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第1章 电磁感应与现代生活
第1章 电磁感应与现代生活
预习导学·新知探究
梳理知识·夯实基础
要点探究讲练互动
突破疑难·讲练提升
探究感应电动势的大小
1．了解探究感应电动势大小的方法． 2．理解法拉第电磁感应定律．(重点)
3．掌握感应电动势计算的两种方法．(重点) 4．能利用法拉第电磁感应定律分析实际问题．(难点)
一、探究感应电动势的大小
1．感应电动势和电源：在电磁感应现象中产生的电动势叫做感应电动势．产生感应电动势的那部分导体相当于电源．
2．实验探究
(1)实验过程：把螺线管和电流表构成闭合电路，如图所示，当条形磁铁从螺线管上插入的过程中观察电流表示数的变化，每次插入的初位置和末位置都相同，磁通量的变化相同．
(2)实验现象：当快速插入时，电流表的示数较大，当慢慢插入时，电流表的示数较小．
(3)实验结论：实验表明，感应电动势的大小跟磁通量的变化无关，跟磁通量的变化快慢有关．
二、法拉第电磁感应定律
1．内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比．这就是法拉第电磁感应定律．
2．表达式：E＝n．
3．导体切割磁感线时产生的感应电动势的大小
E＝BLvsin θ．
磁通量的变化率和匝数有关吗？
提示：无关．磁通量的变化率只与磁通量的变化量ΔΦ和发生这一变化的时间Δt有关．
法拉第电磁感应定律的理解
1．区别磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ、磁通量的变化率
物理量 单位 物理意义 计算公式
磁通量Φ Wb 表示某时刻或某位置时穿过某一面积的磁感线条数的多少 Φ＝B·S⊥
磁通量的变化量ΔΦ Wb 表示在某一过程中穿过某一面积的磁通量变化的多少 ΔΦ＝Φ2－Φ1
磁通量的变化率 Wb/s 表示穿过某一面积的磁通量变化的快慢 ＝
2．应用公式E＝n应注意的问题
(1)感应电动势E的大小决定于穿过电路的磁通量的变化率，而与Φ的大小、ΔΦ的大小没有必然的联系，和电路的电阻R无关；感应电流的大小与E和回路总电阻R有关．
(2)磁通量的变化率是Φ－t图像上某点切线的斜率．
(3)公式E＝k·，k为比例常数，当E、ΔΦ、Δt均取国际单位时，k＝1，所以有E＝．
(4)若线圈有n匝，则相当于n个相同的电动势串联，所以整个线圈中电动势为E＝n．
如图甲所示，一个圆形线圈匝数n＝1 000 匝、面积S＝2×10－2m2、电阻r＝1 Ω．在线圈外接一阻值为R＝4 Ω的电阻．把线圈放入一个匀强磁场中，磁场方向垂直线圈平面向里，磁场的磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示．求：
(1)0～4 s内，回路中的感应电动势．
(2)t＝5 s时，a、b两点哪点电势高．
(3)t＝5 s时，电阻R两端的电压U．
[思路点拨] (1)根据法拉第电磁感应定律可求得回路中的感应电动势．
(2)根据楞次定律可求得回路中的感应电流的方向．
(3)根据闭合电路欧姆定律可求得回路中的感应电流的大小．
[解析] (1)根据法拉第电磁感应定律得，0～4 s内，回路中的感应电动势
E＝n
＝1 000×V＝1 V
(2)t＝5 s时，磁感应强度正在减弱，根据楞次定律，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，即感应电流产生的磁场方向是垂直纸面向里，故a点的电势高．
(3)在t＝5 s时，线圈的感应电动势为
E′＝n
＝1 000× V＝4 V
根据闭合电路欧姆定律得电路中的电流为
I＝＝A＝0．8 A
故电阻R两端的电压
U＝IR＝0．8×4 V＝3．2 V．
[答案] (1)1 V (2)a点的电势高 (3)3．2 V
eq \a\vs4\al()
求解感应电动势时的注意事项
此类问题易出现两点错误：
(1)计算磁通量时忘记磁场方向和平面的夹角；
(2)计算电动势大小时，易忘记匝数．
1．一矩形线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直．先保持线框的面积不变，将磁感应强度在1 s时间内均匀地增大到原来的两倍．接着保持增大后的磁感应强度不变，在1 s时间内，再将线框的面积均匀地减小到原来的一半．先后两个过程中，线框中感应电动势的比值为( )
A． B．1
C．2 D．4
解析：选B．由法拉第电磁感应定律(设原来的磁感应强度和面积分别为B0、S0)有：E1＝S0＝S0，E2＝2B0 ·＝2B0＝，故E1＝E2．故选B．
公式E＝Blvsin θ的理解及应用
1．该公式可看成法拉第电磁感应定律的一个推论，通常用来求导体运动速度为v时的瞬时电动势，若v为平均速度，则E为平均电动势．
2．当B、l、v三个量方向相互垂直时，E＝Blv；当有任意两个量的方向平行时，E＝0．
