质量检测(一)
(时间90分钟 满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算cos(－780°)的值是( )
A．－ B．－
C. D.
2．若sin(π－α)＝－，且α∈，则sin等于( )
A．－ B.
C．－ D.
3．已知tanα＝2，则sin2α－sinα·cosα的值是( )
A. B．－
C．－2 D．2
4．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是( )
5．设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
6．函数y＝2sin(x∈[0，π])的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
7．函数y＝f(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的解析式为( )
A．y＝sin2x－2 B．y＝2cos3x－1
C．y＝sin－1 D．y＝1－sin
8．函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴在区间内，则满足此条件的一个φ值为( )
A. B. C. D.
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为.为了得到g(x)＝cosωx的图象，则只要将f(x)的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
10．下列说法正确的是( )
A．在内，sinx>cosx
B．函数y＝2sin的图象的一条对称轴方程是x＝
C．函数y＝的最大值为π
D．函数y＝sin2x的图象可以由函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得到
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________cm.
12．函数f(x)＝3sin(2x＋5θ)的图象关于y轴对称，则θ＝________.
13．如图，已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．
14．有下列说法：
①函数y＝－cos2x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③在同一直角坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；④把函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin2x的图象；⑤图象y＝sin在[0，π]上是减函数．
其中，正确的说法是________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(12分)(1)计算－cosπ·tan.
(2)已知tanα＝，求下列各式的值．
①；
②sinαcosα.
16．(12分)已知f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
17．(12分)已知函数f(x)＝asin＋a＋b.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a<0时，f(x)在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值．
18．(14分)
如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
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质量检测(一)
(时间90分钟 满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算cos(－780°)的值是( )
A．－ B．－
C. D.
[解析] cos(－780°)＝cos780°＝cos(360°×2＋60°)＝cos60°＝，故选C.
[答案] C
2．若sin(π－α)＝－，且α∈，则sin等于( )
A．－ B.
C．－ D.
[解析] ∵sin(π－α)＝－，∴sinα＝－，
又α∈，∴cosα＝－＝－
＝－，∴sin＝cosα＝－，故选C.
[答案] C
3．已知tanα＝2，则sin2α－sinα·cosα的值是( )
A. B．－
C．－2 D．2
[解析] sin2α－sinα·cosα＝
＝＝.
[答案] A
4．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是( )
[解析] 取x＝0，则y＝1，排除C，D；取x＝，则y＝0，排除A，选B.
[答案] B
5．设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
[解析] 当x＝时，2x＋＝π，f(x)＝sinπ＝0，不合题意，A不正确；
当x＝时，2x＋＝， f(x)＝sin＝，B不正确；
把f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin＝sin＝cos2x，是偶函数，C正确；
当x＝时， f＝sin＝1，当x＝时，f＝sin＝<1，在上f(x)不是增函数，D不正确．
[答案] C
6．函数y＝2sin(x∈[0，π])的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
[解析] y＝－2sin，
由＋2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
可得＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，
∵x∈[0，π]，∴单调增区间为.
[答案] C
7．函数y＝f(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的解析式为( )
A．y＝sin2x－2 B．y＝2cos3x－1
C．y＝sin－1 D．y＝1－sin
[解析] 由题图得＝－，∴T＝π＝，又ω>0，∴ω＝2，∴y＝1＋sin(2x＋φ)，
当x＝时，0＝1＋sin，
∴2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－－＝2kπ－(k∈Z)．
∴y＝1＋sin＝1＋sin
＝1＋sin＝1－sin，故选D.
[答案] D
8．函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴在区间内，则满足此条件的一个φ值为( )
A. B. C. D.
[解析] 令2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋－(k∈Z)，因为函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴在区间内，所以令<＋－<(k∈Z)，解得kπ－<φ[答案] A
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为.为了得到g(x)＝cosωx的图象，则只要将f(x)的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
[解析] 由题意知T＝2×＝π，∴ω＝＝2.
又∵函数f(x)图象的一个对称中心为，
∴sin＝0.
∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin.
∵cos2x＝sin＝sin，
∴为了得到g(x)＝cos2x的图象，则只要将f(x)＝
sin的图象向左平移个单位长度即可，故选D.
[答案] D
10．下列说法正确的是( )
A．在内，sinx>cosx
B．函数y＝2sin的图象的一条对称轴方程是x＝
C．函数y＝的最大值为π
D．函数y＝sin2x的图象可以由函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得到
[解析] 在内，当x∈时，sinxcosx，故A错误．
函数y＝2sin的图象的对称轴方程为x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z，经验证x＝不是其图象的对称轴方程，故B错误．
当tan2x最小为0时，C中函数有最大值π，故C正确．
因为y＝sin＝sin，故y＝sin2x的图象可以由函数y＝sin的图象向左平移个单位长度得到，故D错误．
[答案] C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________cm.
[解析] ∵圆心角α＝54°＝，∴l＝|α|·r＝6π，
∴周长为(6π＋40)cm.
[答案] 6π＋40
12．函数f(x)＝3sin(2x＋5θ)的图象关于y轴对称，则θ＝________.
[解析] 因为函数f(x)＝3sin(2x＋5θ)的图象关于y轴对称，所以5θ＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝＋(k∈Z)．
[答案] ＋(k∈Z)
13．如图，已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．
[解析] T＝6，则≤t，∴t≥，∴tmin＝8.
[答案] 8
14．有下列说法：
①函数y＝－cos2x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③在同一直角坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；④把函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin2x的图象；⑤图象y＝sin在[0，π]上是减函数．
其中，正确的说法是________．
[解析] 对于①，y＝－cos2x的最小正周期T＝＝π，故①对；对于②，因为k＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错；对于③，作出y＝sinx与y＝x的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，如下图：
在上，x>sinx，这由单位圆中角x的弧长x大于正弦线的长度而得．故③错；对于④，y＝3sin的图象向右平移个单位长度后，得y＝3sin＝3sin2x，故④对；对于⑤，y＝sin＝－cosx，在[0，π]上为增函数，故⑤错．
[答案] ①④
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(12分)(1)计算－cosπ·tan.
(2)已知tanα＝，求下列各式的值．
①；
②sinαcosα.
[解] (1)原式＝－costan
＝－·sin·－costan
＝－××－×1＝－＝.
(2)①原式＝＝＝20.
②原式＝＝＝＝.
16．(12分)已知f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
[解] (1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以所求的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)变换情况如下：
y＝sin
y＝sin＋.
17．(12分)已知函数f(x)＝asin＋a＋b.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a<0时，f(x)在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值．
[解] (1)当a＝1时，
f(x)＝sin＋1＋b.
∵y＝sinx的单调递减区间为
(k∈Z)，
∴当2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，
f(x)是减函数，
∴f(x)的单调递减区间是
(k∈Z)．
(2)f(x)＝asin＋a＋b，
∵x∈[0，π]，∴－≤x－≤，
∴－≤sin≤1.
又∵a<0，
∴a≤asin≤－a.
∴a＋a＋b≤f(x)≤b.
∵f(x)的值域是[2,3]，
∴a＋a＋b＝2且b＝3，
解得a＝1－，b＝3.
18．(14分)
如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
[解] (1)把(0，)代入y＝2cos(ωx＋θ)中，
得cosθ＝.
∵0≤θ≤，∴θ＝.
∵T＝π，且ω>0，∴ω＝＝＝2.
(2)∵点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
∴点P的坐标为.
∵点P在y＝2cos的图象上，且≤x0≤π，
∴cos＝，且≤4x0－≤.
∴4x0－＝或4x0－＝.
∴x0＝或x0＝.
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