华东师大版七年级下册讲义专题一：含参一次方程(无答案)

专题一：含参一次方程
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．含参一次方程是一次方程中的绝对难点内容，考试中常涉及到的含参一次方程的题型主要有两大类：解含参一次方程和确定含参一次方程参数的值．
其中直接考核解含参一次方程的题会比较少些，但是它是第二类常考题型的基础所在， 所以同学们都要掌握熟练．
1. 含字母系数的一次方程的解法
含字母系数一元一次方程总可以化为ax b 的形式，方程的解由a 、b 的取值范围确定．
(1) 当 a 0 时， x b ，原方程有唯一解；
a
(2) 当 a 0 且b 0 时，解是任意数，原方程有无数解；
(3) 当 a 0 且b 0 时，原方程无解．

【例1】 解关于 x 的方程： 3xb 2x8 ．









【例2】 解关于 x 的方程： ax4 2x8 ．









【例3】 解关于 x 的方程： a2 xb 8 x ．




【总结】对于一元一次方程的最简形式ax b 来说，若a 、b 均含字母，则需分三种情况分类讨论：
⑴当a 0 时，把a 直接除过去解出 x ；
⑵当a b 0 时，无论未知数 x 取何值，方程永远都是0 0 恒成立，故原方程有无数解；
⑶当a 0 ， b 0 时，无论未知数 x 取何值，方程永远都是0 b 恒不成立，故原方程无解．







2. 一次方程中字母系数的确定

⑴ 根据方程解的具体数值来确定

【例4】 已知方程 2x a 4(x 1) 的解为 x 3 ，则a ．

2

⑵ 根据方程解的个数情况来确定
【例5】 关于 x 的方程mx 4 3x n ，分别求m ， n 为何值时，原方程：⑴有唯一解；⑵ 有无数多解；⑶无解．









【总结】关于含参方程解得个数问题：
⑴ 将方程化为一元一次方程的最简形式ax b ；
⑵当a 0 ，唯一解；当a b 0 时，无数解；当a 0 ， b 0 时，无解．

⑶ 根据方程定解的情况来确定

【例6】 若 a ， b 为定值，关于 x 的一元一次2ka x bx 2 ，无论k 为何值时，它的
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解总是 x 1，求a 和b 的值．







【总结】含参方程的定解问题：
⑴ 更换主元，将关于 x 的一元一次方程的定解问题转化为关于k 的一元一次方程的无数解问题；
⑵ 利用ak b 有无数解 a b 0 来求解．








⑷ 根据方程整数解的情况来确定

【例7】 m 为整数，关于 x 的方程 x 6 mx 的解为正整数，求m 的值．











【总结】对于含参一次方程的整数解问题：
⑴ 解出方程；
⑵ 观察分子何时被分母整除．







⑸ 根据方程公共解的情况来确定
【例8】 若(k m)x 4 0 和(2k m)x 1 0 是关于 x 的同解方程， k 2 的值．
m






















【总结】对于两个含参一次方程的公共解问题的常见处理方法有三种：
⑴ 解出两个方程，利用解相等列出关于参数的方程，求解参数（对于上述方法一）；
⑵ 解出其中一个方程的解，代入到第二个方程中得到关于参数的方程，求解参数
（对于上述方法二）；
⑶ 对于一次方程而言，解相同等价于方程相同，故此可以将两个方程的常数项(或者未知数项)化为相同，然后比较未知数项(或者常数项)，可得关于参数的方程， 求解参数（对于上述方法三）