浙江省 A9 协作体 2019-2020 学年第二学期高二年级数学期中联考加答案

浙江省 A9 协作体 2019 学年第二学期期中联考
高二数学参考答案
一、选择题
1．C 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．B 9．C 10．D
二、填空题
5 +1 ? 82 1+ 2a
11． ? + 2 ， 12． ， 13．? ，1? 2
2 3 9 2
1
(1? e)(1+ en )
14．2+? ， 2 15． 16． (?1,0)
1
2n(1? en )
3 5
17．
4
三、解答题
18．解：
?1 3
? acsin 60
0 = ??ac = 2
（1）由题意得 ?2 2 ……… 2 分 ? ? ………4 分
?a2 + c2
?a + c = 10
? ? ac = 4
?
? a,c是方程 x2 ? 10x + 2 = 0 的两根……… 6 分,又 a ? c
10 ? 2 10 + 2
? a = , c = ……… 7 分
2 2
a b 3
（2）由正弦定理得 = ? sin A = ……… 9 分
sin A sin B 4
13
又 a ? c ，故 A为锐角……… 10 分， cos A = ……… 11 分
4
cosC = ?cos(A+ B) ……… 12 分
3? 13
= ?cos Acos B + sin Asin B = ……… 14 分
8
19．解：
（1）由已知得： (a1 + d)
2 = a1(a1 + 4d) ………1 分，又 a1 =1,d ? 0
? d = 2 ………2 分，? an = 2n ?1 ………3 分
1 1 1 1 1 1 1 1 1
又 ? = ，当 n ? 2 时， ( ? ) + ( ? ) + ? ? ? + ( ? ) =
b nn bn+1 2 b1 b2 b2 b3 bn?1 bn
1 1 1
+ + ? ? ? + ………5 分 ? b = 2n?1 ………6 分
2 22
n
2n?1
又 b = 2n?1 (n?N *b )1 =1也适合公式，故 n ………7 分
a
（2） i） c = n
2n ?1
n =
b 2n?1n
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3 5 2n ?1 ?
Sn =1+ + + ? ? ? +
2 22 2n?1 ??
? ………9 分
1 1 3 2n ? 3 2n ?1
Sn = + + ? ? ? + +
?
2 2 22 2n?1 2n ??
1 1 1 1 2n ?1
? Sn =1+ 2( + + ? ? ? + ) ? ………10 分
2 2 22 2n?1 2n
2n + 3
? S = 6 ? ………12 分 n
2n?1
ii）因为 c ? 0, 所以 S 关于 n单调递增。………13 分 n n
15 30 35 37 35
又 S3 = = ? , S4 = ? ………14 分
4 8 8 8 8
35
所以，使 Sn ? 的最小正整数 n = 4 ………15 分
8
20．解：
（1）证明：取 AD 中点 N ，连 PN, NM ，由已知可知，
PN ⊥ AD ………1 分
又 M 是 BC 中点，所以 NM / /AB, AB ⊥ AD ………2 分
所以， NM ⊥ AD ……………..3 分
所以， AD ⊥平面 PMN ………4 分
所以， AD ⊥ PM …………….. 5 分
（2） PB = 2AB，又 AB = PA，所以 PA2 + AB2 = PB2 ,
则 AB ⊥ PA………6 分
又 AB ⊥ AD ，所以 AB ⊥平面 PAD ，所以平面 PAD ⊥
平面 ABCD ,
由定理可知 PN ⊥平面 ABCD ，…………….. 7 分
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 DC =1，
3
则 P(0,0, 3), A(1,0,0), B(1,2,0), M (0, ,0) ……9 分
2
设平面 PAB 的法向量为 n = (x, y, z) ，
??n ? AP = 0 ???x + 3z = 0
? ? ? ?可取 n = (3,0, 3) ……12 分
??n ? AB = 0 ??2y = 0
3
又 PM = (0, ,? 3) …………….. 13 分
2
n ?PM 3 7
所以， sin? = = = …………….. 15 分
n ? PM 21 7
2 3 ?
2
7
即直线 PM 与平面 PAB 所成角的正弦值为 （没写，不扣分）
7
（2）另解：
PB = 2AB，又 AB = PA，所以 PA2 + AB2 = PB2 ,则 AB ⊥ PA…………..6 分
又 AB ⊥ AD ，所以 AB ⊥平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ,
平面 PAD ⊥平面PAB …………..7 分
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由定理可知 PN ⊥平面 ABCD ，不妨设DC =1，
3 21
在 Rt?PNM 中， PN = 3, NM = , 所以 PM = PN 2 + NM 2 = ………….9 分
2 2
设直线 PM 与平面 PAB 所成角为? ，点 M 到平面 PAB 的距离为 h ，
因为 NM / /AB, NM ?平面 PAB ，所以 NM / / 平面 PAM ，故点 N 到平面 PAB 的距离也为
h ,………….………11 分
过点 N 作 NG ⊥ PA，垂足为G ，由定理即知 NG ⊥平面 PAB , ……….………12 分
PN ?NA 3
在 Rt?PNG 中， NG = = = h ……….………13 分
PA 2
3
h 7
所以， sin? = = 2 = ……….………15 分
PM 21 7
2

