人教新课标A版 选修4-5 第一讲 1.1.2 基本不等式 （27张）

(共27张PPT)
2.基本不等式


学习目标
思维脉络
1.了解两个正数的几何平均与算术平均.
2.会用基本不等式解决一些函数的最值及实际应用问题.
知识清单
预习自测
1.定理1
如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b 时,等号成立.
2.定理2(基本不等式)
(3)基本不等式可以表述为:
两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.
(4)基本不等式的几何意义.
直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.
3.重要的不等式链








知识清单
预习自测
4.应用基本不等式求函数最值
已知x,y都为正数,则
(1)若x+y=s(和为定值),则当且仅当x=y时,积xy取得最大值 ;
(2)若xy=p(积为定值),则当且仅当x=y时,和x+y 取得最小值2 .



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知识清单
预习自测
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1.logab+logba≥2成立的必要条件是(　　)
A.a>1,b>1 B.a>0,0C.(a-1)(b-1)>0 D.以上都不正确
解析:因为logab与logba互为倒数,符合基本不等式的结构.但两个数应是正数,所以a,b同时大于1或a,b都属于区间(0,1).
答案:C
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预习自测
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2.下列结论不正确的是(　　)
答案:B
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预习自测
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3.下列各式中,最小值等于2的是(　　)
解析:∵2x>0,2-x>0,
答案:D
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预习自测
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预习自测
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解析:∵lg x+lg y=2,
∴lg(xy)=2.∴xy=102=100.
当且仅当x=y=10时,等号成立.
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预习自测
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∴当x=4,y=12时,(x+y)min=16.
认识基本不等式中的数a,b
剖析:在利用基本不等式时,要准确定位其中的“数”.例如,在“已知2x+y=1,x,y>0,求xy的最大值”时,“两个数”不是“x”与“y”,而是已知条件中的“2x”与“y”,这是因为定值是“2x+y=1”,而“x+y”不是定值,因
在基本不等式中,准确定位其中的“数”是使用基本不等式的前提.
再如,在“已知实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3,求ax+by的最大值”时,似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值.
但是这种解法不正确,这四个数分两组使用基本不等式,不符合

使用的条件,本题中取等号的条件是 这与a2+b2=1和x2+y2=3矛盾.
因此正确的解法应是三角换元法:
题型一
题型二
题型三
题型四
利用基本不等式证明不等式
【例1】 已知a,b,c>0,且a+b+c=1.
分析:不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘, ,可由此变形入手.
证明:∵a,b,c>0,a+b+c=1,
题型一
题型二
题型三
题型四
反思用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
利用基本不等式求函数最值
分析:由x< ,可知4x-5<0,转化为变量大于零,先调整符号,再配凑积为定值.
∴当x=1时,y取最大值为1.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思在应用基本不等式求函数最值时,分以下三步进行:
(1)看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,需对式子变形,凑出需要的定值;
(2)看所用的两项是否同正,若不满足,则通过分类解决,在同负时,可提取(-1)变为同正;
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值,若不满足,则可通过函数的单调性或导数解决.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
基本不等式的实际应用
【例3】 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2018年某运动会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x(单位:万件)与年促销费t(单位:万元)之间满足3-x与t+1成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2018年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.
(1)将2018年的利润y(单位:万元)表示为促销费t(单位:万元)的函数.
(2)该企业2018年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:(1)两个基本关系式是解题的关键,即利润=销售收入-生产成本-促销费;生产成本=固定费用+生产费用;
(2)表示题中的所有已知量和未知量,利用它们之间的关系式列出函数的解析式.
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
题型一
题型二
题型三
题型四
即当促销费定在7万元时,年利润最大.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思解答不等式的实际应用问题,一般可分为如下四步.
(1)阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用,而且多数应用题篇幅较长.阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,初步形成借用数学模型解决问题的思路,明确解题方向.
(2)建立数学模型:根据(1)中的分析,把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型,并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系,以便确立下一步的努力方向.
(3)讨论不等关系:根据题目要求和(2)中建立起来的数学模型,讨论与结论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据(3)中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问题的结论.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3 m,AD=2 m.




(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2,则AN的长应在什么范围内?
(2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.
(3)若AN的长度不小于6 m,则当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)设AN=x m(x>2),则ND=(x-2)m.
当且仅当x=4时,等号成立.
∴当AN的长度为4 m时,矩形AMPN的面积最小,矩形AMPN的最小面积为24 m2.
题型一
题型二
题型三
题型四
∴函数f(t)在[4,+∞)内单调递增.
∴f(t)min=f(4)=27,此时x=6.
∴若AN的长度不小于6 m,则当AN的长度是6 m时,矩形AMPN的面积最小,最小面积为27 m2.
题型一
题型二
题型三
题型四
易错辨析
易错点　多次应用基本不等式不能满足两个不等式同时取等号
错解∵x,y∈R+,
题型一
题型二
题型三
题型四
正解:∵2x+5y=20,