2020届高考数学-导数的应用-函数的构造（含解析）

导数与不等式——构造函数

导数的应用，最主要的是利用导数来判断函数的单调性。导数与不等式问题中的一种，是根据题目中所给出函数与其导函数的关系，构造新函数，并根据导数判断其单调性从而达到解决问题的目的。
一、直接构造
例题1.设函数在上均可导，且，则当时，有
A. B.
C. D.
解析：因为，即，
所以函数在（3，7）上单调递减，
所以，所以。
答案：D
解惑练习1：定义域为R的函数满足，且的导函数，则满足的的集合为（ )
A． B． C D．
二、根据题意或选项中的提示构造函数
1.当题意中出现时，“+”对应的原函数是，“-”对应的原函数是。
例题2.已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
解析：设，，
因为当时，所以函数在上单调递减，
因为是R上的奇函数，所以。
，，，
因为，所以，即。
答案：D
解惑练习2：已知定义在R上的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则、、的关系为（ ）
A. B. C. D.
2.当题意中出现时，“+”需要构造函数，“-”需要构造函数.
例题3.已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为
A． B． C． D．
解析：因为，所以构造函数，
，所以在R上单调递增，。
因为，所以，即，所以。
答案：A
解惑练习3.已知定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
解惑练习4.设是定义在R上的函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A. B. C． D．
4、复杂构造，是对题意条件所给函数关系进行深入分析，研究其结构特征关系，构造出新函数，从而达到解决问题的目的。
例题4.设函数满足，，则当时，( )
A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值
C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值
解析：因为，所以，
所以，则。
，
令，则，
当，则，当，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，
所以在上恒成立，即在上无极大值也无极小值。
答案：D
解惑练习5.已知定义在的可导函数，满足，下列结论正确的是（ ）
A. B． C． D．




解惑练习解析
解惑练习1：解析：要解不等式，只要解不等式，
令，则只要解不等式。
因为，所以，即在R上单调递增。
因为，所以，所以，则。
答案：B
解惑练习2：设，。
因为，所以，即，
当时，，单调递增。
因为是奇函数，所以是偶函数，
因为，，，，
所以。
答案：B
解惑练习3：解析：设，
因为，所以，
所以在R上单调递增。
因为，所以，
所以，即，
所以，。
答案：A
解惑练习4：解析：设，
因为，所以，
所以在R上单调递增。
因为，所以。
因为，所以，即，，
所以，。
答案：A
解惑练习5：设，
则，
因为，所以，所以单调递减，
所以，即，。
答案：A