北师大版高中数学选修2-1第二章 空间向量与立体几何2.3.1-3三垂线定理教学设计（有教学反思）
文档属性
| 名称 | 北师大版高中数学选修2-1第二章 空间向量与立体几何2.3.1-3三垂线定理教学设计（有教学反思） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 56.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-17 00:00:00 | ||
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文档简介
《三垂线定理》教学设计
一、教学目标：
1．认知目标：
（1）使学生掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并能从口头上和书面上作出正确的表达；
（2）初步掌握运用三垂线定理或逆定理证空间两直线垂直的思考方法。
2．能力目标：
通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生空间计算能力和逻辑思维能力.
3．情感目标：
激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神；渗透事物相互转化理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识。
二、重点、难点：
(1)掌握并正确表达定理的内容是本节课的重点；
(2)构造运用定理的条件证空间两直线垂直的思维能力是本节课的难点。
三、教材分析：
“三垂线定理”是在立体几何中研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义
四、教法分析
建立模型，启发引导，猜想论证，学习应用，发展能力
五、教学过程设计与分析：
环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图
回 顾 旧 知 创设情景 分析解决问题 问题1 直线与平面垂直的定义 教师提问式实施 （教师补充说明：定义既是判定又是性质，并板书） 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直 思维从问题开始,点明这节课是研究空间两直线位置关系的继续
问题2 直线与平面垂直的判定定理？ ( 学生回答后教师复述并板书) 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
问题3 PO是平面α的斜线，O为 斜足；PA是平面 α的垂线，A为垂足；AO是 PO在平面α内的射影. (1)如果aα，a与PO的位置关系如何？为什么？ (2)如果aα，a与PO能垂直吗？ 谁能将以上问题写成一个命题？ 你能证明吗？ (教师板书) 好！根据刚才同学们的回答可知这是一个真命题，这就是我们这节课要学的一个重要定理，从而引入。 a⊥PO，根据线面垂直的定义. 能，当a⊥AO时 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 让学生养成严格论证问题的习惯和正确的书写格式，培养学生思维的严谨性。
新课讲授 概念剖析 1.三垂线定理与逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 问：平面的一条斜线在平面内是否一定有垂线？如果有，有几条？怎么确定？ 一个命题的证明需要写已知求证，谁能写？ 这个定理的逆命题怎样叙述？ (板书课题——三垂线定理) 教师用多媒体显示定理内容用课件演示定理中的主要元素并强调， (1)当定理中“在平面内的一条直线”的平面内3字闪烁时，下面图形中的平面同时闪烁5下； 教师要特别强调“在平面内”，并用实物演示直线不在平面内是错误的. (2)当定理中“如果和这个平面的一条斜线的射影垂直”的射影两字闪烁时，下面图形中的射影AO所表示的图形也跟着闪烁5下； (3)当定理中“那么它也和这条斜线垂直”中的斜线两字闪烁时，下面图形中的斜线也同时闪烁5下； (4)演示平行移动直线a的不同位置 将此写在刚才设计好的证明文字上面，并说明下面就是三垂线定理的证明 说明：三垂线定理实质上是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理，这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线. 学生回答： 有，有无数条 已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且aα，a⊥AO，求证：a⊥PO
这个逆命题是真命题吗？ 你能证明吗？ 定理涉及到的几何元素1个平面α 4条直线 (1)平面的垂线PA； (2)平面的斜线PO； (3)斜线在平面内的射影AO； (4)平面内的一条直线a. 3个垂直 (1)垂线PA与平面α垂直； (2)平面内的一条直线a与斜线在平面内的射影AO垂直； (3)平面的一条直线a与斜线PO垂直 用多媒体显示逆定理，并用课件演示逆定理的主要元素(步骤类似前面定理) 学生边回答教师边将上面3处黑体字部分改动一下，以说明与定理的联系与区别. 用多媒体演示 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直. 从分析原定理证法的角度引出逆定理，有利于学生加深对两个定理一致性的认识，能充分认识到两个定理的实质是线面垂直。 文字显示时，图中平面α从左向右渐露 文字显示时，图中每条直线相应从上至下渐露 文字显示时，图中每对直线依次同时闪烁3次
知识应用 知识应用 3．例题分析如图2，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC. 分析： 要证明线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理，其关键是确定垂面，由于位置的对称性，不妨以面BCD为垂面(确定垂面) 从上例我们可以知道，运用三垂线定理解题可归纳为以下3步： 一定(定垂面) 二找(找4线) 三证(证垂直) 也可用口诀记忆如下 确定垂面 抓住斜线 作出垂线 联成射影 找第4线 证明垂直 多媒体演示文字“确定垂面”，同时将面BCD闪烁3下.
小结： (1)三垂线定理及逆定理 (2)说明：①定理中4条线均针对同一平面而言；②应用定理关键是确定“垂面”这个参照系；③操作程序分3步——一定二找三证 (3)记忆口诀 确定垂面 抓住斜线 作出垂线 联成射影 找第4线 证明垂直 (4)三垂线定理实质是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理.
4.作业(略)思考题：在正方体的各顶点连线中，与垂直的有哪些? 使学生能巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同 时对学有力的学生留出自由发展的空间
板书设计 ：
三垂线定理
引例： 三垂线定理及逆定理 三垂线定理及逆定理的比较 例
教学反思：
1. 本堂课尝试运用“问题解决”的教学模式，力图通过发现问题、分析问题和解决问题的过程，让学生主动参与，始终处于积极地操作和思考的动态活动之中，形成以学生为中心的探索性学习活动。
2. 本节课力求体现出以教师为主导、学生为主体的教育思想。引导学生利用数学知识去分析问题和解决问题，开拓学生的思维，培养学生的创新精神和实践能力。
A
O
P
A
B
C
D
O
一、教学目标：
1．认知目标：
（1）使学生掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并能从口头上和书面上作出正确的表达；
（2）初步掌握运用三垂线定理或逆定理证空间两直线垂直的思考方法。
2．能力目标：
通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生空间计算能力和逻辑思维能力.
