专题四：函数的概念与性质
考点要求：
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
4.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.会用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
5.理解函数的单调性及其几何意义.会用基本函数的图象分析函数的性质.
6. 了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
7.了解与掌握基本初等函数的性质，并能根据相关的要求解决与初等函数有关的问题.
二、考题预测：命题是以函数的概念为主，以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数建模是高考热点，题型以选择、填空题为主，中等难度.考查函数的单调性与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题. 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择、填空题为主，中等难度.二次函数的图象与性质常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.幂函数的图象与性质的简单应用，以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性，以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型选择题、解答题均有，解答题的难度为中高档.利用函数图象研究函数性质；数形结合求解函数零点、不等式等，题型以选择题为主，中档难度.
注意事项：
1.函数的概念部分考查时，要关注函数的三要素之间的关系,在复习时要注意函数的概念的准确性：
例如：（1）下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
【解析】 A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．
【答案】 C
（2）下列五组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)
①f?(x)＝x－1与g(x)＝；②f?(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x；③f?(x)＝x＋2，x∈R与g(x)＝x＋2，x∈Z；
④f?(u)＝与f?(v)＝；⑤y＝f?(x)与y＝f?(x＋1)．
【解析】是同一函数的要求要满足函数的三要素，有相同的定义域、值域与对应法则.
①②③中的两函数的定义域不同；⑤中的对应法则不同；④中的定义域、对应法则及值域都相同.[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【答案】 ④
（3）已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：
①f?(x)＝x；②f?(x)＝x2；③f?(x)＝x3；④f?(x)＝x4；⑤f?(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的是________．
【解析】 对于⑤，当x＝1时，x2＋1?A，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．
【答案】 ①②③④
【温馨提示】 (1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
2.函数解析式是表示函数形式的数学表达式，是研究变量间关系的严谨形式，因此对函数解析式的求解方面对考生的要求要全面、严谨.常用的求法有以下几种：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f?(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f?(g(x))＝F?(x)，可将F?(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f?(x)的解析式．
(4)消去法：已知f?(x)与f?或f?(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f?(x)．
例如：（1）已知f?(x)是二次函数且f?(0)＝2，f?(x＋1)－f?(x)＝x－1，则f?(x)＝________.
【解析】 设f?(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f?(0)＝2，得c＝2，
f?(x＋1)－f?(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
∴即∴f?(x)＝x2－x＋2. 【答案】 x2－x＋2
（2）已知f?(x)满足2f?(x)＋f?＝3x－1，求f?(x)．
【解析】 已知2f?(x)＋f?＝3x－1，①以代替①中的x(x≠0)，得2f?＋f?(x)＝－1，②
①×2－②，得3f?(x)＝6x－－1，故f?(x)＝2x－－(x≠0)．
（3）已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________．
【解析】令t＝，则x＝(t≠0)，即f(t)＝＋，∴f(x)＝(x≠0)．
【答案】(x≠0)
3.高考常考定义域易失分点：
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f[g(x)]中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域；
(2)若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.
例如：（1）已知函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，则f(2x－1)的定义域为( )
A.(－1,0) B. C.(0,1) D.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
【解析】 ∵函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，即－2
由－1<2x－1<1，得0【答案】 C
（2）函数f?(x)＝ 的单调增区间是________；f?(x)的值域是________．
【解析】本题要关注的是函数是由对数函数与二次函数复合而成的复合函数，所以要考虑到对数函数的定义域要求真数大于零，然后再结合二次函数的性质求函数的单调增区间与值域.
【答案】 [3，＋∞)
（3）(2017·全国Ⅱ)函数f?(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
【解析】 由x2－2x－8>0，得f?(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f?(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
所以函数f?(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.
【答案】 D
4.高考常考分段函数易失分点：
(1)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；
(2)利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化.
求分段函数的函数值
例如：已知函数f?(x)＝若f?＝－6，则实数a的值为________，f?(2)＝________.
【解析】 由题意得，f?＝3·＋1＝3，所以f?＝f?(3)＝9＋3a＝－6，
所以a＝－5，f?(2)＝4－5×2＝－6.
【答案】 －5 －6
5. 在处理分段函数与方程、不等式问题时，要注意分段函数每个部分的自变量的范围. 讨论要全面.
例如：设函数f?(x)＝则使f?(x)＝的x的集合为__________．
【解析】 由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；若x>0，则|log2x|＝，解得x＝或x＝.
