专题三：不等式与线性规划
考点要求：
掌握不等式的性质，会用不等式的性质求不等式的解集及实际应用.
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，并会解一元二次不等式.
3.探索并了解基本不等式的证明过程．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
4.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
二、考题预测：
1.不等式的性质及应用，在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合，不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合，解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考的热点.
2．掌握一元二次不等式的解法，会解含参数一元二次不等式，会解可以转化为一元二次不等式的分式不等式以及与指对数复合而成的一元二次不等式.一元二次不等式的恒成立问题的处理中，能准确讨论与主元的转换，以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高
3.利用基本不等式求最值时要关注与把握基本条件，利用基本不等式解决实际问题时，先要转换数学模型，再会用拚凑法构造成基本不等式的形式，再求解.利用基本不等式求函数的最值.备考重点：含参数的不等式恒成立问题.基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．
4.从考纲和考题中线性规划的内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题——线性规划问题，命题形式以选择、填空为主，但也有解答题以应用题的形式出现． 高考单独考查二元一次不等式（组）表示的平面区域的较少，常与面积、周长等结合考查。另外求线性规划问题的最值，以及与基本不等式、向量等知识结合考查，考查频率非常大。还有就是考查线性规划在生活中的应用，求解最优化问题等。
三、注意事项：
1.不等式的基本性质中要注意可除的条件以及不等式的不可减的性质：
例如：（1） 若a>b>0，c
A.－>0 B.－<0 C.> D.<[来源:Z*xx*k.Com]
【解析】本题切记做除法时不等号的方向要相同， ∵c∴－bd<－ac，即bd>ac，又∵cd>0，∴>，即>.
【答案】 D
（2）若－<α<β<，则α－β的取值范围是__________．
【解析】本题要切记不等式不具备可减性，但可转化为做加法来处理.
由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0.[来源:Z§xx§k.Com]
【答案】 (－π，0)
（3）－1【解析】 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则∴
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，又∵－1∴－<(x＋y)＋(x－y)<，即－<3x＋2y<，
∴3x＋2y的取值范围为(－，)．
（4）已知－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，则8x·y的取值范围是( )
A．[2,28] B. C．[2,27] D.
【解析】 8x·y＝23x·y＝23x－y，令3x－y＝s(x＋y)＋t(x－y)＝(s＋t)x＋(s－t)y，
则∴即3x－y＝(x＋y)＋2(x－y)，又－1≤x＋y≤1，①
1≤x－y≤3，∴2≤2(x－y)≤6.②
∴①＋②得1≤3x－y≤7.则8x·y＝23x－y∈[2,27]．故选C.
【答案】 C
2.在求解一元二次不等式的解集时，先要将二次项的系数转为正数，同时要用集合或区间的形式表示等式的解集，避免出现错误或失分：
例如：不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
【解析】 由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，得－4【答案】 (－4,1)
3.解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．
例如：（1）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【解析】 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以(x－1)<0.所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为?；当0综上，当0当a>1时，不等式的解集为.
（1）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【易错分析】由于对一元二次不等式解集的意义理解不够，故忽视了对、、符号的判断．
根据给出的解集，除知道和2是方程的两根外，还应知道，然后通过根与系数的关系进一步求解．
【答案】C
4.一元二次不等式恒成立的条件：
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
例如：（1）不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a－2≠0时，可知二次函数f(x)=(a－2)x2＋2(a－2)x－4的开口向下，函数与x轴无交点，所以可得得－2当a＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立，∴－2【答案】 (－2,2]
（2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法：
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.
例如：已知函数f?(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f?(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】 要使f (x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，所以0当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.综上所述，m的取值范围是.
方法二 因为x2－x＋1＝2＋>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是.
（3）给定参数范围的恒成立问题
例如：①若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】 设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，
则即解得【温馨提示】解决恒成立问题一定要搞清主元与参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
②对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
【解析】 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴解得x<1或x>3.
故当x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
③已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】 不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x<0，则x>，不满足题意；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即不等式组的解集为空集，即m无解．综上可知，不存在这样的m.
④函数f (x)＝x2＋ax＋3.
