人教版数学八年级下册期末专项训练卷(三）平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册期末专项训练卷(三）平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-17 21:26:55 | ||
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文档简介
人教版数学八年级下册?期末专项训练卷（三）
平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定
一、选择题
1． ABCD中，E、F分别在边AB和CD上，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是( )
A．AE=CF B．AF=EC C．∠DAF=∠BCE D．∠AFD=∠CEB
2．如图所示，小明从网上购置板材并组装成矩形书架，他想检验一下书架的侧边是否和上、下底都垂直，他拿来绳子分别测量了书架的两条对角线AC，BD就做出了判断，他运用的数学依据是( )
A．三个角都是直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3．如图所示，四边形ABCD是菱形，BD=4，AD=2，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FC的最小值为（ ）
B. C. D.
4．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，上述四名同学的说法中，正确的是( )
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丙、丁
5．如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12 cm，点B，D之间的距离为16 cm，则线段AB的长为( )
A．9.6 cm B．10 cm C．20 cm D．12 cm
6．如图所示，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中正确的是( )
①当E、F、G、H是各条线段的中点时，四边形EFCH为平行四边形；
②当E、F、G、H是各条线段的中点，且ACI BD时，四边形EFGH为矩形；
③当E、F、G、H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．如图所示，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M= 50°，则∠MNC'的度数为( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．如图所示，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF上BF于点F，D为AB的中点，连接DF并延长交AC于点E．若AB=8，BC=14，则线段EF的长为( )
A．2 B．3 C．5 D．6
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，过点D作直线m//AC，点E、F是直线m上两个动点，在运动过程中EF//AC且EF=AC，四边形ACFE的面积是( )
A. 48 B. 40 C. 24 D. 30
10．如图所示， ABCD中，对角线AC、BD相交于D，BD= 2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC;②四边形BEFC是平行四边形；③EC=CF;④EA平分∠GEF，其中正确的是( )
①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题
1．凯旋同学结合四边形的不稳定性，把四根长度相同的硬纸条固定好四个顶点，制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图①所示菱形，并且测得此时∠A是60°，接着活动学具成为图②所示正方形，并测得正方形的对角线AC的长度是40 cm，则图①中菱形的对角线BD的长为_____________cm.
2．如图所示，在矩形ABCD中，BC= 20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s，则最快_________s后，四边ABPQ成为矩形．
3．如图所示，电商大村（C村）在两条笔直的公路l1、l2之间，为发货需求，村民在公路的旁边建三个快递收集站A、B、D，已知AB=BC=CD=DA =5千米，且村庄C到公路l1的距离为4千米，则村庄C到公路l2的距离是________千米．
4．如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC=6，BD=8，若DE//AC，CE//BD，则OE的长为__________.
5．如图所示，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD= 60°，∠CFE= 110°，则下列结论：
①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；④∠DAE= 25°．其中正确的结论是___________．（填正确结论的序号）
6．张扬同学放学回家后，温习课上学习的平行线的画法，随后在三角形的纸板上取一点O，过点D作CM //AB，交AC于点G，交BC于点M，接着过点O作EN//AC，交AB于点E，交BC于点N，过点O作DF//BC，交AC于点D，交AB于点F，并连接GE，FM，DN，如图①，他看到图形比较杂乱，思考一会儿，画出了图②，此时恰巧满足GE//DF，FM//EN，DN//GM.这时哥哥走来对他进行点拨，如果已知△ABC中，AB= 30，BC= 24，AC= 27，那么你作的图②中△ODN、△OGE、△OFM的周长之和就可求了，聪明的你求得的结果为_________．
7．如图所示，有八个全等的三角形纸片拼成一个中间有—个小四边形MNPQ的大四边形AB'CD，连接EF .FG.GH.HE得到四边形EFGH,设，若S1+S2+S3= 10，则S2=________.