3．情感目标：
激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神；渗透事物相互转化理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识。
二、重点、难点：
(1)掌握并正确表达定理的内容是本节课的重点；
(2)构造运用定理的条件证空间两直线垂直的思维能力是本节课的难点。
三、教材分析：
“三垂线定理”是在立体几何中研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义
四、教法分析
建立模型，启发引导，猜想论证，学习应用，发展能力
五、教学过程设计与分析：
环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图
回 顾 旧 知 创设情景 分析解决问题 问题1 直线与平面垂直的定义 教师提问式实施 （教师补充说明：定义既是判定又是性质，并板书） 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直 思维从问题开始,点明这节课是研究空间两直线位置关系的继续
问题2 直线与平面垂直的判定定理？ ( 学生回答后教师复述并板书) 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
问题3 PO是平面α的斜线，O为 斜足；PA是平面 α的垂线，A为垂足；AO是 PO在平面α内的射影. (1)如果aα，a与PO的位置关系如何？为什么？ (2)如果aα，a与PO能垂直吗？ 谁能将以上问题写成一个命题？ 你能证明吗？ (教师板书) 好！根据刚才同学们的回答可知这是一个真命题，这就是我们这节课要学的一个重要定理，从而引入。 a⊥PO，根据线面垂直的定义. 能，当a⊥AO时 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 让学生养成严格论证问题的习惯和正确的书写格式，培养学生思维的严谨性。
新课讲授 概念剖析 1.三垂线定理与逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 问：平面的一条斜线在平面内是否一定有垂线？如果有，有几条？怎么确定？ 一个命题的证明需要写已知求证，谁能写？ 这个定理的逆命题怎样叙述？ (板书课题——三垂线定理) 教师用多媒体显示定理内容用课件演示定理中的主要元素并强调， (1)当定理中“在平面内的一条直线”的平面内3字闪烁时，下面图形中的平面同时闪烁5下； 教师要特别强调“在平面内”，并用实物演示直线不在平面内是错误的. (2)当定理中“如果和这个平面的一条斜线的射影垂直”的射影两字闪烁时，下面图形中的射影AO所表示的图形也跟着闪烁5下； (3)当定理中“那么它也和这条斜线垂直”中的斜线两字闪烁时，下面图形中的斜线也同时闪烁5下； (4)演示平行移动直线a的不同位置 将此写在刚才设计好的证明文字上面，并说明下面就是三垂线定理的证明 说明：三垂线定理实质上是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理，这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线. 学生回答： 有，有无数条 已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且aα，a⊥AO，求证：a⊥PO
这个逆命题是真命题吗？ 你能证明吗？ 定理涉及到的几何元素1个平面α 4条直线 (1)平面的垂线PA； (2)平面的斜线PO； (3)斜线在平面内的射影AO； (4)平面内的一条直线a. 3个垂直 (1)垂线PA与平面α垂直； (2)平面内的一条直线a与斜线在平面内的射影AO垂直； (3)平面的一条直线a与斜线PO垂直 用多媒体显示逆定理，并用课件演示逆定理的主要元素(步骤类似前面定理) 学生边回答教师边将上面3处黑体字部分改动一下，以说明与定理的联系与区别. 用多媒体演示 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直. 从分析原定理证法的角度引出逆定理，有利于学生加深对两个定理一致性的认识，能充分认识到两个定理的实质是线面垂直。 文字显示时，图中平面α从左向右渐露 文字显示时，图中每条直线相应从上至下渐露 文字显示时，图中每对直线依次同时闪烁3次
知识应用 知识应用 3．例题分析如图2，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC. 分析： 要证明线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理，其关键是确定垂面，由于位置的对称性，不妨以面BCD为垂面(确定垂面) 从上例我们可以知道，运用三垂线定理解题可归纳为以下3步： 一定(定垂面) 二找(找4线) 三证(证垂直) 也可用口诀记忆如下 确定垂面 抓住斜线 作出垂线 联成射影 找第4线 证明垂直 多媒体演示文字“确定垂面”，同时将面BCD闪烁3下.
小结： (1)三垂线定理及逆定理 (2)说明：①定理中4条线均针对同一平面而言；②应用定理关键是确定“垂面”这个参照系；③操作程序分3步——一定二找三证 (3)记忆口诀 确定垂面 抓住斜线 作出垂线 联成射影 找第4线 证明垂直 (4)三垂线定理实质是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理.
4.作业(略)思考题：在正方体的各顶点连线中，与垂直的有哪些? 使学生能巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同 时对学有力的学生留出自由发展的空间
板书设计 ：
三垂线定理
引例： 三垂线定理及逆定理 三垂线定理及逆定理的比较 例
教学反思：
1. 本堂课尝试运用“问题解决”的教学模式，力图通过发现问题、分析问题和解决问题的过程，让学生主动参与，始终处于积极地操作和思考的动态活动之中，形成以学生为中心的探索性学习活动。
2. 本节课力求体现出以教师为主导、学生为主体的教育思想。引导学生利用数学知识去分析问题和解决问题，开拓学生的思维，培养学生的创新精神和实践能力。
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