2．2 怎样描述交变电流
1．了解交变电流的周期、频率的含义，掌握它们之间的关系． 2．了解交变电流最大值、瞬时值及有效值的意义，能利用有效值的定义计算交变电流的有效值．(重点) 3．知道用图像和函数式描述交变电流的方法．(重点)
一、用哪些物理量描述交变电流
1．周期和频率
(1)周期T：交变电流完成一次周期性变化所需的时间．用T表示，单位：秒(s)．
(2)频率：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数．用f表示，单位：赫兹(Hz)．
(3)周期和频率的关系：f＝或T＝．
(4)物理意义：表征交变电流变化的快慢．
(5)线圈转动角速度ω与频率f的关系：ω＝2πf．
(6)我国民用交变电流：T＝0．02 s，f＝50 Hz，ω＝100π rad/s，电流方向每秒改变100次．
2．最大值和有效值
(1)交变电流的电动势、电压和电流在某一时刻的数值，叫做交变电流的瞬时值，通常用小写字母e、u、i表示．交变电流的最大值是它在一个周期内所能达到的最大数值，分别用Em、Um、Im表示，也叫做峰值．
(2)交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的，物理学中规定，给阻值相等的两个电阻器分别通以恒定电流和交流电，如果在相同的时间内产生的热量相等，我们就把这一恒定电流的数值叫做这个交流电的有效值．
(3)正弦式交变电流的有效值等于其最大值的．
(4)在没有特别说明时，通常所说的交变电流的电压、电动势都是指有效值，交流电表测量的值也是有效值，交流用电设备铭牌标出的电压、电流值也是指有效值．
如图所示的交流电中最大值还是有效值的倍吗？
提示：不是．最大值是有效值的倍仅用于正弦(余弦)交流电．
二、怎样用数学方法描述交变电流
1．用图像描述
正弦交变电流随时间的变化情况可以从图像上表示出来，图像描述的是交变电流随时间变化的规律，它是一条正弦曲线，如图所示．从图中我们可以找出正弦交变电流的最大值和周期．
2．用函数式描述
正弦交变电流的电动势e、电压u、电流i随时间变化的规律分别为e＝Emsin ωt，u＝Umsin ωt、i＝Imsin ωt，式中的ω称为交变电流的角频率．
交变电流有效值的计算
1．正确理解有效值
(1)定义有效值时要注意“三同”，即电阻相同、时间相同、产生热量相同．
(2)在计算交变电流通过导体产生的热量和电功率以及确定保险丝的熔断电流时，只能用交变电流的有效值．如电功率的计算式：P＝UI中，U、I均为有效值．
(3)在交流电路中，电压表、电流表、功率表等电子仪表的示数均为交变电流的有效值．在没有具体说明的情况下，所给出的交变电流的电压、电流及电功率指的都是有效值．
2．如何计算有效值
(1)对于按正(余)弦规律变化的电流，可先根据Em＝NBωS求出其最大值，再根据E＝求出其有效值．
(2)对于非正弦式交变电流的有效值，应按有效值的定义计算，计算时要紧扣电流通过电阻产生热量进行计算，计算时间一般取一个周期，半周期对称的可取半周期．
3．交流电有效值和平均值的区别
(1)交流的有效值是根据电流热效应定义的，即跟交流的热效应相等的直流电的值为交流的有效值，对一个确定的交变电流而言，有效值是恒定的．
(2)交变电流的平均值是交变电流中物理量(e、i、u)对时间的平均值，用法拉第电磁感应定律计算，如平均电动势＝n，其值的大小与所取时间间隔有关，一般用于电荷的计算．
如图所示为一交变电流的图像，则该交变电流的有效值为多大？
[思路点拨] 解答本题可按以下流程进行分析：
[解析] 令该交变电流通过一电阻R，它在前半周期内通过该电阻产生的热量Q1＝R·＝eq \f(IRT,4)，它在后半周期内产生的热量Q2＝IR·＝eq \f(IRT,2)，故在一个周期内产生的热量Q交＝Q1＋Q2＝IRT．
设某一恒定电流I在相同的时间T内通过该电阻产生的热量为I2RT，由有效值的定义知：
IRT＝I2RT，得I＝I0．
[答案] I0
eq \a\vs4\al()
交变电流有效值的计算
(1)E＝，I＝只适用于正弦(余弦)式交变电流，对于按其他规律变化的交变电流，上述关系式不再适用．
(2)凡涉及能量的问题，如电能与其他形式的能的转化过程、涉及交变电流的电功、电功率等物理量时均用有效值．在计算交变电流通过导体产生的热量及确定保险丝的熔断电流时也用有效值．
(3)对于非正(余)弦交流电有效值的计算，时间一般选取一个周期．