8．如图所示，在四边形ABCD中，AC=4,BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1．各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBAnCAnDAn则四边形A3B3C3D3的面积为_________，四边形A2020B2020C2020D2020的面积为___________．
三、解答题
1．已知：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，CE//BD交AD的延长线于点E、CE =AC.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长，
2．如图所示，在DABCD中，O为AC的中点，EF过点D，分别交AD、CB的延长线于点E、F．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AC平分∠BAE，AB=6，AE=8，求BF的长．
3．如图①所示，四边形ABCD是矩形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
(1)证明：AM =AD+MC；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，如图②所示，(1)中的结论是否成立？
4．如图所示，在平行四边形ABCD中．DB= DA，∠ADB的平分线DE交AB于点F，交CB的延长线于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AEBD是菱形；
(2)若DC= ，EF:BF=3，求菱形AEBD的面积．
5．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC= 16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为￡秒，
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t=6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；
(3)直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时，t的值；
(4)求整个运动过程中，线段PQ扫过的面积是多少？
专项训练卷（三）平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定
一、
1．B ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD，AB∥CD，AD= BC，AD∥BC，∠B=∠D．
A．AE =CF时．由AE∥CF．AE= CF．可以得出四边形AECF是平行四边形；
B．AF=EC时，不能得出四边形AFCF一定为平行四边形；
C．∠DAF=∠BCE时，可以得出△ADF≌△CBE，得出AF=CE，DF= BE，因此AE=CF．可以证出四边形AECF是平行四边形；
D．∠AFD=∠CEB时，可以得出△ADF≌△CBE，得出AF= CE，DF =BE，因此AE=CF．可以证出四边形AECF是平行四边形，故选B．
2．C这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形．故选C．
3．C．∵四边形ABCD是菱形．∴AC∠BD．AD=DC．
①EF⊥OC于点F．EG⊥OD于点G，∴四边形OCEF是矩形，
连接OE，则OE =CF，
当OE⊥DC时．GF的值最小，
∵，．∴，
∵,∴ OD·OC=DC·OE,
∴，∴．故选C．
4．D
甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，正确；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，正确；
丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分，正确；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，正确，故选D．
5．B作AR⊥BC于点R，AS⊥CD于点S．连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD// BC．AB//CD,∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两个矩形等宽．∴AR=AS．
∵AR·BC=AS·CD．∴BC =CD.
∴平行四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA=AC=6 cm,OB=BD=8 cm,
∴cm．
6．B ①∵E、F、C、H分别是BD、BC、AC、AD的中点．∴EF=CD,FC=AB，
GH=CD，HE= AB．∴EF=GH，FC=HE，∴四边形EFCH为平行四边形，故①正确；③∵AB=CD,∴EF= FC= CH= HE,∴四边形EFCH为菱形，故③正确；②当AC⊥BD时，∠BOC=90°，易知∠BOC>∠EHG,∴四边形EHCF不可能是矩形，故②错误．故选B．
7．B ∵四边形CDMN与四边形CDMN关于直线MN对称．∴∠DMN=∠D'MN，又∵∠AMD'= 90° - ∠AD'M=40°．∴∠DMN=∠D'MN=(180°-40°)÷2= 70°．
由于∠MD'C'=∠NC'D'=90°-∠MNC'=360°-90°-90°-70°= 110°．
8．B延长AF交BC于点G，∵BF平分∠ABC，BF⊥AF，∴∠ABF= ∠FBG，∠AFB= ∠CFB=90°．
在△BFA和△BFC中，
∴△BFA≌△BFG( ASA ) ,∴ BC=AB= 8,AF= FG,∴ GC = BC-BG = 6,
∵D为 AB的中点，AF= FG,∴DF //BC,∴ AE = EC,∴ EF =GC = 3.
