梳理

例题解析

反思总结

课后练习






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