1．一个边长为6 cm的正方形金属线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场垂直，电阻为0．36 Ω．磁感应强度B随时间t的变化关系如图所示，则线框中感应电流的有效值为( )
A．×10－5 A B．×10－5 A
C．×10－5 A D．×10－5 A
解析：选B．由法拉第电磁感应定律和欧姆定律可得0～3 s内产生的感应电流I1＝2×10－5 A，3～5 s内产生的感应电流I2＝3×10－5 A，且与0～3 s内电流方向相反，于是可作出i随时间t变化的图像如图所示．
由有效值的定义得IRt1＋IRt2＝I2Rt，代入数据可得I＝×10－5 A，故选项B正确．
交变电流的数学表示
1．交流电的图像
(1)图像：如图所示，交流电的变化规律可以用正弦图像来表示，在直角坐标系中，横轴表示线圈平面跟中性面的夹角(或者表示线圈转动经过的时间t)，纵坐标表示感应电动势e(感应电流i)．
(2)图像的分析方法应用的注意事项
①看清两轴物理量的物理意义，分清是何种图像．
②能从图上直接获得最大值、周期等物理量．
③了解“图与图”“图与式”和“图与物”间的对应关系．
2．用函数式描述交变电流
(1)表达式
正弦式交变电流的电压u、电流i的函数表达式为
u＝Umaxsin ωt，i＝Imaxsin ωt
其中Umax为交流电压的最大值，Imax为交变电流的最大值，ω称为角频率，ωt为线圈平面和中性面的夹角．
(2)角频率ω与频率f、周期T的关系：ω＝2πf＝．
在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图1所示，产生的交变电动势的图像如图2所示，则( )
A．t＝0．005 s时线框的磁通量变化率为零
B．t＝0．01 s时线框平面与中性面重合
C．线框产生的交变电动势有效值为311 V
D．线框产生的交变电动势频率为100 Hz
[思路点拨]
[解析] 由题图2可知该正弦交变电动势的电压最大值为311 V，周期等于0．02 s，因此，根据正弦交变电动势的最大值与有效值之间的关系式U＝得知选项C错误；又f＝，则频率f＝50 Hz，选项D错误；当t＝0．005 s时，e＝n＝311 V，取得最大值，穿过线圈的磁通量变化率最大，选项A错误；当t＝0．01 s时，交变电压及电流方向发生改变，电压值最小等于零，线框平面与中性面重合，选项B正确．
[答案] B
eq \a\vs4\al()
线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，就产生正弦式交流电，要将转动的情景、图像全面联系起来，并能正确地理解描述正弦式交流电的一些物理量的含义．
2．一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图像如图甲所示．已知发电机线圈内阻为5．0 Ω，外接一只电阻为95．0 Ω的灯泡，如图乙所示，则( )
A．电压表V的示数为220 V
B．电路中的电流方向每秒钟改变50次
C．灯泡实际消耗的功率为484 W
D．发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24．2 J
解析：选D．电压表示数为灯泡两端电压的有效值，由题图知电动势的最大值Em＝220 V，有效值E＝220 V，灯泡两端电压U＝＝209 V，A错；由题图甲知T＝0．02 s，一个周期内电流方向变化两次，可知1 s内电流方向变化100次，B错；灯泡的实际功率P＝＝ W＝459．8 W，C错；电流的有效值I＝＝2．2 A，发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为Qr＝I2rt＝2．22×5．0×1 J＝24．2 J，D对．
正弦交变电流规律的综合应用
如图所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0．5 T，边长L＝10 cm的正方形线圈abcd共100匝，线圈电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s，外电路电阻R＝4 Ω，求：
(1)转动过程中感应电动势的最大值．
(2)由图示位置(线圈平面与磁感线平行)转过60°角时的瞬时感应电动势．
(3)由图示位置转过60°角的过程中产生的平均感应电动势．
(4)交流电压表的示数．