9．A∵矩形ABCD中．AB=8．AD=6，
∴矩形ABCD的面积=AB×AD=8×6=48．
∵EF∥AC且EF=AC,∴四边形ACFE是平行四边形，
∴四边形ACFE的面积=2△ACD的面积=矩形ABCD的面积=48．
10．B∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO=BD,AD=BC,AB=CD,AB//CD,
又∵BD=2AD,∴ OB=BC=OD=DA，∵点E是OC的中点，
∴BE⊥AC．故①正确，
∵E,F分别是OC,OD的中点，∴EF//CD,EF= CD,
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点．∴CE=AB=AC=BC,
∴EC=EF=AC=BG，无法证明CE =CF，故③错误．
∵BC=EF,BG//EF//CD,∴四边形BEFC是平行四边形．故②正确．
∵EF//CD//AB,∴ ∠ BAC= ∠ACD= ∠AEF,∵AC=GE，∴∠GAE= ∠AEC，∴∠AEG= ∠AEF，∴EA平分￡GEF．故⑧正确．故选B．
二、
1．答案：
解析：如图①②，连接BD．
在图②中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠A=90°，
∵BD= 40 cm．∴AB=AD=cm,
在图①中，∵∠A= 60°，BA =AD,∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD= cm．
2．答案：5
解析：∵四边ABCD是矩形，∴∠A= ∠B=90°，AD=BC=20 cm．设最快x s后四边形ABPQ成为矩形，
∵四边形ABPQ是矩形．∴AQ=BP，∴3x= 20-x,∴x=5．
3．答案：4
解析：连接AC，过点C作CE⊥l1，于点E，作CF⊥l2于点F ，
∵村庄C到公路l1．的距离为4千米，即CE =4千米，
∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形．∴AC平分∠BAD，
∴CE=CF=4千米，即C到公路l2的距离是4千米．
4．答案：5
解析：∵四边形ABCD为菱形．∴AC⊥BD，OA=AC=3,OD=BD=4，
∴∠ADD=90°，∴.
∵DE//AC，CE//BD,∴四边形OCED为平行四边形，又∵AC⊥BD,∴四边形OCED为矩形．∴CD=OE=5．
5．答案：①②④
解析：∵四边形ABCD和四边形DCFE是平行四边形．
∴AB= CD,CD= EF .AB／／CD,CD／／EF,
∴AB=EF，AB∥EF.∴四边形ABFE为平行四边形，故①正确：
∵平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等．
∴AD=BC=（-AB-CD）,CF= DE=（-CD—EF），
∴AD=BC=CF =DE，∴△ADE是等腰三角形，故②正确；
∵∠BAD= 60°，∴∠ABC= 120°.
∵∠CFE= 110°，∴平行四边形ABCD与平行四边形DCFE不全等，故③错误：
∵∠BAD= 60°,∠CFE= 110°,∴∠ ADC= 120°,∠CDE= 110°.
∴∠ADE=360°-120°-110°= 130°.
∵AD=DE，∴∠DAE=∠AED=25°，故④正确．故答案为①②④．
6．答案：81
解析：∵CM//AB,FM//EN，∴四边形OEFM是平行四边形．∴OM=EF．
∵CM//AB,EN//AC,∴四边形CAEO是平行四边形．∴GO=AE．
∵DF//BC,DN//AB,
∴四边形DFBN是平行四边形．
∴DN=FB．
∴GO+DN+OM=AE+EF+BF=AB=30,
同理，CE+OD+OF =CN+NM+BM=BC=24．ON+OE+MF=CD+DG+GA =AC=27,
∴△ODN．△OCE，△OFM的周长之和为AC+BC+AB= 81.
7．答案：
解析：将四边形MNPQ的面积设为x，将其余八个全等的三角形中，一个的面积设为y，
∵
∴S1= 8y+x,S2= 4y+x,S3=x,∴S1+S2 +S3= 3x+ 12y= 10,∴x+4y=，∴S2=x+4y=.