3．式中的l应理解为导线切割磁感线时的有效长度．
(1)导线不和磁场垂直，l应是导体在垂直磁场方向的投影长度．
(2)切割磁感线的导线是弯曲的，如图所示，则应取与B和v垂直的等效直线长度，即ab的弦长．
4．该式适用于导体平动时，即导体上各点的速度相等时．当导体绕一端转动时如图所示，由于导体上各点的速度不同，自圆心向外随半径增大，速度是均匀增加的，所以导体运动的平均速度为＝＝，由公式E＝Bl得，E＝B·l·＝Bl2ω．
5．公式中的v应理解为导线和磁场的相对速度，当导线不动而磁场运动时，也有电磁感应现象产生．
(1)切割磁感线的导体中产生感应电动势，该部分导体等效为电源，电路中的其余部分等效为外电路．
(2)对于一个闭合电路，关键要明确电路的连接结构，分清哪部分相当于电源，哪些组成外电路，以及外电路中的串、并联关系．
(3)一般考查B、l、v互相垂直的情况，即sin θ＝1的情况．
如图，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为ε；将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为ε'．则等于( )
A． B． C．1 D．
[解析] 设折弯前导体切割磁感线的长度为L，折弯后，导体切割磁场的有效长度为l＝＝L，故产生的感应电动势为ε'＝Blv＝B·Lv＝ ε，所以＝，B正确．
[答案] B
2．
如图所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中，在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀增大到2B，在此过程中，线圈中产生的感应电动势为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．根据法拉第电磁感应定律E＝N＝NS＝n·a2＝．故选A．
电磁感应中的转动切割问题
把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a，电阻等于R，粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好接触．当金属棒以恒定速度v向右移动经过环心O时，求：
(1)棒两端M、N哪点电势高？
(2)棒两端的电压UMN；
(3)在圆环和金属棒上消耗的总热功率．
[解题探究] (1)电路中的哪部分作为电源？电源的电动势如何计算？
(2)MN两点电压是指外电路电压还是内电路电压？
(3)总热功率的求解公式？
[解析] (1)由右手定则可知，棒中电流方向为N→M，由于棒相当于电源，故M点电势高．
(2)
棒过圆心O时的等效电路如图所示，棒两端电压即为路端电压．
金属棒经过圆心时，棒中产生的感应电动势为
E＝B×2av＝2Bav．
此时，圆环的两部分并联连接，且R左＝R右＝R，
故并联部分的电阻为R并＝
由闭合电路欧姆定律得流过金属棒的电流为
I＝＝＝
棒MN两端的电压
UMN＝IR并＝I＝Bav．
(3)圆环和金属棒上消耗的总热功率等于电路中感应电流的电功率，即
P＝IE＝．
[答案] (1)M点电势高 (2)Bav (3)
eq \a\vs4\al()
对于电磁感应现象中的闭合电路问题，与直流电路的分析方法基本相同．具体思路如下：
(1)画出等效电路图．
(2)根据闭合电路的欧姆定律进行电路分析．
[随堂检测]
1．下列几种说法正确的是( )
A．线圈中磁通量变化越大，线圈中产生的感应电动势一定越大
B．线圈中磁通量越大，产生的感应电动势一定越大
C．线圈放在磁场越强的位置，产生的感应电动势一定越大
D．线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势越大
解析：选D．依据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势与磁通量无关，与磁通量的变化量无关，与线圈匝数和磁通量的变化率成正比．因此，选项A、B都是错误的．感应电动势与磁场的强弱也无关，所以，选项C也是错误的．线圈中磁通量变化越快意味着线圈的磁通量的变化率越大，依据法拉第电磁感应定律可知，选项D是正确的．
2．(多选)在理解法拉第电磁感应定律E＝n及其改写式E＝nS，E＝nB的基础上，下列叙述正确的是( )
A．对给定的线圈，感应电动势的大小跟磁通量的变化率成正比
B．对给定的线圈，感应电动势的大小跟磁感应强度的变化量ΔB成正比
C．对给定的磁场，感应电动势的大小跟面积的变化率成正比
D．三个计算式计算出的感应电动势都是Δt时间内的平均值
解析：选ACD．由E＝n可知，对给定线圈，E和成正比，A对；由E＝nS可知，对给定线圈，E和成正比，B错；由E＝nB可知，对给定的磁场，E和成正比，C对；以上三个表达式中都是变化量与时间相比，所以都是平均值，D对．
