人教版数学八年级下册 第十八章平行四边形 能力提优测试卷（含解析）

人教版数学八年级下册 第十八章能力提优测试卷
一、选择题
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件后，能使平行四边形ABCD成为矩形的是( )
A．AB=AD B．AC= BD C．BD平分∠ABC D．AC⊥BD
2．把一张矩形的纸片按如图所示的方式折叠，B、C两点分别落在B’、C ‘处，若∠AOB'= 70°，则∠B’OG的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
3．如图所示，在△ABC中，AB=4．BC=5，AC=8．点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则四边形DFEB的周长等于（ ）
A．8 B．9 C．12 D．13
4．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点D，AE⊥BC于点E，，AC=2，BD=4，则AE的长为（ ）
A． B． C. D.
5．如图所示是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下，
关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为( )
A．仅甲正确 B．仅乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
6．如图所示，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD.若AE=2，PF=9，则阴影部分的面积为( )
A．10 B．12 C．16 D．18
7．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个正方形，则这个四边形最可能是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
8．如图所示，四边形ABCD为菱形，A、B两点的坐标分别是(2，0)、(0，1)，点C、D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于( )
A． B． C． D．20
9．如图所示，在△ABC中，∠B=50°，CD∠AB于点D，∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD =CF，则∠ACD+∠CED=( )
A. 125° B. 145° C. 175° D. 190°
10.如图所示，P是正方形ABCD对角线BD上任意一点，过点P作PE∠BC,PF⊥CD，垂足为E、F，连接EF，给出下列三个结论：①AP=EF;②∠PFE=∠BAP;⑧AD=PD．其中正确的结论有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
1.已知一个菱形的边长为2，较长的对角线的长为，则这个菱形的面积是____________.
2.如图所示，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB和BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和PE+PF=____.
3．如图所示，平行四边形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，BE =2,BF=3，平行四边形ABCD的周长为20，则平行四边形ABCD的面积为___.
4.如图所示，已知正方形ABCD，以AB为边向外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则∠AFD的度数为_____________.
5.12月份某中学举行了校园机器人设计大赛，小辉设计的微型机器人以小巧灵活荣获大赛一等奖．如图是由两个全等菱形拼接而成的跑道，已知菱形的边长为1米，小辉设计的机器人由A点开始按A→B→C→D→E→F→C→G→A的顺序沿菱形跑道循环运动，行走2 020米停下，则这个微型机器人停在________点.
6.如图所示，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF=6，BC= 10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为__________.
7.在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，1)，B(1，0)，C(3，1)，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_______.
8.如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE=15°，下列结论：①△ODC是等边三角形；②AC= 2AB;③∠AOE=135°;④S△AOF=S△COE，其中正确结论的序号是_________.
三、解答题
1.如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点D，AE= CF.求证：BE=DF.
2.如图所示，在矩形ABCD中，M，N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
(1)求证：PM= PN；
(2)四边形MPNQ是什么特殊四边形？请说明理由．
3.在手工制作活动课上，张飒将一张矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，展开后，折痕交BC于点E，交AD于点F她的同桌提出了下列问题，请你试着解答：
(1)判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由；
(2)若AB=4，BC=8，求AF的长；
(3)在(2)的条件下，求折痕EF的长，
4.某扎毯公司扩建后，新引进了一项手工编制挂毯技术，改进后的挂毯以素简高雅的图案颇受人们喜爱，该公司接到一批订单，顾客要求在正方形的挂毯上镶绣两条彩色的丝带AF和BE，并且这两条丝带互相垂直，如图①所示．
(1)试问要镶绣的这两条彩色丝带AF与BE 一样长吗？请说明理由；
(2)若在全等的正方形挂毯ABCD中，做如下镶绣：把两条彩色丝带的端点M、N、P、Q分别镶绣在挂毯的边AB、BC、CD、DA上，如图②所示，并且两条彩色丝带MP和NQ互相垂直，问两条彩色丝带MP与NQ是否相等？并说明理由．

5.某数学兴趣小组在课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：
在△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.
(1)观察猜想：
如图①所示，当点D在线段BC上时，
(i)BC与CF的位置关系为____________；
(ii)BC、DC、CF之间的数量关系为____；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：
(2)如图②所示，当点D在线段CB的延长线上时，(1)中的(i)，(ii)的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
(3)拓展延伸：
如图③所示，当点D在线段BC的延长线上时，连接CF，延长BA交CF于点G，连接GE.已知AB=2，CD=BC，请写出GE的长，
第十八章能力提优测试卷
1．B A.AB=AD能判定平行四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意：
B．AC=BD能判定四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C．BD平分∠ABC，能判定平行四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意：
D．AC∠BD，能判定DABCD为菱形，故选项D不符合题意，故选B．
2．B ∵B、C两点落在B’、C ‘处．∴∠BOC= ∠B’OG．
∵∠AOB'=70°．∴∠B'OC=(180°-∠AOB')=°×（180°-70°)= 55°.