(5)线圈转动一周外力做的功．
(6)周期内通过电阻R的电荷量为多少．
[解析] (1)感应电动势的最大值
Em＝NBSω＝100×0．5×0．12×2π V≈3．14 V．
(2)转过60°时的瞬时感应电动势
e＝Emcos 60°＝3．14×0．5 V＝1．57 V．
(3)转过60°角的过程中产生的平均感应电动势
＝N＝N＝ V
≈2．6 V．
(4)电压表示数为外电压的有效值
Em·＝×3．14× V≈1．78 V．
(5)转动一周外力所做的功等于电流产生的热量
W＝Q＝·＝·＝× J≈0．99 J．
(6)周期内通过电阻R的电荷量
q＝·＝·＝·＝
＝ C≈0．086 6 C．
[答案] (1)3．14 V (2)1．57 V (3)2．6 V
(4)1．78 V (5)0．99 J (6)0．086 6 C
eq \a\vs4\al()
(1)求电动势的平均值用＝n，瞬时值用e＝Emsin ωt．求电功或电热用有效值W＝EIt，Q＝I2Rt．求电荷量要用平均电流：＝，q＝·Δt＝n．
(2)在交变电流与电路相结合的题目中，往往会贯穿能量的转化与守恒的思想，如线圈在磁场中匀速转动，外力做的功最终转化为电路中产生的热量．
[随堂检测]
1．下列说法正确的是( )
A．正弦式交变电流在一个周期内电流方向改变两次
B．交变电流的有效值总是最大值的1/倍
C．因为有效值表示交流电产生的平均效果，所以有效值与平均值相同
D．若正弦式交变电流的最大值是10 A，则它的最小值是－10 A
解析：选A．线圈平面每经过中性面一次，电流方向改变一次，在一个周期内线圈平面有两次经过中性面，对于正弦式交变电流有效值是最大值的1/倍，对其他的交变电流不一定有这样的关系，交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的，与平均值不同，交变电流的正负表示电流的方向，不表示电流的大小，交变电流的最小值为零．
2．如图所示为一交变电流的电流随时间而变化的图像．此交变电流的有效值是( )
A．5 A B．5 A
C． A D． A
解析：选B．该交变电流通过阻值为R的电阻一个周期(即0．02 s)内所产生的热量为Q交＝(4)2×R×0．01＋(3)2×R×0．01．而直流电流I通过电阻R在0．02 s内产生的热量为Q直＝I2R×0．02．由交变电流的有效值定义得Q直＝Q交，即50×0．01R＝I2×0．02R，则I＝5 A，即交变电流的有效值为5 A，故B项正确．
3．(多选)一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图所示．由图可知( )
A．该交流电的电压瞬时值的表达式为u＝100sin 25t V
B．该交流电的频率为25 Hz
C．该交流电的电压的有效值为100 V
D．若将该交流电压加在阻值为R＝100 Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率是50 W
解析：选BD．由图像可知正弦交流电的周期T＝0．04 s，则f＝＝25 Hz，ω＝2πf＝50π，所以该交流电的电压瞬时值的表达式为u＝100sin(50πt) V, A不正确，B正确；该交流电的电压的有效值为 V＝50 V，则C不正确；若将该交流电压加在阻值为R＝100 Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率为P＝＝ W＝50 W，则D正确．
4．(多选)如图所示是某种正弦式交流电压的波形图，由图可确定该电压的( )
A．周期是0．01 s
B．最大值是311 V
C．有效值是220 V
D．表达式为u＝220sin 100πt V
解析：选BC．由交流电压的图像知，周期是0．02 s，A项错误；最大值是311 V，B项正确；有效值是220 V，C项正确；瞬时值表达式为u＝311sin 100πt V，D项错误．
5．
线圈abcd共有50匝，切割磁感线的边为ad和bc，bc长30 cm，ab长20 cm，放在磁感应强度B＝0．5 T的匀强磁场中以50 r/s的转速绕轴做匀速运动，如图所示，求线圈中产生感应电动势的最大值，感应电动势的瞬时值表达式及从图示线圈位置开始计时的图像．
解析：
线圈在图示位置时，线圈平面与磁场方向平行，ad和bc边正好垂直切割磁感线，这时有最大值：
Em＝2nBlv＝nBSω＝50×0．5×0．3×0．2×2π×50 V≈471 V