（Ⅰ）若当x∈R时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若当x∈[－2,2]时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若当a∈[4,6]时，f (x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】（Ⅰ） ∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6,2]．
（Ⅱ）由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2])．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，函数图象的对称轴方程为x＝－.
当－<－2，即a>4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，舍去；
当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，∴－4≤a≤2；
当－>2，即a<－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，∴－7≤a<－4.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．
（Ⅲ）令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
5.一元二次不等式根的分布：在处理与一元二次不等式与二次方程相结合的根的问题时，要根据根的情况讨论，并要求严谨，严密，表达到位.
例如：（1）已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围.
【解析】依题意有：，故或.
所以符合条件的范围为.
（2）已知二次函数f (x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
【解析】 由(m＋2)·f (1)<0 ，即(m＋2)·(2m＋1)<0?－2（3）已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．
【解析】 设f (x)＝x2－2(a－2)x＋a，当Δ＝4(a－2)2－4a<0，即10 对x∈R恒成立，符合题意；当a＝1时，f (－1)＝0，不符合题意；当a＝4时，f (2)＝0 符合题意；
当Δ>0 时，由得即4综上所述，实数a的取值范围是(1,5]．
【答案】 (1,5]
6.基本不等式部分常有考生忽略：
（1）忽视不等式成立的条件a>0且b>0致误；忽视定值存在致误；忽视等号成立的条件致误．
①下列四个函数中，最小值为2的是( )
A．y＝sin x＋ B．y＝ln x＋
C．y＝ D．y＝4x＋4－x
【解析】 对于A，因为0即sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，当0②(多选)下列选项错误的是( )
A．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的[来源:学§科§网]
B．函数y＝x＋的最小值是2
C．函数f(x)＝sin x＋的最小值为4
D．x>0且y>0是＋≥2的充要条件
【解析】 对于选项A，不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0；对于选项B，函数y＝x＋的值域是∪，没有最小值；对于选项C，函数f(x)＝sin x＋没有最小值；对于选项D，x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件．
【答案】ABCD
③已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )
A. B. C．1 D．2
【解析】 由题意可得a>0，当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；
当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号，所以
解得a＝1.
【答案】C
（2）两次利用基本不等式求最值的注意当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
例如：已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________．
【解析】 由a>b>0，得a－b>0，∴b(a－b)≤2＝.
∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号．∴a2＋的最小值为4.
【答案】 4
（3）求参数值或取值范围：
例如：①若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为________．
【解析】因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤＝＝1，所以≥1；
又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.
【答案】1
②已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且△ABC的面积为，则a的最小值为________．
【解析】 由题意得b2＋c2－a2＝bc，∴2bccos A＝bc，∴cos A＝，∴A＝.
∵△ABC的面积为，∴bcsin A＝，∴bc＝3.
∵a2＝b2＋c2－bc，∴a2≥2bc－bc＝bc＝3(当且仅当b＝c＝时，等号成立)，∴a≥.
【答案】
③若函数f?(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
【解析】 当x>2时，x－2>0，f?(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f?(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
【答案】 C
7.线性规划问题常有考生存在可行域部分的不过关，不能准确的画出图象，所以导致不能直观的理解最优解.还有的错误就是目标函数理解错误，导致最大最小值出现相反的结果，线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得，也可在可行域边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.[来源:学,科,网]
8.平面区域的形状问题主要有两种题型：
(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状．最后求目标函数的最值.
例如：已知、满足．
（1）若，求的最值；（2）若，求的最值；（3）若，求的最值．
【解析】（1）画出可行域如图：
画出直线，并平移得在点处最大，在点处最小．
由，求出为，由，求出为，
，．
（2）画出可行域如图：
表示可行域内的点到原点的距离的平方，
由图可在点处最大，在点处最小．
∴，．
（3）画出可行域如图：
，表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图可在点处最大，在点处最小．
由，可得为，，．
【答案】（1），；（2），；（3），．
(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．
例如：已知不等式组，所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知得，不等式组，所表示的平面区域如图：
三角形的一个顶点的坐标为．【答案】D
四、基础知识梳理：
1.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质①a>b，ab>0?<. ②a<0b>0,0 .④0(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则①<；>(b－m>0)． ②>；<(b－m>0)．
2.不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b?b传递性 a>b，b>c?a>c ?