3．(多选)如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路．虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面，回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直．从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是( )
A．感应电流方向不变
B．CD段直导线始终不受安培力
C．感应电动势最大值Em＝Bav
D．感应电动势平均值＝πBav
解析：选ACD．导体切割磁感线产生感应电动势，由右手定则可知，感应电流方向不变，A正确．
感应电动势最大值即切割磁感线等效长度最大时的电动势，故Em＝Bav，C正确．
＝ ①
ΔΦ＝B·πa2 ②
Δt＝ ③
由①②③得＝πBav，D正确．
4．
如图为无线充电技术中使用的受电线圈示意图，线圈匝数为n，面积为S．若在t1到t2时间内，匀强磁场平行于线圈轴线向右穿过线圈，其磁感应强度大小由B1均匀增加到B2，则该段时间线圈两端a和b之间的电势差φa－φb( )
A．恒为
B．从0均匀变化到
C．恒为－
D．从0均匀变化到－
解析：选C．根据法拉第电磁感应定律得，感应电动势E＝n＝n，由楞次定律和右手螺旋定则可判断b点电势高于a点电势，因磁场均匀变化，所以感应电动势恒定，因此a、b两点电势差恒为φa－φb＝－n，选项C正确．
5．
如图所示，半径为R的圆形导轨处在垂直于圆平面的匀强磁场中，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里，一根长度略大于导轨直径的导体棒MN以速率v在圆导轨上从左端滑到右端，电路中的定值电阻为r，其余电阻不计，导体棒与圆形导轨接触良好．当开关S断开时，求：
(1)在滑动过程中通过电阻r的电流的平均值；
(2)MN从左端到右端的整个过程中，通过r的电荷量；
(3)当MN通过圆形导轨中心时，通过r的电流是多少？
解析：(1)整个过程磁通量的变化为ΔΦ＝BS＝BπR2，所用的时间Δt＝，
代入＝＝·v＝
通过r的平均电流＝＝．
(2)通过r的电荷量q＝Δt＝·＝．
(3)MN经过圆形导轨中心时，
感应电动势为E＝Blv＝2BRv
通过r的电流为I＝＝．
答案：(1) (2) (3)
[课时作业]
一、单项选择题
1．关于感应电动势，下列说法中正确的是( )
A．电源电动势就是感应电动势
B．产生感应电动势的那部分导体相当于电源
C．在电磁感应现象中没有感应电流就一定没有感应电动势
D．电路中有电流就一定有感应电动势
解析：选B．电源电动势的来源很多，不一定是由于电磁感应产生的，所以选项A错误；在电磁感应现象中，如果没有感应电流，也可以有感应电动势，电路中的电流可能是由化学电池或其他电池作为电源而产生的，所以应该是有感应电流才有感应电动势．
2．把匝数一定的线圈放入变化的磁场中，线圈中产生的感应电动势由下列哪些因素决定( )
A．线圈的形状
B．线圈的面积
C．磁场的磁感应强度
D．穿过线圈的磁通量的变化率
解析：选D．根据法拉第电磁感应定律可知E＝n，线圈中产生的感应电动势由穿过线圈的磁通量的变化率决定，故选D．
3．
如图所示，导体棒ab长为4L，匀强磁场的磁感应强度为B，导体绕过b点垂直纸面的轴以角速度ω匀速转动，则a端和b端的电势差U的大小等于( )
A．0．5BL2ω B．BL2ω
C．4BL2ω D．8BL2ω
解析：选D．ab棒以b端为轴在纸面内以角速度ω匀速转动，则a、b两端的电势差Uab＝E＝B(4L)2ω＝8BL2ω．故选D．
4．如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一水平放置的金属棒ab以水平初速度v0抛出，设在整个过程中棒的方向不变且不计空气阻力，则在金属棒运动过程中产生的感应电动势大小变化情况是( )
A．越来越大 B．越来越小
C．保持不变 D．无法判断
解析：选C．本题考查导体切割磁感线产生的感应电动势．关键是分析出垂直切割磁感线的速度情况．金属棒水平抛出后，在垂直于磁场方向上的速度不变，由E＝BLv知，电动势也不变，故选C．
5．如图所示，将直径为d、电阻为R的闭合金属环从匀强磁场B中拉出，这一过程中通过金属环某一截面的电荷量为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．金属环在拉出磁场的过程中，平均感应电动势为＝，故通过某一截面的电荷量为q＝·Δt＝·Δt＝＝＝，故A正确．
6．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中a、b两点间电势差绝对值最大的是( )
解析：选B．将线框等效成直流电路，设线框每条边的电阻为r，A、B、C、D对应的等效电路图分别如图甲、乙、丙、丁所示．
四次移动中速度大小相等，故电动势E＝BLv相等，电路中电流I＝大小相等，在选项A、C、D中，a、b两点间电势差U＝Ir＝，而选项B中，U′＝I·3r＝BLv，故选项B正确．