其瞬时值表达式为e＝Emcos ωt＝471cos(100πt) V
根据瞬时值表达式，画出如图所示的图像．
答案：471 V e＝471cos(100πt) V 图见解析
[课时作业]
一、单项选择题
1．一只白炽灯上标有“220 V 40 W”字样，这里的“220 V”是指交流电压的( )
A．有效值 B．峰值
C．瞬时值 D．平均值
解析：选A．白炽灯上标有“220 V 40 W”字样，这里的“220 V”是指交流电压的有效值，故选A．
2．关于交流电的有效值U和最大值Um，下列说法中正确的是( )
A．任何形式的交流电都具有U＝Um/的关系
B．正弦交流电具有U＝Um/的关系
C．照明电压220 V指的是最大值
D．交流电压表和交流电流表测的都是最大值
解析：选B．电压、电流的有效值和峰值之间的倍关系仅限于正(余)弦交流电，A错，B对．在交流电的讲述中没有特殊说明的情况下，电压和电流均指有效值，C错．交流电压表、电流表测的都是有效值，D错．
3．某一电热器接在U＝110 V的直流电源上，每秒产生的热量为Q；现把它改接到正弦式交流电源上，每秒产生的热量为2Q，则该交流电压的最大值Um是( )
A．110 V B．110 V
C．220 V D．220 V
解析：选C．接在直流电源上，Q＝t，接在正弦式交流电源上应有2Q＝t，所以Um＝2U＝220 V．
4．在如图(甲)所示的电路的M、N间加一如图(乙)所示的正弦交流电，负载电阻为100 Ω，若不考虑电表内阻对电路的影响，则交流电压表和交流电流表的读数分别为( )
A．220 V，2．20 A B．311 V，2．20 A
C．220 V，3．11 A D．311 V，3．11 A
解析：选A．由题图(乙)可知Um＝311 V，则有效值为：U＝＝220 V，电流表示数为I＝＝ A＝2．20 A．A正确．
5．将电阻R两端接20 V的恒定电压时，电阻R消耗的功率是10 W，如果将这个电阻R两端接上如图所示的正弦式交变电压时，电阻实际消耗的功率是( )
A．5 W B．7．07 W
C．10 W D．15 W
解析：选A．根据P＝可求出电阻R的阻值为
R＝eq \f(U,P1)＝ Ω＝40 Ω．
现将电阻两端加上交变电压，计算电阻消耗的热功率当然要用交变电压的有效值．从图中可知该交变电压的最大值为Um＝20 V，则其有效值为U＝Um＝ V＝10 V．根据交流电的有效值与直流电等效的概念，则P＝＝ W＝5 W，故选A．
6．一只电饭煲和一台洗衣机同时并入u＝311sin(314t) V的交流电源上，均正常工作，用电流表分别测得电饭煲的电流是5 A，洗衣机的电流是0．5 A．下列说法正确的是( )
A．电饭煲的电阻是44 Ω，洗衣机电动机线圈电阻是440 Ω
B．电饭煲消耗的功率为1 555 W，洗衣机电动机消耗的功率为155．5 W
C．1 min内电饭煲消耗的电能为6．6×104 J，洗衣机电动机消耗的电能为6．6×103 J
D．电饭煲的发热功率是洗衣机电动机发热功率的10倍
解析：选C．交流电压的峰值Um＝311 V，有效值为U＝＝220 V，可知电饭煲电阻R1＝ Ω＝44 Ω，电动机不是纯电阻，无法求其线圈电阻，A错误．电饭煲的功率P1＝UI1＝220×5 W＝1 100 W，洗衣机电动机消耗的功率P2＝110 W，B错误．1分钟内电饭煲消耗的电能W1＝P1t＝6．6×104 J，洗衣机电动机消耗的电能W2＝6．6×103 J，C正确．因不知洗衣机电动机的内阻，所以D错误．
二、多项选择题
7．某交变电流的方向在1 s内改变100次，则其周期T和频率f分别为( )
A．T＝0．01 s B．T＝0．02 s
C．f＝100 Hz D．f＝50 Hz
解析：选BD．交变电流在一个周期内方向改变两次，所以此交变电流1 s内完成了50次周期性变化，即T＝ s＝0．02 s，则f＝50 Hz，故B、D选项正确．
8．一矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，产生的交变电动势的图像如图所示，则( )
A．交变电流的频率是4π Hz
B．当t＝0时，线圈平面与磁感线垂直
C．当t＝π s时，e有最大值
D．交变电流的周期是2π s
解析：选BD．由图可知T＝2π s，则f＝ Hz，A选项错误，D选项正确．t＝0时，e＝0，故在中性面处，B选项正确．t＝π s时，e＝0，C错误．
9．
