高中物理人教版选修3-4 11.2 简谐运动的描述导学案含答案

简谐运动的描述
基本知识 基本技能
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅，用A表示。
单位：在国际单位制中，振幅的单位是米(m)。
物理意义：表示振动强弱的物理量，对同一振动系统，振幅越大，表示振动越强，振动系统的能量也越大。
(2)振幅、位移和路程的关系

辨误区：对振幅的理解
(1)在一个稳定的振动系统中，振幅是不变的，它与振动系统的周期(频率)或质点的位移无关。
(2)振幅是标量，它没有负值，也无方向，它等于振子最大位移的大小，却不是最大位移。
【例1】 关于振幅的各种说法中，正确的是(　　)
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越弱
解析：振幅是振子离开平衡位置的最大距离，它是表示振动强弱的物理量，振幅越大，振动越强。
答案：A
2．周期
(1)全振动：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，也就是连续的两次位置和振动状态都相同时所经历的过程，叫做一次全振动。
实例探究：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为：O→A→O→A′→O。从A点开始，一次全振动的完整过程为：A→O→A′→O→A。从A′点开始，一次全振动的完整过程为：A′→O→A→O→A′。也就是说弹簧振子要不断地重复这一过程，每一过程所用的时间相同，因此可引入周期这一概念来描述不同的弹簧振子运动的快慢。

(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期。用T表示，单位为秒(s)。
谈重点：对周期的理解
①周期是表示振动快慢的物理量，周期越大表示振动越慢，周期越小表示振动越快；
②弹簧振子的振动周期与振幅无关；与质量有关，质量较小时，周期较小；与弹簧的劲度系数有关，劲度系数较大时，周期较小。
【例2】 如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B间做简谐运动，从振子第一次到达P点开始计时，则(　　)

A．振子第二次到达P点的时间间隔为一个周期
B.振子第三次到达P点的时间间隔为一个周期
C．振子第四次到达P点的时间间隔为一个周期
D．振子从A点到B点或从B点到A点的时间间隔为一个周期
解析：从经过某点开始计时，则再经过该点两次所用的时间为一个周期，B对，A、C错。振子从A到B或从B到A的时间间隔为半个周期，D错。
答案：B
3．频率
(1)定义：单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率。用f表示，单位为赫兹(Hz)。
(2)物理含义：频率是表示振动快慢的物理量，频率越大表示振动越快，频率越小表示振动越慢。
(3)决定因素：物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关，所以其振动周期叫做固有周期，振动频率叫做固有频率。
(4)周期和频率的关系：T＝。
【例3】 关于简谐运动的频率，下列说法正确的是(　　)
A．频率越高，振动质点运动的速度越大
B．频率越高，单位时间内速度的方向变化次数越多
C．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
D．弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关
解析：
A × 简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描述物体运动的快慢用速度，对于同一振动物体速度是变化的，频率是不变的
B √ 做简谐运动的物体在一个周期内速度的方向改变两次，频率越高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多
C
D × 弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置的速度没有关系，它由振动系统的本身决定

答案：BC
4．相位
(1)定义：相位是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。
(2)若两个简谐运动在同一方向同时达到位移的最大值，也同时同方向经过平衡位置，则两者振动的步调一致。
(3)要详尽地描述简谐运动，只有周期(或频率)和振幅是不够的，在物理学中我们用不同的相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的不同阶段。
【例4】 物体A做简谐运动的振动位移xA＝3cos(100t＋) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5cos(100t＋) m。比较A、B的运动，下列说法正确的是(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位
解析：
A × 振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别是3 m、5 m
B × A、B的振动周期为T＝＝ s＝6.28×10－2 s
C √ 因为TA＝TB，故fA＝fB
D √ Δφ＝φA－φB＝

答案：CD
5．简谐运动的表达式
(1)推导：在图中，小球做匀速圆周运动，它的投影做的就是简谐运动，因此可以利用小球投影的位移表示简谐运动的位移。

设开始小球与圆心的连线与水平线的夹角为φ，以此为计时起点，半径为A，设t时刻小球投影的位移为x，此时的夹角为ωt＋φ，向水平方向作垂线，得到x＝Asin(ωt＋φ)。
(2)简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)
物理量 符号 单位 物理含义
位移 x m 振动质点相对于平衡位置的位移
时间 t s 振动的时间
振幅 A m 表示振动质点偏离平衡位置的最大距离
圆频率 ω rad/s 简谐运动物体振动的快慢ω＝＝2πf
初相位 φ rad 简谐运动开始时质点所处的位置

【例5】 一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5 sin cm的规律振动。
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相。
(2)另一简谐运动表达式为x2＝5 sin cm，求它们的相位差。
解析：(1)已知ω＝8π，由ω＝得T＝ s，f＝＝4 Hz。A＝5 cm，φ1＝。
(2)由Δφ＝φ2－φ1得Δφ＝π－＝π。
答案：(1) s　4 Hz　5 cm　　(2)π
基本方法 基本能力
6．求振动物体路程的方法
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据是：
①振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅。
②振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅。
③振动物体在内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅。只有当的初时刻，振动物体在平衡位置或最大位移处时，内的路程才等于一个振幅。
(2)计算路程的方法是：先判断所求的时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。
【例6】 如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是(　　)

A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
解析：从B→O→C，是一次全振动的一半，A错。振动周期是完成一次全振动的时间，应为2 s，振幅为5 cm，B错。完成两次全振动路程为8A，为40 cm，C错。经过3 s，振次完成1.5次全振动，路程为6A，为30 cm，D对。
答案：D
思维拓展 创新应用
7．根据表达式画振动图象和根据图象写表达式
(1)根据表达式画振动图象
①根据x＝Asin (ωt＋φ)找出振幅A和振动周期T＝；
②令t＝0，找出初始时刻的位移x(x的正、负要有明确表示)；
③选好标度，作出正弦函数图象。
(2)根据图象写表达式
①从图象中找出振幅A和周期T，ω＝；
②根据t＝0时的位移求出初相φ，即x0＝Asin φ；
③把A、ω、φ代入表达式x＝Asin(ωt＋φ)即可。(若图象为余弦函数图象或其他形式也可以用该方法求得，只不过φ不相同)
【例7】如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图象。请根据图象写出：

(1)A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________cm，周期是________s。
(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
解析：(1)由图象知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。(2)由图象知：A中振动的质点从平衡位置沿负方向已振动了周期，φ＝π，由T＝0.4 s，得ω＝＝5π。则简谐运动的表达式为xA＝0.5 sin(5πt＋π)cm。B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φ＝，由T＝0.8 s得ω＝＝2.5π，则简谐运动的表达式为xB＝0.2 sincm。
答案：(1)0.5　0.4　0.2　0.8
(2)xA＝0.5sin(5πt＋π)cm，xB＝0.2sin(2.5πt＋) cm