人教版高中物理必修2第六章万有引力定律及应用（2）导学案（word 含答案）

万有引力定律及应用（2）
姓名班级小组
学习目标
1.熟练使用公式计算天体质量和密度
2.卫星运动的线速度、角速度、周期、加速度的计算
学习重点难点
1.天体密度的计算。
2.近地卫星、同步卫星的运行规律比较
导学流程
（一）　天体质量和密度的估算
天体质量和密度常用的估算方法
使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质量的计算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量
r、v G＝m M＝
v、T G＝mG＝mr M＝
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝
密度的计算 利用运行天体 r、T、R G＝mrM＝ρ·πR3 ρ＝当r＝R时ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝M＝ρ·πR3 ρ＝



例题1　(2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
例题2　(多选)(2018·广东省汕头市第二次模拟)“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探测工作，若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2，已知地球半径为R1，月球半径为R2，则(　　)
A．地球表面与月球表面的重力加速度之比为
B．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为
C．地球与月球的质量之比为
D．地球与月球的平均密度之比为
例题3 (多选)(2018·山东省青岛市二模)利用探测器探测某行星，探测器在距行星表面高度为h1的轨道上做匀速圆周运动时，测得周期为T1；探测器在距行星表面高度为h2的轨道上做匀速圆周运动时，测得周期为T2，万有引力常量为G，根据以上信息可求出(　　)
A．该行星的质量
B．该行星的密度
C．该行星的第一宇宙速度
D．探测器贴近行星表面飞行时行星对它的引力

（2）卫星运行参量的分析
卫星运行参量 相关方程 结论
线速度v G＝m?v＝ r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω G＝mω2r?ω＝
周期T G＝m2r?T＝2π
向心加速度a G＝ma?a＝


例题4 (2018·全国卷Ⅲ·15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为(　　)
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1

例题5　(2018·山东省临沂市上学期期中)据报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星(这4颗卫星均绕地球做匀速圆周运动)，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测．设海陆雷达卫星的轨道半径是海洋动力环境卫星的n倍，下列说法正确的是(　　)
A．在相同时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连
B．海陆雷达卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比等于海洋动力环境卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比
C．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星角速度之比为∶1
D．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星周期之比为1∶

变式6　(2018·广东省揭阳市期末)如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，则(　　)
A．卫星a的角速度小于c的角速度
B．卫星a的加速度大于b的加速度
C．卫星a的运行速度大于第一宇宙速度
D．卫星b的周期大于24 h

变式7　如图所示，在半径为R的铅球中挖出一个球形空穴，空穴直径为R且与铅球相切，并通过铅球的球心．在未挖出空穴前铅球质量为M.求挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为d、质量为m的小球(可视为质点)间的万有引力大小．








1答案　C
解析　脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，
又知M＝ρ·πr3
整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.
2答案　BD
解析　地球表面的重力加速度为g1＝，月球表面的重力加速度g2＝，地球表面与月球表面的重力加速度之比为＝，故A错误．根据第一宇宙速度公式v＝，得＝ ＝，故B正确．根据mg＝，得M＝，地球质量M1＝，月球的质量M2＝，所以地球与月球质量之比为＝＝，故C错误．平均密度ρ＝＝，得＝＝，故D正确．
3答案　ABC
解析　探测器在距行星表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动时，有：G＝m(R＋h)
解得：M＝
则有M＝，M＝
联立两式即可求出行星的质量M和行星的半径R，A正确；
行星的密度：ρ＝＝＝，可以求出行星的密度，B正确；根据万有引力提供向心力，得第一宇宙速度v＝ ，C正确；由于不知道探测器的质量，所以不可求出探测器贴近行星表面飞行时行星对它的引力，D错误．

4答案　C
解析　由G＝mr知，＝，则两卫星＝.因为rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1.
5答案　B
解析　根据G＝mω2r＝mr，可得T＝2π ，ω＝ ，卫星到地心的连线扫过的面积为S＝πr2＝r2＝t，半径不同，则面积不同，A错误；由T＝2π可知＝，是一个定值，B正确；根据ω＝可知角速度之比为1∶，C错误；根据T＝2π可知周期之比为∶1，D错误．
6答案　A
解析　根据公式G＝mω2r可得ω＝ ，运动半径越大，角速度越小，故卫星a的角速度小于c的角速度，A正确；根据公式G＝ma可得a＝，由于a、b的轨道半径相同，所以两者的向心加速度大小相同，B错误；第一宇宙速度是近地轨道卫星做圆周运动的最大环绕速度，根据公式G＝m可得v＝ ，半径越大，线速度越小，所以卫星a的运行速度小于第一宇宙速度，C错误；根据公式G＝mr可得T＝2π ，故轨道半径相同，周期相同，所以卫星b的周期等于24 h，D错误．

7由于题目中没有告知距离d与球的半径R之间的关系，因此不能把挖出球形空穴后的铅球看成质点，故不能直接利用万有引力定律来计算引力的大小．但是，可以用填补法求解，即先把挖去的部分“补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力定律，分别计算出半径为R的球体和补上的球体对小球的万有引力，最后两引力相减即可得到答案．
解析　设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F1，挖出的球形实体(由球体的体积公式易知质量为，这里不再具体计算)与小球间的万有引力为F2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为F，则有F1＝F＋F2
根据万有引力定律可得F1＝G，F2＝G
故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力为
F＝F1－F2＝G－G＝.
答案