故所求x的集合为.【答案】
6.高考常考函数四个性质的应用：
1）奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|)；
例如：（1）设奇函数f?(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f?(x)的图象如图所示，则不等式f?(x)<0的解集为________．
【解析】 由图象可知，当00；当20.综上，f?(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
【答案】 (－2,0)∪(2,5]
（2）函数f?(x)＝是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)
【解析】 由得－1∴f?(x)＝，∴f?(－x)＝＝－f?(x)，∴f?(x)为奇函数．
【答案】 奇
（3）若函数f?(x)＝在区间[－4,4]上的最大值、最小值分别为p，q，则p＋q的值为________．
【解析】 f?(x)＝3－，x∈[－4,4]，令h(x)＝－，则h(x)为奇函数，∴h(x)max＋h(x)min＝0，
∴f?(x)max＋f?(x)min＝6，即p＋q＝6. 【答案】 6
（4）已知函数f?(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f?(x)单调递减，且函数y＝f?(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f?(π)【解析】 ∵y＝f?(x＋2)为偶函数，∴f?(－x＋2)＝f?(x＋2)，∴f?(3)＝f?(1)，f?(π)＝f?(4－π)．
∵0<4－π<1<，当x∈[－2,2]时，f?(x)单调递减，∴f?(4－π)>f?(1)>f?()，∴f?()【答案】 C
【温馨提示】(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题．(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f?(x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f?(x)的图象关于直线x＝a对称(关于点(a,0)对称)．
2）单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
例如：（1）讨论函数f?(x)＝(a>0)在(－∞，1)上的单调性．
【解析】 方法一 ?x1，x2∈(－∞，1)，且x1f?(x1)－f?(x2)＝a－a＝，
由于x10，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f?(x1)－f?(x2)>0，即f?(x1)>f?(x2)，
所以函数f?(x)在(－∞，1)上单调递减．
方法二 f′(x)＝＝－，
因为(x－1)2>0，a>0，所以f′(x)<0，故a>0时，f?(x)在(－∞，1)上是减函数．
（2）函数f?(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
【解析】 f?(x)＝画出f?(x)的大致图象(如图所示)，
由图知f?(x)的单调递减区间是[1,2]．【答案】 [1,2]
(3)函数f?(x)＝ 的单调增区间为________．
【解析】 由6x2＋x－1>0得，f?(x)的定义域为.
由复合函数单调性知f?(x)的增区间即y＝6x2＋x－1的减区间(定义域内)，
∴f?(x)的单调增区间为.
【答案】
3）周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；
例如：已知f?(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f?(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程
f?(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个实数根，则k的取值范围是__________．
【解析】 由题意作出f?(x)在[－1,3]上的图象如图所示，记y＝k(x＋1)＋1，
∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f?(x)与y＝kx＋k＋1的图象在[－1,3]内有四个交点，
故kAB【答案】
4）对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题.
高考常考函数图象问题的注意点：
例如：（1）已知函数f?(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f?(x)＝1－2－x，则不等式f?(x)<－的解集是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】 当x>0时，f?(x)＝1－2－x>0.又f?(x)是定义在R上的奇函数，
所以f?(x)<－的解集和f?(x)>的解集关于原点对称，由1－2－x>得2－x<＝2－1，
即x>1，则f?(x)<－的解集是(－∞，－1)．故选A.
【答案】 A
（2）已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为关于直线对称，所以关于轴对称，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，，，，因为，，
根据函数对称性及单调性可知，所以选D．
【答案】D
7.函数的图象与性质：函数的图象是函数形象化的代表，通过对函数图象的研究可以更加直观的研究函数的性质，但在处理函数与图象之间的问题时，要注意图象所提供的信息的完整性，同时还要注意以下两点：
(1)图象平移与整体放缩不改变图象的对称性，求解较复杂函数图象的对称点或对称轴时可先平移；
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，通常用来解决求最值、方程的根、交点的个数等问题.注意求解两个函数图象在什么区间满足交点个数多少的问题，可以先画出已知函数的图象，再观测结果.
例如：①函数f?(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
【解析】依题意，得函数定义域为R，且f?(－x)＝ln(x2＋1)＝f?(x)，所以函数f?(x)为偶函数，即函数f?(x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f?(x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A.
【答案】 A
②将函数f?(x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图象的函数解析式为________．
【解析】图象的平移包括上下左右四个方向，遵循的法则是上加、下减、左加、右减.所以本题的解析式是，所以y＝(2x＋3)2.
