人教A版高中数学必修五2.4.1等比数列的概念及通项公式 课件(共34张PPT)

(共34张PPT)

自律成就人生
网课结束日，学校见面时。
真学与假学，一测便知晓！
第1课时　等比数列的概念及通项公式
复习回顾










等差数列
概念
通项公式
求和公式
相关性质
最值问题
带绝对值求和
实际问题


学习目标
XUEXIMUBIAO
1.通过实例，理解等比数列的概念.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
共同特点:
从第二项起，每一项与其前一项的比是同一个常数
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__;
①
②
③
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__;
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__;
类比“等差数列”，这样的数列可以叫做“等比数列”。
引导探究，掌握新知
请问:这三个数列有什么共同特点?
知识点一　等比数列的概念
1.定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示(q≠0).
3.等比数列各项均 为0.
2
前
比
同一
公比
不能
判断一个数列是否为等比数列的依据
知识点二　等比中项与等差中项的异同
对比项 等差中项 等比中项
定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成 数列，则G叫做a与b的 中项
定义式 A－a＝b－A
公式 A＝ G＝±
个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有 个，且互为__
____
备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
等比
等比
两
相
反数
… …


1
1
-
=
n
n
q
a
a

… …
类比
3.等比数列的通项公式：
等差数列
等比数列
归纳法
思考：如何用 和 表示 ？

累乘法
……

共n – 1 项

×）
等比数列
方法：累加法
……

+）
等差数列
类比
思考：如何用 和 表示 ？
3.等比数列的通项公式：
等比数列 名称 等差数列
概念
常数
定义式
通项公式
中项
公式


从第2项起,每一项与它前一项的比等同一个非零常数
从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数

或
公比

公差

类 比
1.若an＋1＝qan，n∈N*，且q≠0，则{an}是等比数列.(　　)
2.任何两个数都有等比中项.(　　)

思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√
4.常数列既是等差数列，又是等比数列.(　　)
×
×
×
2
题型探究
PART TWO

题型一　等比数列的判定
命题角度1　已知数列前若干项判断是否为等比数列
例1　判断下列数列是否为等比数列.
(1)1，3，32，33，…，3n－1，…；

多维探究
解　记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，….
∴数列为等比数列，且公比为3.
(2)－1,1,2,4,8，…；
解　记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，
∴此数列不是等比数列.
(3)a1，a2，a3，…，an，….
解　当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，
显然此数列为等比数列，且公比为a.
反思感悟　判定等比数列，要抓住3个要点：
①从第二项起.②要判定每一项，不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.
跟踪训练1　下列各组数成等比数列的是
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
√
解析　①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是.
命题角度2　已知递推公式判断是否为等比数列
例2　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
证明　∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
∴数列{an＋1}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解　由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.
即an＝2n－1.
反思感悟　等比数列的判定方法
跟踪训练2　数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…).
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
解　a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
又a1－1＝－2，
∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解　由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1.

题型二　等比数列通项公式的应用
例3　在等比数列{an}中.
解　设等比数列{an}的公比为q.
反思感悟　等比数列通项公式及应用应注意两点
(1)a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出.
(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另外一个.
跟踪训练3　在等比数列{an}中：
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
解　由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
解　设等比数列的公比为q，
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1，n∈N*.

题型三：等比中项的应用
例4
跟踪训练4
A.5√2 B.7 C.6 D.4√2
A
3
达标检测
PART THREE

1
2
3
4
5
1.等比数列{an}的公比|q|＞1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18,
36,81}中.则q等于
√
解析　∵{an}中的项必然有正有负，
∴q<0.又|q|＞1，
∴{|an|}递增或递减.
由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81.

1
2
3
4
5
2.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于
A.－24 B.0 C.12 D.24
√
解析　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，
解得x＝－3或x＝－1(舍去)，
所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，
则第4项为－24.

1
2
3
4
5
3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4 B.8 C.6 D.32
√
解析　由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，2n－1＝32，
所以n＝6.

1
2
3
4
5
4. 45和80的等比中项为 .
－60或60
解析　设45和80的等比中项为G，
则G2＝45×80，∴G＝±60.

1
2
3
4
5
5.若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是 .
－1或3
解析　设公比为q(q≠0)，则3a1q3＝a1q5－2a1q4，
因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0，
解得q＝－1或q＝3.

课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.等比数列的判断或证明
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？
知识点四 等比数列的类型
(1)数列：1，2，4，8，16，…
(2)数列：
(5)数列：4，4，4，4，4，4，4，…
(3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
(4)数列：
(6)数列：-1，2，-4，8，-16，…
(7)数列：1，-2，4，-8，16，…

已知数列{an}是等比数列，q是公比，则：
q>1 0

递增
递减
常数列
递增
递减
a1<0
a1>0
摆动数列
知识点四 等比数列的类型