人教A版高中数学选修1-1 第三章3.1.1 变化率问题教学课件 (共21张PPT)

(共21张PPT)
§3.1 变化率与导数
牛顿
微积分的主要创始人
牛顿：英国著名的物理学家、数学家、天文学家、哲学家。牛顿创立了经典力学体系，发现了运动三定律和万有引力定律。在数学领域中，他建立了二项式定理，并创立了微积分理论。
莱布尼兹（茨）：德意志哲学家、数学家。莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在数学上，他和牛顿先后独立发明了微积分。有人认为，莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分，而是发明了微积分中使用的数学符号，因为牛顿使用的符号被普遍认为比莱布尼茨的差。
微积分的主要创始人
莱布尼兹(茨）
我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.
从数学角度，如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位：L)与半径r(单
位：dm)之间的函数关系是：
用V 表示r得：
问题一:气球膨胀率
第一次
第二次
0.62dm
0.16dm
问题一:气球膨胀率
★当V从0增加到1L时，气球的半径增加了
r(1)-r(0)≈0.62(dm)
气球的平均膨胀率为
★当V从1增加到2L时，气球的半径增加了
r(2)-r(1)≈0.16(dm)
气球的平均膨胀率为
当气球的空气容量从V1增加到V2时，
气球的平均膨胀率是多少？
思考
问题一:气球膨胀率
问题二 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对
于水面的高度 (单位：米)与起
跳后的时间（单位：秒）存在
函数关系：



如何用运动员在某段时间内的平均速度粗略地描述其运动状态?
问题二:高台跳水
思考
问题二:高台跳水
气球的平均膨胀率和运动员在某段时间的平均速度是特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，如果上述问题的函数关系用 表示，那么问题中变化率可用式子表示，
探究活动
观察函数 的图象

平均变化率

表示什么?
O
A
B
直线AB的斜率
思考
平均变化率的几何意义？P74
平均变化率表示函数图像上两点连线的斜率，即割线的斜率。
2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]内的平均变化率。
解：
随堂练习
1.函数 在区间 上的平均变化率（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
平均速度只是粗略地描述这段时间内运动员运动的快慢，不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。
（1）运动员在这段
时间里是静止的吗？
考察t=2附近的平均速度
通过列表看出平均速度的变化趋势?：


瞬时速度
我们用
因此,运动员在某一时刻t0的瞬时速度为：
思考
导数的定义:
它说明在第2(h)附近，原油温度大约以3 0C/H的速度下降；在第6(h)附近，原油温度大约以5 0C/H的速度上升。
关键是求出：
例1将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 (h)时，原油的温度（单位：0C）为 .计算第2(h)和第6(h)时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
1.通过本节课的学习你有哪些收获？

课堂小结
平均变化率、瞬时变化率（即导数）
体会了函数思想、逼近思想方法、概念形成
过程中的抽象概括
课后作业
1.必做题1~3，选做题4~5

2.上网查阅微积分创始人的有关资料