如图所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈的周期为T，转轴O1O2垂直于磁场方向，线圈电阻为2 Ω．从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈转过60°时的感应电流为1 A．那么( )
A．线圈消耗的电功率为4 W
B．线圈中感应电流的有效值为2 A
C．任意时刻线圈中的感应电动势为e＝4cos
D．任意时刻穿过线圈的磁通量为Φ＝sin
解析：选AC．从线圈平面平行于磁感线开始计时，正弦交变电流的感应电动势的一般表达式为e＝Emcos θ，且该式的成立与转轴的位置无关(转轴平行于磁感线的情况除外)，则感应电流i＝＝cos θ，由题给条件有：
1＝×，Em＝4 V，则Im＝2 A，I有效＝ A，电功率P＝IR＝4 W，所以A正确，B错误．e＝4cos ωt＝4cos，即C正确．由Em＝BSω＝Φm·得Φm＝，故Φ＝ sin，即D错误．
10．如图甲所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图像如图乙中曲线a、b所示，则( )
A．两次t＝0时刻线圈平面均与中性面重合
B．曲线a、b对应的线圈转速之比为2∶3
C．曲线a表示的交变电动势频率为25 Hz
D．曲线b表示的交变电动势有效值为10 V
解析：选AC．从图像可知，两次转动都是从中性面开始计时的，故A正确．从图像可知，曲线a、b对应的线圈转动的周期之比为2∶3，则转速之比为3∶2，故B错误．由图像可知曲线a的周期Ta＝4×10－2 s，则曲线a表示的交变电动势频率fa＝＝25 Hz，故C正确．交变电动势的最大值Em＝nBSω，则曲线a、b表示的交变电动势的峰值之比为Ema∶Emb＝ωa∶ωb＝3∶2，即Emb＝Ema＝10 V，故曲线b表示的交变电动势的有效值为E有＝ V＝5 V，D错误．
三、非选择题
11．
如图所示，边长为a的单匝的正方形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中，以OO′边为轴匀速转动，角速度为ω，转轴与磁场方向垂直，线圈电阻为R．求：
(1)线圈从图示位置转过的过程中产生的热量Q；
(2)线圈从图示位置转过的过程中通过线圈某截面的电荷量q．
解析：(1)线圈转动中感应电动势的峰值Em＝Bωa2，感应电流的有效值为：I＝＝＝
线圈转过π/2的时间：t＝＝．
所以在转动过程中产生的热量为：
Q＝I2Rt＝·R·＝．
(2)线圈转过π/2过程中的感应电动势和感应电流的平均值分别为：＝＝＝，＝＝
所以，在转动过程中流过导体截面的电荷量为：
q＝t＝·＝．
答案：(1) (2)
12．
如图所示，在匀强磁场中有一个内阻r＝3 Ω、面积S＝0．02 m2的半圆形导线框可绕OO′轴旋转．已知匀强磁场的磁感应强度B＝T．若线框以ω＝100π rad/s的角速度匀速转动，且通过电刷给“6 V，12 W”的小灯泡供电，则：
(1)若从图示位置开始计时，求线框中感应电动势的瞬时值表达式；
(2)从图示位置开始，线框转过90°的过程中，流过导线横截面的电荷量是多少？该电荷量与线框转动的快慢是否有关？
(3)由题中所给已知条件，外电路所接小灯泡能否正常发光？如不能，则小灯泡实际功率为多大？
解析：(1)线圈转动时产生感应电动势的最大值
Em＝BSω＝×0．02×100π V＝10 V
因线圈转动从平行于磁感线位置开始计时，则感应电动势的瞬时值表达式
e＝Emcos ωt＝10cos (100πt)V．
(2)线圈转过90°过程中，产生的平均电动势
＝＝，
流过的电荷量q＝·T＝，
灯泡电阻R＝eq \f(U,P0)＝ Ω＝3 Ω．
故q＝＝ C＝ C，
该电荷量与线框转动的快慢无关．
(3)线圈产生的电动势的有效值E＝＝10 V，灯泡两端电压U＝R＝5 V<6 V，故灯泡不能正常发光，其实际功率P＝＝ W＝ W．
答案：(1)e＝10cos (100πt) V (2) C 无关 (3)不能 W
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(共36张PPT)
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第2章 交变电流与发电机
第2章 交变电流与发电机
预习导学·新知探究
梳理知识·夯实基础
要点探究讲练互动
突破疑难·讲练提升
C
甲
丙
戊
E1
mat
t