3．B易知四边形BDFE是平行四边形，∵点D.F分别是AB.AC的中点，
∴DF =BC= 2.5，同理，EF=AB=2，
∴四边形DFEB的周长=EF +FD+DB+BE=9．
4．D ∵AC=2,BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC= 1,BO=BD=2,
∵．∴AB? +AO?= BO?．∴∠BAC= 90°，
∵在Rt△BAC中,.
5．C甲的作法正确，如图①，∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，∴∠DAC= ∠ACB．
∵直线EF是AC的垂直平分线．∴AO=CO，
在△AOE和△COF中．
∴△AOE≌△COF( ASA)，∴AE= CF.
又∵AE∥CF．∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形，
乙的作法正确．如图②，
∵AD∥BC,∴ ∠1=∠2,∠6=∠7,
∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD，∴∠2= ∠3,∠5= ∠6,
∴∠1= ∠3, ∠5= ∠7,∴ AB =AF ,AB= BE,∴ AF =BE.
∵AF//BE,∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF,∴平行四边形ABEF是菱形．故选C．
6．D过P点作EF的垂线，交AD于M，PM的反向延长线交BC于N.
则四边形AEPM、四边形DF PM、四边形CF PN、四边形BEPN都是矩形，
7．D如图，点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形．
∴EF// BD,EH //AC,2EF=BD,2EH =AC,EF=EH,EF⊥EH,
∴AC=BD,AC⊥BD,
即四边形ABCD满足对角线相等且垂直．选项D满足题意．
8．C∵A、B两点的坐标分别是(2，0)、(0，1)．∴，
∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的周长为．
9．C 连接DF，∵CD∠AB,F为边AC的中点，∴DF=AC=CF，又∵CD=CF,
∴CD=DF=CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD= 60°，∵∠B=50°,
∴∠BCD+∠BDC=130°，∵∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,
∴∠DCE+∠CDE=65°,∴ ∠CED=115°,
∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°
10．B如图，连接PC．
在△PAB和△PCB中，
∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PEC=∠PFC= 90°,∵BCD= 90°,
∴四边形PECF是矩形．PC=EF,∴PA =EF，故①正确．∵△PAB≌△PCB，
∴∠BAP=∠BCP，在矩形PECF中，∠PFE= ∠FPC=∠BCP，
∴∠PFE= ∠BAP．故②正确．
∵点P是正方形对角线BD上任意一点．∴AD不一定等于PD，只有∠BAP= 22.5°时，AD=PD．本题正确的结论有2个，故选B．
二、
解析：依照题意画出图形，如图所示.
在Rt△AOB中，AB=2，OB=，∴.
2．答案：4.8
解析：连接OP,
∵矩形的两条边AB和BC的长分别为6和8．
∴ =AB．BC= 48，OA= OC，OB= OD,AC= BD== 10,
∴OA= OD= 5,∴ ,∴,
∵.解得PE+PF= 4.8.
3.12
解析：∵平行四边形ABCD的周长为20，∴2(AD+CD)= 20，∴AD+CD= 10①，
,∴ 2AD= 3CD②,联立①、②,
解得AD=6,∴平行四边形ABCD的面积=AD．BE=6x2=12.
4.60°
解析：∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形，
∴BC=BA=BE,∠CBA=90°,∠ABE=60°，∴∠CBE=150°，∴∠BEC= 15°,
∵∠FBE=∠DBA+∠ABE=105°,
∴ ∠BFE=180°-105°-15°=60°,
在△CBF和△ABF中，
∴△CBF≌△ABF(SAS),∴∠BAF=∠BCF=15°,
又∵∠ABF =45°，且∠AFD为△AFB的外角，
∴∠AFD= ∠ABF+∠FAB= 15°+45°= 60°.
故∠AFD的度数为60°.
