沪科版九年级下册数学：24.5 三角形的内切圆课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？
①.圆心与半径
2、叙述角平分线的性质与判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3、下图中△ABC与圆O的关系？
△ABC是圆O的内接三角形；
圆O是△ABC的外接圆
圆心O点叫△ABC的外心
或②.不在同一直线上的三点
A
B
C
O
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
三角形的外接圆在实际中很有用,但还有用它不能解决的问题.如
第一种情况
第二种情况
第三种情况
第四种情况
请问：那种情况的裁剪可以使裁下的圆的面积最大？
O
r
思考下列问题：
1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？
圆心0在∠ABC的平分线上。
?2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？
圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。
O
M
A
B
C
N
探究：三角形内切圆的作法
作法：
A
B
C
1、作∠B、∠C的平分线
BM和CN，交点为I。
I
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
3．以I为圆心，ID为
半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
M
N
试一试:
你能画出一个三角形的内切圆吗?
这样的圆可以作出几个?为什么?.
∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?),
∴因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.
三角形与圆的位置关系
三角形与圆的位置关系
这圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
老师提示:
多边形的边与圆的位置关系称为切.
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；
性质：
O
r
2.三角形的内心在三角形的角平分线上；
内 心（三角形内切圆的圆心）

三角形三边中垂线的交点
三角形三条
角平分线的
交点

(1)OA=OB=OC
(2)外心不一定在三角形的内部．

（1）到三边的距离相等；
（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
（3）内心在三角形内部．
外 心
(三角形
外接圆的
圆心)
1.如图1，△ABC是⊙O的 三角形。
⊙ O是△ABC的 圆，
点O叫△ABC的 ，
它是三角形 的交点。
外接
内接
外心
三边中垂线
2.如图2，△DEF是⊙I的 三角形，
⊙I是△DEF的 圆，
点I是 △DEF的 心，
它是三角形 的交点。
外切
内切
内
三条角平分线
3. 三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____ 个,三角形的内心在三角形的_______.
1
无数
内部
练一练
探讨1：
(1)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆.
(2)任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形.
(3)任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆.
(4)任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形
正确说法有_______________________
(1)
(3)
1.一个三角形有且只有一个内切圆；
2.一个圆有无数个外切三角形；
3.三角形的内心就是三角形三条内角平
分线的交点；
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。
如图,在△ABC中,∠A=68°,点I是内心,求∠BIC的度数
老师提示：若点I是外心呢？
（2）若∠A=80 °，则∠BOC = 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A = 度。
解:
130
20
（1）∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3)
= 180 °－(25°＋ 35 °)
=120 °
理由： ∵点O是△ABC的内心，
（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。
在△OBC中，
∠BOC =180 °－（ ∠1＋ ∠3 ）
·
B
D
E
F
O
C
A
如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S.
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，
则△ABC的内切圆的半径 r＝
三角形的内切圆的有关计算
·
A
B
C
E
D
F
O
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r.
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
·
A
B
C
E
D
F
O
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4, ⊙O为Rt△ABC的内切圆. （1）求Rt△ABC的内切圆的半径 . （2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
解得
r＝1
在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4, ∴AB＝5
由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD
∴ Rt△ABC的内切圆的半径为1。
（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。
·
A
B
O
D
C
∴OB＝BC＝3
∴半径r的取值范围为0＜r≤3
几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。
.
A
B
C
直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm .则其内切圆的半径为______。
O
2cm
在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.求这个三角形的外接圆半径和内切圆半径.
B
解：如图：由勾股定理可得：
O
∴外接圆半径R=2.5
由我们推导的三角形的面积公式可知：
解得：r=1
r
小结： 三角形的内切圆
（1）三角形的内心是三角形内切圆的圆心
（2）三角形的内心是三角形各角平分线的交点
（3）三角形内心到三边的距离相等
（4）三角形面积

（C为三角形周长，r为内切圆半径）
(5)直角三角形 的内切圆的半径为r 与 各边长 a、b、c的关系是
或
2、菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则内切圆的半径为（ ）
3、如图，⊙O是△ABC的内切圆，
D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，
则∠DOE=（ ）
（A）70° （B）110°
（C）120° （D）130°
（A）梯形 （B）菱形 （C）矩形 （D）平行四边形
1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ ）
B
B
D
4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（ ）
5、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（ ）
（A）矩形 （B）菱形
（C）正方形 （D）平行四边形
D
C
6.已知：△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB相切于点D、E、F，∠DIE=120°,∠EIF=130°.求△ABC的三个内角的度数.
7.如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DE＝DB
1
2
3
4
5
DB ? = AD · DF .
F