8．答案：
解析：点A1，D1分别是AB ，AD的中点，∴A1D1是△ABD的中位线，
∴A1D1∥BD，A1D1=BD，
同理：B1C1∥BD，B1C1=BD，
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1．∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC⊥BD,AC//A,B,,BD//A1D1，∴A1B1 ⊥A1D1，即∠B1A1D1=90°，
∴四边形A1B1C1D1是矩形．
由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=3，B1A1=AC=2，
∴四边形A1 B1C1D1的面积为6，
易得四边形.A2B2C2D2的面积为3，四边形A3B3 C3 D3的面积为，
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
∴
三、
1．解析：
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//BC，
∵CE∥BD,∴四边形BCED是平行四边形．∴CE =BD．
': CE=AC,∴ AC=BD.∴ ABCD是矩形．
( 2)∵AB = 4,AD= 3, ∠ DAB= 90° ,∴ .
∵四边形BCED是平行四边形，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)= 16．
2．解析：
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD //BC，且AD=BC(平行四边形的对边平行且相等)．
又∵点E、F分别在线段AD、线段CB的延长线上，
∴AE∥CF，∴∠AEO=∠CFO(两直线平行，内错角相等)．
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF( AAS)．∴AE= CF（全等三角形的对应边相等），
∴四边形AFCE为平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．
(2)∵AC平分∠BAE,∴∠BAC= ∠EAC，
∵AD//BC,∴∠EAC= ∠ACB，∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC,
∵四边形AFCE为平行四边形．∴AE=CF=8,∴BF= CF-BC= 8-6=2．
3．解析：
(1)证明：如图①，延长AE交BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD//CF．∴∠DAE=∠CFE，
又∵AE平分∠DAM，∴∠MAE= ∠DAE= ∠F，∴AM =MF，
∵E为DC的中点，∴DE =CE．
在△ADE和△FCE中．
∴△ADE≌△FCE(AAS),∴AD=CF,∴AM=FM=CF+CM=AD+MC.
(2)结论仍成立，
理由：如图②，延长AE交BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD//CF．∴∠DAE=∠CFE，
又∵AE平分∠DAM，∴∠MAE=∠DAE=∠F,∴AM=MF．
∵E为DC的中点．∴DE =CE，
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(AAS),∴AD=CF,
∴AM=FM=CF+CM=AD+MC.
4．解析：
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,∴ ∠ADE=∠DEB,
∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠BDE，∴∠BED= ∠BDE,∴ BE=BD,
∵BD=DA．∴AD=BE．∴四边形ADBE是平行四边形，
∵AD=BD,∴四边形AEBD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形．∴CD=AB=，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE,AF=FB=AB=,EF=DF,
∵EF：BF=3,∴ ，∴DE=2EF=，
∴.
5．解析：
(1)∵在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,
∴BC=AD=16,AB=CD=8,
由已知可得BQ=DP=t，AP=CQ= 16-t，
在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，
当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形．∴t= 16-t，解得t=8，
∴当t=8时，四边形ABQP为矩形．
(2)四边形AQCP为菱形，理由如下：
∵ t=6,∴BQ= 6,DP= 6,∴CQ= 16-6= 10 ,.4P= 16-6= 10,
∴AP=CQ，∵四边形ABCD为矩形．∴AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
在Rt△ABQ中，，∴AQ=AP，
∴平行四边形AQCP为菱形．∴当t=6时，四边形AQCP为菱形．
(3)∵以PQ为对角线的正方形的面积为96，
∴该正方形的边长为．∴，
分两种情况：
(i)如图①所示，作PM⊥BC于点M．
则PM=AB=8,DP=BQ=t,AP= BM= 16-t,
由勾股定理得，
∵BM=BQ+QM，∴，解得；
(ii)如图②所示，DP=BQ=t，AP=BM=16-t，
∵BQ=BM+QM，∴16-t+=t，解得t=8+.
综上所述，以PQ为对角线的正方形的面积为96时，￡的值为8- 或8+．
(4)如图③所示，连接AC、BD，AC、BD相交于点E，
则整个运动过程中，线段PQ扫过的面积是：△AED的面积+△BEC的面积．
∵△AED的面积+△BEC的面积=矩形ABCD的面积，
∴整个运动当中，线段PQ扫过的面积.