可加性 a>b?a＋c>b＋c ?
可乘性 ?ac>bc 注意c的符号[来源:学。科。网]
?ac同向可加性 ?a＋c>b＋d ?
同向同正可乘性 ?ac>bd ?
可乘方性 a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数
可开方性 a>b>0?>(n∈N，n≥2)
3.一元二次不等式的解法
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数 （）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
4.与一元二次不等式有关的恒成立问题
由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论
(1)不等式对任意实数恒成立?或.
(2)不等式对任意实数恒成立?或.
当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值．
5.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的几何意义．常见的目标函数有：①截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；②距离型：形如；③斜率型：形如．本题属于截距型，同时应注意实际问题中的最优解一般是整数．
(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．
(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：
①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
6.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
7.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
8.（1）在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．
（2)多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．
9.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
10.利用均值不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
五、常考题型：
1.【2019·全国卷Ⅰ】已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
【解析】由x2－x－6＜0，得(x－3)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜3，即N＝{x|－2＜x＜3}，
所以M∩N＝{x|－2＜x＜2}．
【答案】C
2.已知关于的不等式对任意恒成立，则有( )
A. B. C. D.
【解析】本题考点是二次不等式与二次函数之间的关系，以及不等式恒成立求参数问题的具体运用.对任意恒成立，令， 的对称轴为， 在单调递减， 当时取到最小值为， 实数的取值范围是，故选A.
【答案】A
3.【2018年全国卷Ⅲ理】设，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】本题考点是对数的运算与不等式的性质的具体运用.
分别对两个对数式取倒数，可得，将两式相加可得，即为，因为，所以有，又因为，所以，即.
【答案】B
4.设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是( )
A．(0，) B．(－，) C．(0，π) D．(－，π)
【解析】本题考点是不等式的性质，由题设得0<2α<π，0≤≤.
∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.
【答案】D
5.已知奇函数在上是增函数．若，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意可得，且，，所以，结合函数的单调性，可得，即，即．故选C．
【答案】C
6.【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【解析】当时，.当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【答案】A
【温馨提示】本题考查的是基本不等式的应用，关键要求会用基本不等式来证明“”是 “”的充分性，但对必要性的证明只要给，赋值在假设情况下推出合理结果或矛盾结果即可.
7.已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【解析】当且仅当时等号成立.
故选C．
【答案】C
8.【2019年高考天津卷】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值.由，得，所以.
故选C.
【答案】C
9.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】本题是综合性问题，主要考点 不等式、恒成立问题，其间要求会解绝对值不等式，二次函数通过配方法求最值，以及基本不等式的具体运用..
不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），所以，综上．故选A．
【答案】A
10. 已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
A.3 B.2 C.-2 D.-3
【解析】简单的线性规划求参数问题.不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，
此时 ；不是最优解.故选B.
【答案】B【温馨提示】本题可通过封闭图形的顶点代值验证，然后确定符合条件的参数的值.
11.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是________．
【解析】本题的考点是不等式恒成立问题，要关注二次项系数的讨论问题.
原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，
①当m＝2时，对任意x不等式都成立；
②当m－2<0时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，∴－2综合①②，得m∈(－2,2]．
【答案】(－2,2]
12.已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为{x|x∈R，x≠}，求k的值；
(3)若不等式的解集为R，求k的取值范围；
(4)若不等式的解集为?，求k的取值范围．
【解析】(1)由不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}可知k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝，解得k＝－.
(2)由不等式的解集为，可知，解得k＝－.
(3)依题意知，解得k<－.
(4)依题意知，解得k≥.
六、配套练习：
1.已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( ) A．9 B．8 C．4 D．2
【解析】 圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.
因为b，c>0，所以＋≥2＝4.当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
【答案】 A
2.如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【解析】本题考点是二次函数与基本不等式的综合应用.时，抛物线的对称轴为.据题意，
当时，抛物线的开口向上，根据题意可得即.
..由且得.
当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..
【答案】B
3.若变量x，y满足，则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9
C．10 D．12
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.显然，当点P与点A重合时，|OP|2，即x2＋y2取得最大值．由，解得，故A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10，故选C.