21．解：
（1）由于抛物线的对称轴为 y 轴，故切线斜率必存在。
设切线方程为 y ? y0 = k(x ? x ) ……….………1 分 0
??y ? y = k(x ? x ) x
2
0 0
? ? ? kx + kx ? y ……2 分 2 0 0 = 0
??x = 4y 4
x 22 x? = k ? kx + y 0 00 0 = 0，又 y = ? k = ……4 分 0
4 2
x x
所以，切线方程为 y ? y 00 = (x ? x0 ) ? y ? y0 =
0 x ? 2y0 ………5 分
2 2
即 x x = 2y + 2y ……….………6 分 0 0
（2）由（1）可知：切线MA的方程为 x1x = 2y1 + 2y ，
切线MB的方程为 x2x = 2y2 + 2y , ……….………7 分
又均过M (t,?1) ，所以 x t = 2y ? 2 ①， x t = 2y ? 2 ② ……….………8 分 1 1 2 2
由①②即知直线 AB 的方程为 xt = 2y ? 2 ……….………10 分
?x2 = 4y
? ? x
2 ? 2tx ? 4 = 0 ……….………11 分
?xt = 2y ? 2
t
? AB = 1+ ( )2 x2 ? x = t
2
1 + 4 ……….………12 分
2
t2 + 4
又点M 到直线 xt = 2y ? 2 的距离 d = = t2 + 4 …….………13 分
t2 + 4
3
1 1
所以， S = AB ?d = ? (t2 + 4)2 ? 4 …….………14 分
2 2
等号当且仅当 t = 0 时成立。
故 Smin = 4 …….………15 分
（其他解法，相应给分）

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22．解：
（1）由题意， f (x)在 ?0,1?上必为单调函数，且在 (0,1)内无零点，…….……1 分
又b =1? a ，故 f (1) = 2 ? 0 …….………2 分
因此，要使 f (x) 在 ?0,1?上为增函数，当且仅当：
? a
?? ? 0
? 2 ….………4 分 ? a 的取值范围是 ?0,1? ….………6 分
?
? f (0) ? 0
（2）因为 f (x) ?1恒成立，
?? f (0) ?1 ?? b ?1
首先，必有 ? ? ? ….………8 分
?? f (1) ?1 ??1+ a + b ?1
? a +1 = (1+ a + b) ? b ? 1+ a + b + b ? 2 ….………10 分
? ?3 ? a ?1 ….……….………11 分
所以， a2 + b2 ?10 ……….……12 分
又当 2a = ?3,b =1时， f (x) = x ? 3x +1在 ?0,1?上单调递减，
故 f (x) = max? f (0) , f (1) ?=1，即满足 f (x) ?1恒成立。…….……14 分
max
综上， a2 + b2的最大值为 10 …….……15 分
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