平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定
一、选择题
1． ABCD中，E、F分别在边AB和CD上，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是( )
A．AE=CF B．AF=EC C．∠DAF=∠BCE D．∠AFD=∠CEB
2．如图所示，小明从网上购置板材并组装成矩形书架，他想检验一下书架的侧边是否和上、下底都垂直，他拿来绳子分别测量了书架的两条对角线AC，BD就做出了判断，他运用的数学依据是( )
A．三个角都是直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3．如图所示，四边形ABCD是菱形，BD=4，AD=2，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FC的最小值为（ ）
B. C. D.
4．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，上述四名同学的说法中，正确的是( )
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丙、丁
5．如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12 cm，点B，D之间的距离为16 cm，则线段AB的长为( )
A．9.6 cm B．10 cm C．20 cm D．12 cm
6．如图所示，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中正确的是( )
①当E、F、G、H是各条线段的中点时，四边形EFCH为平行四边形；
②当E、F、G、H是各条线段的中点，且ACI BD时，四边形EFGH为矩形；
③当E、F、G、H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．如图所示，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M= 50°，则∠MNC'的度数为( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．如图所示，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF上BF于点F，D为AB的中点，连接DF并延长交AC于点E．若AB=8，BC=14，则线段EF的长为( )
A．2 B．3 C．5 D．6
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，过点D作直线m//AC，点E、F是直线m上两个动点，在运动过程中EF//AC且EF=AC，四边形ACFE的面积是( )
A. 48 B. 40 C. 24 D. 30
10．如图所示， ABCD中，对角线AC、BD相交于D，BD= 2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC;②四边形BEFC是平行四边形；③EC=CF;④EA平分∠GEF，其中正确的是( )
①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题
1．凯旋同学结合四边形的不稳定性，把四根长度相同的硬纸条固定好四个顶点，制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图①所示菱形，并且测得此时∠A是60°，接着活动学具成为图②所示正方形，并测得正方形的对角线AC的长度是40 cm，则图①中菱形的对角线BD的长为_____________cm.
2．如图所示，在矩形ABCD中，BC= 20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s，则最快_________s后，四边ABPQ成为矩形．
3．如图所示，电商大村（C村）在两条笔直的公路l1、l2之间，为发货需求，村民在公路的旁边建三个快递收集站A、B、D，已知AB=BC=CD=DA =5千米，且村庄C到公路l1的距离为4千米，则村庄C到公路l2的距离是________千米．
4．如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC=6，BD=8，若DE//AC，CE//BD，则OE的长为__________.
5．如图所示，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD= 60°，∠CFE= 110°，则下列结论：
①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；④∠DAE= 25°．其中正确的结论是___________．（填正确结论的序号）
6．张扬同学放学回家后，温习课上学习的平行线的画法，随后在三角形的纸板上取一点O，过点D作CM //AB，交AC于点G，交BC于点M，接着过点O作EN//AC，交AB于点E，交BC于点N，过点O作DF//BC，交AC于点D，交AB于点F，并连接GE，FM，DN，如图①，他看到图形比较杂乱，思考一会儿，画出了图②，此时恰巧满足GE//DF，FM//EN，DN//GM.这时哥哥走来对他进行点拨，如果已知△ABC中，AB= 30，BC= 24，AC= 27，那么你作的图②中△ODN、△OGE、△OFM的周长之和就可求了，聪明的你求得的结果为_________．
7．如图所示，有八个全等的三角形纸片拼成一个中间有—个小四边形MNPQ的大四边形AB'CD，连接EF .FG.GH.HE得到四边形EFGH,设，若S1+S2+S3= 10，则S2=________.