【答案】C
【温馨提示】本题考查的线性规划中的距离问题，结合题型与图形，找到满足题意的点与原点的距离，注意的是题中的目标函数代表的是距离的平方，此题为易错题.
4.已知变量x，y满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】根据题意作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，即△ABC的边界及其内部，又因为＝1＋，而表示可行域内一点(x，y)和点P(－2，－1)连线的斜率，由图可知kPB≤≤kPC，由题意得B(2,0)，C(0,2)，所以≤≤，则≤≤，即≤≤，故选A.
【答案】A
【温馨提示】本题的目标函数代表的是可行域中任意一点与定点间连线的斜率的取值范围问题，因此要求画出正确的可行域的同时，会求定点坐标以及会表示出过两点的直线的斜率.
5.已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为（ ）
A.3 B. C.2 D.
【解析】考点是本题主要考查简单的线性规划、直线方程以及基本不等式求解最值的综合问题.如图，画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.
设，显然的几何意义为直线在轴上的截距.由图可知，当直线过点时，直线在轴上截距最大，即目标函数取得最大值.由，解得；
所以的最大值为，即.所以.
故.
当且仅当，即时等号成立.
【答案】B
6.不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )
A. B.
C. D.
【解析】 不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，所以(2x＋9)(x－1)≤0，解得－≤x≤1.所以不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是.故选D.
【答案】D
7.若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
【解析】 法一：令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得
解得a≤－3，故选A.
法二：当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，
得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，
所以a≤－3，故选A.
【答案】 A
8.关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【解析】 ∵关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－＝1，∴关于x的不等式
(ax＋b)(x－2)<0可化为(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式的解集为{x|1【答案】C
9.若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
【解析】当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则解得－3【答案】(－3,0]
10.y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．
【解析】 由题意，得3x2－2x－2>0，
令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，
∴3x2－2x－2>0的解集为∪.
【答案】 ∪
11．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
【解析】(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3>0，
即2x2＋5x－3<0，解得－3即不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集为.
12. 已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．[来源:Z+xx+k.Com]
【解析】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力.
（1）因为，又，
故有．[来源:学科网ZXXK]
所以．
（2）因为为正数且，故有
=24．所以．
专题三：不等式与线性规划
考点要求：
掌握不等式的性质，会用不等式的性质求不等式的解集及实际应用.
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，并会解一元二次不等式.
3.探索并了解基本不等式的证明过程．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
4.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
二、考题预测：
1.不等式的性质及应用，在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合，不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合，解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考的热点.
2．掌握一元二次不等式的解法，会解含参数一元二次不等式，会解可以转化为一元二次不等式的分式不等式以及与指对数复合而成的一元二次不等式.一元二次不等式的恒成立问题的处理中，能准确讨论与主元的转换，以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高
3.利用基本不等式求最值时要关注与把握基本条件，利用基本不等式解决实际问题时，先要转换数学模型，再会用拚凑法构造成基本不等式的形式，再求解.利用基本不等式求函数的最值.备考重点：含参数的不等式恒成立问题.基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．
4.从考纲和考题中线性规划的内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题——线性规划问题，命题形式以选择、填空为主，但也有解答题以应用题的形式出现． 高考单独考查二元一次不等式（组）表示的平面区域的较少，常与面积、周长等结合考查。另外求线性规划问题的最值，以及与基本不等式、向量等知识结合考查，考查频率非常大。还有就是考查线性规划在生活中的应用，求解最优化问题等。
三、注意事项：
1.不等式的基本性质中要注意可除的条件以及不等式的不可减的性质：
例如：（1） 若a>b>0，cA.－>0 B.－<0 C.> D.<[来源:学科网]
【解析】本题切记做除法时不等号的方向要相同， ∵c∴－bd<－ac，即bd>ac，又∵cd>0，∴>，即>.
【答案】 D
（2）若－<α<β<，则α－β的取值范围是__________．
【解析】本题要切记不等式不具备可减性，但可转化为做加法来处理.
由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0.