二、多项选择题
7．将一条形磁铁缓慢或者迅速地插到闭合线圈中的同一位置处，会发生变化的物理量是( )
A．线圈中感应电动势的大小
B．磁通量的变化率
C．感应电流的大小
D．流过线圈横截面的电荷量
解析：选ABC．将条形磁铁插到闭合线圈的同一位置处，磁通量的变化量相同．因为所用时间不同，所以磁通量的变化率不同，产生的感应电动势不等；由闭合电路欧姆定律知，产生的感应电流也不等，A、B、C符合题意．
又，故Q＝×Δt＝，
可见，两次流过线圈横截面的电荷量相等，跟磁铁插入的快慢无关，D不符合题意．
8．
用均匀导线做成的正方形线圈边长为l，正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图所示．当磁场以的变化率增强时，则( )
A．线圈中感应电流方向为acbda
B．线圈中产生的电动势E＝·
C．线圈中a点电势高于b点电势
D．线圈中a、b两点间的电势差为·
解析：选AB．根据楞次定律可知，选项A正确；线圈中产生的电动势E＝＝＝·，选项B正确；线圈中的感应电流沿逆时针方向，所以a点电势低于b点电势，选项C错误；线圈左边的一半导线相当于电源，右边的一半导线相当于外电路，a、b两点间的电势差相当于路端电压，其大小为U＝＝·，选项D错误．
9．如图所示，abcd为水平放置的平行“”形光滑金属导轨，间距为l，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨电阻不计，已知金属杆MN倾斜放置，与导轨成θ角，单位长度的电阻为r，保持金属杆以速度v沿平行于cd的方向滑动(金属杆滑动过程中与导轨接触良好)．则( )
A．电路中感应电动势的大小为
B．电路中感应电流的大小为
C．金属杆所受安培力的大小为
D．金属杆的热功率为
解析：选BC．金属杆的运动方向与金属杆不垂直，电路中感应电动势的大小为E＝Blv(l为切割磁感线的有效长度)，选项A错误；电路中感应电流的大小为I＝＝＝，选项B正确；金属杆所受安培力的大小为F＝BIl′＝B··＝，选项C正确；金属杆的热功率为P＝I2R＝·＝，选项D错误．
10．单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场．若线圈所围面积中的磁通量随时间变化的规律如图所示．则( )
A．线圈中O时刻感应电动势最小
B．线圈中C时刻感应电动势为零
C．线圈中C时刻感应电动势最大
D．线圈从O至C时间内平均感应电动势为0．4 V
解析：选BD．由E＝可知，题图中曲线斜率的大小即代表感应电动势的大小，故O时刻感应电动势最大，C时刻最小；O～C时间段，＝＝ V＝0．4 V，故答案为B、D．
三、非选择题
11．
如图所示，一个50匝的线圈的两端跟R＝99 Ω的电阻相连接，置于竖直向下的匀强磁场中．线圈的横截面积是20 cm2，电阻为1 Ω，磁感应强度以100 T/s的变化率均匀减小．在这一过程中通过电阻R的电流多大？2 s内通过R的电荷量多大？2 s内R产生的热量是多少？
解析：由法拉第电磁感应定律得线圈中产生的感应电动势
E＝n＝nS＝50×100×20×10－4 V＝10 V．
由闭合电路欧姆定律知感应电流为
I＝＝ A＝0．1 A．
2 s内通过R的电荷量
q＝I·t＝0．1×2 C＝0．2 C．
2 s内电阻R产生的热量
Q＝I2Rt＝0．12×99×2 J＝1．98 J．
答案：0．1 A 0．2 C 1．98 J
12．
如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度L＝0．4 m，一端连接R＝1 Ω的电阻．导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝1 T．导体棒MN放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好．导轨和导体棒的电阻均可忽略不计．在平行于导轨的拉力F作用下，导体棒沿导轨向右匀速运动，速度v＝5 m/s．求：
(1)感应电动势E和感应电流I；
(2)若将MN换为电阻r＝1 Ω的导体棒，其他条件不变，求导体棒两端的电压U．
(3)MN仍为电阻r＝1 Ω的导体棒，某时刻撤去拉力F，导体棒又向右运动了2 m，求该过程流过R的电荷量．
解析：(1)由法拉第电磁感应定律可得，感应电动势
E＝BLv＝1×0．4×5 V＝2 V
感应电流I＝＝ A＝2 A．
(2)由闭合电路欧姆定律可得，电路中电流
I′＝＝ A＝1 A
由欧姆定律可得，导体棒两端电压U＝I′R＝1 V．
(3)设导体棒向右运动2 m所用时间为Δt，
则＝＝
q＝·Δt＝·Δt＝＝ C＝0．4 C．
答案：(1)2 V 2 A (2)1 V (3)0．4 C
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