8．如图所示，在四边形ABCD中，AC=4,BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1．各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBAnCAnDAn则四边形A3B3C3D3的面积为_________，四边形A2020B2020C2020D2020的面积为___________．
三、解答题
1．已知：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，CE//BD交AD的延长线于点E、CE =AC.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长，
2．如图所示，在DABCD中，O为AC的中点，EF过点D，分别交AD、CB的延长线于点E、F．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AC平分∠BAE，AB=6，AE=8，求BF的长．
3．如图①所示，四边形ABCD是矩形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
(1)证明：AM =AD+MC；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，如图②所示，(1)中的结论是否成立？
4．如图所示，在平行四边形ABCD中．DB= DA，∠ADB的平分线DE交AB于点F，交CB的延长线于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AEBD是菱形；
(2)若DC= ，EF:BF=3，求菱形AEBD的面积．
5．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC= 16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为￡秒，
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t=6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；
(3)直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时，t的值；
(4)求整个运动过程中，线段PQ扫过的面积是多少？
专项训练卷（三）平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定
一、
1．B ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD，AB∥CD，AD= BC，AD∥BC，∠B=∠D．
A．AE =CF时．由AE∥CF．AE= CF．可以得出四边形AECF是平行四边形；
B．AF=EC时，不能得出四边形AFCF一定为平行四边形；
C．∠DAF=∠BCE时，可以得出△ADF≌△CBE，得出AF=CE，DF= BE，因此AE=CF．可以证出四边形AECF是平行四边形；
D．∠AFD=∠CEB时，可以得出△ADF≌△CBE，得出AF= CE，DF =BE，因此AE=CF．可以证出四边形AECF是平行四边形，故选B．
2．C这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形．故选C．
3．C．∵四边形ABCD是菱形．∴AC∠BD．AD=DC．
①EF⊥OC于点F．EG⊥OD于点G，∴四边形OCEF是矩形，
连接OE，则OE =CF，
当OE⊥DC时．GF的值最小，
∵，．∴，
∵,∴ OD·OC=DC·OE,
∴，∴．故选C．
4．D
甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，正确；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，正确；
丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分，正确；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，正确，故选D．
5．B作AR⊥BC于点R，AS⊥CD于点S．连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD// BC．AB//CD,∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两个矩形等宽．∴AR=AS．
∵AR·BC=AS·CD．∴BC =CD.
∴平行四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA=AC=6 cm,OB=BD=8 cm,
∴cm．
6．B ①∵E、F、C、H分别是BD、BC、AC、AD的中点．∴EF=CD,FC=AB，
GH=CD，HE= AB．∴EF=GH，FC=HE，∴四边形EFCH为平行四边形，故①正确；③∵AB=CD,∴EF= FC= CH= HE,∴四边形EFCH为菱形，故③正确；②当AC⊥BD时，∠BOC=90°，易知∠BOC>∠EHG,∴四边形EHCF不可能是矩形，故②错误．故选B．
7．B ∵四边形CDMN与四边形CDMN关于直线MN对称．∴∠DMN=∠D'MN，又∵∠AMD'= 90° - ∠AD'M=40°．∴∠DMN=∠D'MN=(180°-40°)÷2= 70°．
由于∠MD'C'=∠NC'D'=90°-∠MNC'=360°-90°-90°-70°= 110°．
8．B延长AF交BC于点G，∵BF平分∠ABC，BF⊥AF，∴∠ABF= ∠FBG，∠AFB= ∠CFB=90°．
在△BFA和△BFC中，
∴△BFA≌△BFG( ASA ) ,∴ BC=AB= 8,AF= FG,∴ GC = BC-BG = 6,
∵D为 AB的中点，AF= FG,∴DF //BC,∴ AE = EC,∴ EF =GC = 3.