【答案】 (－π，0)
（3）－1【解析】 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则∴
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，又∵－1∴－<(x＋y)＋(x－y)<，即－<3x＋2y<，
∴3x＋2y的取值范围为(－，)．
（4）已知－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，则8x·y的取值范围是( )
A．[2,28] B. C．[2,27] D.
【解析】 8x·y＝23x·y＝23x－y，令3x－y＝s(x＋y)＋t(x－y)＝(s＋t)x＋(s－t)y，
则∴即3x－y＝(x＋y)＋2(x－y)，又－1≤x＋y≤1，①
1≤x－y≤3，∴2≤2(x－y)≤6.②
∴①＋②得1≤3x－y≤7.则8x·y＝23x－y∈[2,27]．故选C.[来源:Zxxk.Com]
【答案】 C
2.在求解一元二次不等式的解集时，先要将二次项的系数转为正数，同时要用集合或区间的形式表示等式的解集，避免出现错误或失分：
例如：不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
【解析】 由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，得－4【答案】 (－4,1)
3.解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．
例如：（1）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【解析】 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以(x－1)<0.所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为?；当0综上，当0当a>1时，不等式的解集为.
（1）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【易错分析】由于对一元二次不等式解集的意义理解不够，故忽视了对、、符号的判断．
根据给出的解集，除知道和2是方程的两根外，还应知道，然后通过根与系数的关系进一步求解．
【答案】C
4.一元二次不等式恒成立的条件：
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
例如：（1）不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a－2≠0时，可知二次函数f(x)=(a－2)x2＋2(a－2)x－4的开口向下，函数与x轴无交点，所以可得得－2当a＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立，∴－2【答案】 (－2,2]
（2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法：
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.
例如：已知函数f?(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f?(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】 要使f (x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，所以0当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.综上所述，m的取值范围是.
方法二 因为x2－x＋1＝2＋>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是.
（3）给定参数范围的恒成立问题
例如：①若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】 设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，
则即解得【温馨提示】解决恒成立问题一定要搞清主元与参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
②对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
【解析】 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴解得x<1或x>3.
故当x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
③已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】 不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x<0，则x>，不满足题意；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即不等式组的解集为空集，即m无解．综上可知，不存在这样的m.
④函数f (x)＝x2＋ax＋3.
（Ⅰ）若当x∈R时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若当x∈[－2,2]时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若当a∈[4,6]时，f (x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】（Ⅰ） ∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6,2]．
（Ⅱ）由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2])．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，函数图象的对称轴方程为x＝－.
当－<－2，即a>4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，舍去；
当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，∴－4≤a≤2；
当－>2，即a<－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，∴－7≤a<－4.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．
（Ⅲ）令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
5.一元二次不等式根的分布：在处理与一元二次不等式与二次方程相结合的根的问题时，要根据根的情况讨论，并要求严谨，严密，表达到位.
例如：（1）已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围.
【解析】依题意有：，故或.
所以符合条件的范围为.
（2）已知二次函数f (x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
【解析】 由(m＋2)·f (1)<0 ，即(m＋2)·(2m＋1)<0?－2（3）已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．
【解析】 设f (x)＝x2－2(a－2)x＋a，当Δ＝4(a－2)2－4a<0，即10 对x∈R恒成立，符合题意；当a＝1时，f (－1)＝0，不符合题意；当a＝4时，f (2)＝0 符合题意；
当Δ>0 时，由得即4综上所述，实数a的取值范围是(1,5]．
【答案】 (1,5]
6.基本不等式部分常有考生忽略：
（1）忽视不等式成立的条件a>0且b>0致误；忽视定值存在致误；忽视等号成立的条件致误．
①下列四个函数中，最小值为2的是( )
A．y＝sin x＋ B．y＝ln x＋
C．y＝ D．y＝4x＋4－x
【解析】 对于A，因为0即sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，当0②(多选)下列选项错误的是( )
A．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的
B．函数y＝x＋的最小值是2
C．函数f(x)＝sin x＋的最小值为4
D．x>0且y>0是＋≥2的充要条件
【解析】 对于选项A，不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0；对于选项B，函数y＝x＋的值域是∪，没有最小值；对于选项C，函数f(x)＝sin x＋没有最小值；对于选项D，x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件．
【答案】ABCD
③已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )
A. B. C．1 D．2
【解析】 由题意可得a>0，当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；
当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号，所以
解得a＝1.