5．E
解析：根据“由A点开始按A→B→C→D→E→F→C→G→A的顺序沿菱形跑道循环运动”可得出，每经过8米完成一个循环，
∵2 020÷8=252……4．∴行走2 020米停下，这个微型机器人停到了E点．
6．4
解析：连接EG、FC．
∵CE、BF分别是△ABC的高线．∴∠BEC=90°，∠BFC=90°，
∵G是BC的中点，∴EC= FC=BC=5，
D是EF的中点，∴ED=EF=3，GD⊥EF,
由勾股定理得．
7．（-2，0）或(4，0)或(2，2)
解析：如图，分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为(4，0)；②AB为
对角线时，点D的坐标为（-2，0）；③AC为对角线时，点D的坐标为(2，2)．
综上所述，点D的坐标是（-2，0）或(4，0)或(2，2)．
8．①②③④
解析：∵矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∴ ∠BAE=45°，∵∠CAE= 15°，∴∠BAO= ∠BAE+∠CAE= 45°+15°= 60°，又∵OA=OB=OC=OD,∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=∠COD=60°，∴△ODC是等边三角形，故①正确；由等边三角形的性质知AB=OA,∴AC= 2AB，故②正确：∵∠BAE=45°，∠ABE= 90°，∴△ABE是等腰直角三角形．∴AB=BE,∴BO=BE，∵∠ABC=90°，∠ABD= 60°，∴∠DBC= 30°，∴∠BOE=×（180°-30°）=75°，∴∠AOE= ∠AOB+ ∠BOE= 60°+75°=135°，故③正确：∵在△AOE和△COE中，AO= CO，AO和co上的高都为点E到AC的距离，∴，故④正确．综上所述，正确的结论的序号是①②③④．
三、
1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴BO=DO，AO=CO．
∵AE=CF,∴AO-AE=CO-FC,∴ EO=FO,
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF( SAS)，
∴BE =DF．
2．解：(1)证明：如图，连接MN，
∵四边形ABCD是矩形．∴∠BAD=90。，AD//BC，AD=BC，
∵M、N分别是AD.BC的中点．∴AM=DM=AD,BN=CN=-BC，
∴AM=BN,∴四边形AMNB是平行四边形，∵∠BAD= 90°．
∴平行四边形AMNB是矩形，
∴∠MNB= 90°，∵P是BM的中点，
∴PN =-BM= PM．即PM= PN.
(2)四边形MPNQ是菱形．理由如下：
∵DM//BN，DM =BN，
∴四边形BMDN是平行四边形，∴BM//ND，BM =ND，
又∵P、Q分别是BM、DN的中点．∴PM =NQ，
∴四边形MPNQ是平行四边形，
由(1)得PM= PN，∴四边形MPNQ是菱形．
3.解析：（1）四边形AECF为菱形。
理由：连接EA，CF，∵折叠矩形ABCD使点A与点C重合，折痕为EF，∴OA=OC，EA=EC，∴EF⊥AC。
∵AD//BC，∴∠FAC=∠ECA，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE,∴ OF= OE.
∵OA =OC，AC⊥ EF,∴四边形AECF为菱形．
(2)设菱形的边长为x，则BE=BC-CE=8-x,AE=x,
在Rt△ABE中，∵BE?+AB?=AE?，∴（8-x）?+4? =X?，解得x=5．
即菱形的边长为5，即AF的长为5．
(3)在Rt△ABC中，．
∴，
在Rt△AOE中，，
∴EF= 2OE=.
4.解析：(1)AF与BE 一样长，理由：∵AF⊥BE,∴∠EAF+ ∠AEB=90°，
又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠EAF=∠ABE,
在△AEB和△DFA中，
∴△AER≌△DFA( ASA),∴BE=AF.
(2)MP与NQ相等，
理由：如同,作AF//PM,BE//NQ,
∵AM//FP,BN//EQ,
∴四边形AMPF和四边形BNQE都是平行四边形，
∴AF=MP,BE=NQ,
由(1)结论知AF=BE,∴ MP=NQ.
5．解析：(1)(i)正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF= 90°.∴∠BAD= ∠CAF,∠ABD+∠ACB=90°,
在△DAB与△FAC中，
∴△DAB≌△FAC( SAS),∴∠ABD= ∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF =90°，即BC⊥CF．故答案为垂直．
(ii)∵△DAB≌△FAC．∴BD=CF,
∵BC=BD+DC,∴BC =CF+DC．故答案为BC=CF+DC.
(2)CF⊥BC成立；BC= CD+CF不成立，正确的结论为CD=CF+BC.
理由：∵正方形ADEF中,AD=AF，∴∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB与△FAC中，
∴△DAB≌△FAC( SAS ) ,∴ DB = CF, ∠ABD = ∠ACF ,
∵∠BAC = 90° ,AB =AC,∴∠ACB = ∠ABC = 45°.
∴ ∠ABD= 1800-450 = 135°,
∴∠ BCF = ∠ACF- ∠ACB = 135°-45°= 90° ,∴ CF⊥BC.
∵CD=DB+BC,DB=CF,∴ CD=CF+BC.
(3)过点A作AHI BC于点N，过点E作EM⊥直线BD于点M，EN⊥CF于点N，如图所示：
∵∠BAC= 90° ,AB =AC=2．
∴，∵AH⊥BC.∴AH= BC=,
∴，
由(2)易证得BC⊥CF,CF =BD=，
∵四边形ADEF是正方形,∴AD=DE,∠ADE=90°,
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF．∴∠NCM= ∠CME= ∠ENC=90°，∴四边形CMEN是矩形．
∴NE= CM ,EM= CN．
∵∠AHD= ∠ADE= ∠EMD=90°,
∴∠ADH+∠EDM = ∠EDM+ ∠ DEM = 90° ,∴∠ADH =∠DEM,
在△AHD与△DME中，
∴△ADH≌△DEM(AAS)，∴EM=DH=,DM=AH=，
∴CN=EM= ,EN=CM=，∵∠ABC=45°,∴ ∠BCC=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形．∴，∴，
∴.