9．A∵矩形ABCD中．AB=8．AD=6，
∴矩形ABCD的面积=AB×AD=8×6=48．
∵EF∥AC且EF=AC,∴四边形ACFE是平行四边形，
∴四边形ACFE的面积=2△ACD的面积=矩形ABCD的面积=48．
10．B∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO=BD,AD=BC,AB=CD,AB//CD,
又∵BD=2AD,∴ OB=BC=OD=DA，∵点E是OC的中点，
∴BE⊥AC．故①正确，
∵E,F分别是OC,OD的中点，∴EF//CD,EF= CD,
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点．∴CE=AB=AC=BC,
∴EC=EF=AC=BG，无法证明CE =CF，故③错误．
∵BC=EF,BG//EF//CD,∴四边形BEFC是平行四边形．故②正确．
∵EF//CD//AB,∴ ∠ BAC= ∠ACD= ∠AEF,∵AC=GE，∴∠GAE= ∠AEC，∴∠AEG= ∠AEF，∴EA平分￡GEF．故⑧正确．故选B．
二、
1．答案：
解析：如图①②，连接BD．
在图②中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠A=90°，
∵BD= 40 cm．∴AB=AD=cm,
在图①中，∵∠A= 60°，BA =AD,∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD= cm．
2．答案：5
解析：∵四边ABCD是矩形，∴∠A= ∠B=90°，AD=BC=20 cm．设最快x s后四边形ABPQ成为矩形，
∵四边形ABPQ是矩形．∴AQ=BP，∴3x= 20-x,∴x=5．
3．答案：4
解析：连接AC，过点C作CE⊥l1，于点E，作CF⊥l2于点F ，
∵村庄C到公路l1．的距离为4千米，即CE =4千米，
∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形．∴AC平分∠BAD，
∴CE=CF=4千米，即C到公路l2的距离是4千米．
4．答案：5
解析：∵四边形ABCD为菱形．∴AC⊥BD，OA=AC=3,OD=BD=4，
∴∠ADD=90°，∴.
∵DE//AC，CE//BD,∴四边形OCED为平行四边形，又∵AC⊥BD,∴四边形OCED为矩形．∴CD=OE=5．
5．答案：①②④
解析：∵四边形ABCD和四边形DCFE是平行四边形．
∴AB= CD,CD= EF .AB／／CD,CD／／EF,
∴AB=EF，AB∥EF.∴四边形ABFE为平行四边形，故①正确：
∵平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等．
∴AD=BC=（-AB-CD）,CF= DE=（-CD—EF），
∴AD=BC=CF =DE，∴△ADE是等腰三角形，故②正确；
∵∠BAD= 60°，∴∠ABC= 120°.
∵∠CFE= 110°，∴平行四边形ABCD与平行四边形DCFE不全等，故③错误：
∵∠BAD= 60°,∠CFE= 110°,∴∠ ADC= 120°,∠CDE= 110°.
∴∠ADE=360°-120°-110°= 130°.
∵AD=DE，∴∠DAE=∠AED=25°，故④正确．故答案为①②④．
6．答案：81
解析：∵CM//AB,FM//EN，∴四边形OEFM是平行四边形．∴OM=EF．
∵CM//AB,EN//AC,∴四边形CAEO是平行四边形．∴GO=AE．
∵DF//BC,DN//AB,
∴四边形DFBN是平行四边形．
∴DN=FB．
∴GO+DN+OM=AE+EF+BF=AB=30,
同理，CE+OD+OF =CN+NM+BM=BC=24．ON+OE+MF=CD+DG+GA =AC=27,
∴△ODN．△OCE，△OFM的周长之和为AC+BC+AB= 81.
7．答案：
解析：将四边形MNPQ的面积设为x，将其余八个全等的三角形中，一个的面积设为y，
∵
∴S1= 8y+x,S2= 4y+x,S3=x,∴S1+S2 +S3= 3x+ 12y= 10,∴x+4y=，∴S2=x+4y=.