【答案】C
（2）两次利用基本不等式求最值的注意当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
例如：已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________．
【解析】 由a>b>0，得a－b>0，∴b(a－b)≤2＝.
∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号．∴a2＋的最小值为4.
【答案】 4
（3）求参数值或取值范围：
例如：①若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为________．
【解析】因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤＝＝1，所以≥1；
又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.
【答案】1
②已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且△ABC的面积为，则a的最小值为________．
【解析】 由题意得b2＋c2－a2＝bc，∴2bccos A＝bc，∴cos A＝，∴A＝.
∵△ABC的面积为，∴bcsin A＝，∴bc＝3.
∵a2＝b2＋c2－bc，∴a2≥2bc－bc＝bc＝3(当且仅当b＝c＝时，等号成立)，∴a≥.
【答案】
③若函数f?(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
【解析】 当x>2时，x－2>0，f?(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f?(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
【答案】 C
7.线性规划问题常有考生存在可行域部分的不过关，不能准确的画出图象，所以导致不能直观的理解最优解.还有的错误就是目标函数理解错误，导致最大最小值出现相反的结果，线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得，也可在可行域边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.
8.平面区域的形状问题主要有两种题型：
(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状．最后求目标函数的最值.
例如：已知、满足．
（1）若，求的最值；（2）若，求的最值；（3）若，求的最值．
【解析】（1）画出可行域如图：
画出直线，并平移得在点处最大，在点处最小．
由，求出为，由，求出为，
，．
（2）画出可行域如图：
表示可行域内的点到原点的距离的平方，
由图可在点处最大，在点处最小．
∴，．
（3）画出可行域如图：
，表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图可在点处最大，在点处最小．
由，可得为，，．
【答案】（1），；（2），；（3），．
(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．
例如：已知不等式组，所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知得，不等式组，所表示的平面区域如图：
三角形的一个顶点的坐标为．【答案】D
四、基础知识梳理：
1.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质①a>b，ab>0?<. ②a<0b>0,0 .④0(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则①<；>(b－m>0)． ②>；<(b－m>0)．
2.不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b?b传递性 a>b，b>c?a>c ?
可加性 a>b?a＋c>b＋c ?
可乘性 ?ac>bc 注意c的符号[来源:学科网]
?ac同向可加性 ?a＋c>b＋d ?
同向同正可乘性 ?ac>bd ?
可乘方性 a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数
可开方性 a>b>0?>(n∈N，n≥2)
3.一元二次不等式的解法
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数 （）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
4.与一元二次不等式有关的恒成立问题
由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论
(1)不等式对任意实数恒成立?或.
(2)不等式对任意实数恒成立?或.
当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值．
5.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的几何意义．常见的目标函数有：①截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；②距离型：形如；③斜率型：形如．本题属于截距型，同时应注意实际问题中的最优解一般是整数．
(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．
(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：
①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
6.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
7.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
8.（1）在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．
（2)多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．
9.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
10.利用均值不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
五、常考题型：
1.【2019·全国卷Ⅰ】已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
2.已知关于的不等式对任意恒成立，则有( )
A. B. C. D.
3.【2018年全国卷Ⅲ理】设，则（ ）
A. B. C. D.
4.设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是( )
A．(0，) B．(－，) C．(0，π) D．(－，π)
5.已知奇函数在上是增函数．若，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6.【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
7.已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．5
8.【2019年高考天津卷】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
9.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
10. 已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
A.3 B.2 C.-2 D.-3
11.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是________．
12.已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为{x|x∈R，x≠}，求k的值；
(3)若不等式的解集为R，求k的取值范围；
(4)若不等式的解集为?，求k的取值范围．
六、配套练习：
1.已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( ) A．9 B．8 C．4 D．2
2.如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
3.若变量x，y满足，则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9
C．10 D．12
4.已知变量x，y满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为（ ）
A.3 B. C.2 D.
6.不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )
A. B.
C. D.
7.若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
8.关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
9.若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
10.y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．
11．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
12. 已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．[来源:Z+xx+k.Com]