8．答案：
解析：点A1，D1分别是AB ，AD的中点，∴A1D1是△ABD的中位线，
∴A1D1∥BD，A1D1=BD，
同理：B1C1∥BD，B1C1=BD，
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1．∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC⊥BD,AC//A,B,,BD//A1D1，∴A1B1 ⊥A1D1，即∠B1A1D1=90°，
∴四边形A1B1C1D1是矩形．
由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=3，B1A1=AC=2，
∴四边形A1 B1C1D1的面积为6，
易得四边形.A2B2C2D2的面积为3，四边形A3B3 C3 D3的面积为，
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
∴
三、
1．解析：
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//BC，
∵CE∥BD,∴四边形BCED是平行四边形．∴CE =BD．
': CE=AC,∴ AC=BD.∴ ABCD是矩形．
( 2)∵AB = 4,AD= 3, ∠ DAB= 90° ,∴ .
∵四边形BCED是平行四边形，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)= 16．
2．解析：
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD //BC，且AD=BC(平行四边形的对边平行且相等)．
又∵点E、F分别在线段AD、线段CB的延长线上，
∴AE∥CF，∴∠AEO=∠CFO(两直线平行，内错角相等)．
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF( AAS)．∴AE= CF（全等三角形的对应边相等），
∴四边形AFCE为平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．
(2)∵AC平分∠BAE,∴∠BAC= ∠EAC，
∵AD//BC,∴∠EAC= ∠ACB，∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC,
∵四边形AFCE为平行四边形．∴AE=CF=8,∴BF= CF-BC= 8-6=2．
3．解析：
(1)证明：如图①，延长AE交BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD//CF．∴∠DAE=∠CFE，
又∵AE平分∠DAM，∴∠MAE= ∠DAE= ∠F，∴AM =MF，
∵E为DC的中点，∴DE =CE．
在△ADE和△FCE中．
∴△ADE≌△FCE(AAS),∴AD=CF,∴AM=FM=CF+CM=AD+MC.
(2)结论仍成立，
理由：如图②，延长AE交BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD//CF．∴∠DAE=∠CFE，
又∵AE平分∠DAM，∴∠MAE=∠DAE=∠F,∴AM=MF．
∵E为DC的中点．∴DE =CE，
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(AAS),∴AD=CF,
∴AM=FM=CF+CM=AD+MC.
4．解析：
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,∴ ∠ADE=∠DEB,
∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠BDE，∴∠BED= ∠BDE,∴ BE=BD,
∵BD=DA．∴AD=BE．∴四边形ADBE是平行四边形，
∵AD=BD,∴四边形AEBD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形．∴CD=AB=，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE,AF=FB=AB=,EF=DF,
∵EF：BF=3,∴ ，∴DE=2EF=，
∴.
5．解析：
(1)∵在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,
∴BC=AD=16,AB=CD=8,
由已知可得BQ=DP=t，AP=CQ= 16-t，
在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，
当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形．∴t= 16-t，解得t=8，
∴当t=8时，四边形ABQP为矩形．
(2)四边形AQCP为菱形，理由如下：
∵ t=6,∴BQ= 6,DP= 6,∴CQ= 16-6= 10 ,.4P= 16-6= 10,
∴AP=CQ，∵四边形ABCD为矩形．∴AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
在Rt△ABQ中，，∴AQ=AP，
∴平行四边形AQCP为菱形．∴当t=6时，四边形AQCP为菱形．
(3)∵以PQ为对角线的正方形的面积为96，
∴该正方形的边长为．∴，
分两种情况：
(i)如图①所示，作PM⊥BC于点M．
则PM=AB=8,DP=BQ=t,AP= BM= 16-t,
由勾股定理得，
∵BM=BQ+QM，∴，解得；
(ii)如图②所示，DP=BQ=t，AP=BM=16-t，
∵BQ=BM+QM，∴16-t+=t，解得t=8+.
综上所述，以PQ为对角线的正方形的面积为96时，￡的值为8- 或8+．
(4)如图③所示，连接AC、BD，AC、BD相交于点E，
则整个运动过程中，线段PQ扫过的面积是：△AED的面积+△BEC的面积．
∵△AED的面积+△BEC的面积=矩形ABCD的面积，
∴整个运动当中，线段PQ扫过的面积.