【答案】 y＝(2x＋3)2
（3）图象变换法作函数的图象
①熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．
②若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
（4）函数图象的辨识可从以下方面入手：
从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
从函数的周期性，判断图象的循环往复．
从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
③函数f?(x)＝·sin x的图象的大致形状为( )
【解析】 ∵f?(x)＝·sin x，
∴f?(－x)＝·sin(－x)＝－sin x＝·sin x＝f?(x)，
且f?(x)的定义域为R，∴函数f?(x)为偶函数，故排除C，D；
当x＝2时，f?(2)＝·sin 2<0，故排除B，只有A符合．
【答案】 A
④已知函数f?(x)＝则函数y＝f?(1－x)的大致图象是( )
【解析】 方法一 先画出函数f?(x)＝的草图，令函数f?(x)的图象关于y轴对称，得函数f?(－x)的图象，再把所得的函数f?(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f?(1－x)的图象(图略)，故选D.
方法二 由已知函数f?(x)的解析式，得y＝f?(1－x)＝故该函数过点(0,3)，排除A；过点(1,1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.
【答案】 D
⑤将函数f?(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f?(x)等于( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
【解析】 与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f?(x)的图象，∴y＝f?(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
【答案】 D
四、基础知识梳理：
1.分段函数问题的5种常见类型及解题策略：
求函数值 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
求函数 最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小
解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数 “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
利用函数 性质求值 依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
2.函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3.判断函数的奇偶性的常用方法：
(1)定义法：一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
4．函数单调性的常用结论
[来源:学科网] 区间D上单调递增 区间D上单调递减
定义法 x1f(x2)
图象法 函数图象是上升的 函数图象是下降的
导数法 导数大于零 导数小于零
运算法 递增＋递增＝递增 递减＋递减＝递减
复合法 内外层单调性相同 内外层单调性相反
5.函数周期性的常用结论：
对f(x)定义域内任一自变量x的值：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
6.函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(aT＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)．
(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a,0)，B(b,0)(a(3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b,0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.
注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．
判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
7.求函数最值及值域的常用方法：
1）单调性法：考查函数的单调性，确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值.
2）图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.
3）分段函数的最值：将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.
4）导数法：对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值.
8.利用导数研究函数极值、最值的方法：
(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．
(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．
(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
5）线性规划法求目标函数的最值及值域
9.记牢三种常见的目标函数及其求法：
(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
6）基本不等式法求函数的最值及值域，掌握基本不等式求最值的3种解题技巧：
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为
，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.
利用基本不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．
10.图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f?(x)y＝－f?(x)．
②y＝f?(x)y＝f?(－x)．
③y＝f?(x)y＝－f?(－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
①y＝f?(x)y＝f?(ax)．
②y＝f?(x)y＝af?(x)．
(4)翻折变换
①y＝f?(x)y＝|f?(x)|.
②y＝f?(x)y＝f?(|x|)．
五、常考题型：
1.函数y＝的定义域为( )
A．(－1，3] B．(－1，0)∪(0，3]
C．[－1，3] D．[－1，0)∪(0，3]
【解析】要使函数有意义，x需满足解得－1【答案】B
2.已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为( )
A．(－2，0) B．(－2，2)
C．(0，2) D.
【解析】由题意得∴∴0【答案】 C
3.【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（ ）
A． B．y=
C． D．
【解析】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性问题，由题意可知函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增.故选A.
【答案】A
4.如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为( )
A．16 B．18 C．25 D.
【解析】当m＝2时，一次函数 f(x)＝(n－8)x＋1在区间上单调递减，则n－8<0，即n<8，∴mn<16.
当时，函数为二次函数，当m∈[0，2)时，f(x)的图像开口向下，要使f(x)在区间上单调递减，需满足－≤，解得m＋2n≤18，即n≤9－.又m≥0，则mn≤m＝－m2＋9m.∵g(m)＝－m2＋9m在[0，2)上为增函数，∴m∈[0，2)时，g(m)当m∈(2，＋∞)时，f(x)的图像开口向上，要使f(x)在区间上单调递减，需满足－≥2，即2m＋n≤12，
而当n≠0时，2m＋n≥2，∴mn≤18，当且仅当即时等号成立，此时满足m>2；当n＝0时，mn＝0.综上，mn的最大值为18.故选B.
【答案】B
5.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到时函数的解析式，并求出函数值为时对应的自变量的值.∵，．∵时，；∴时，，；
∴时，，，如图：
当时，由解得，，
若对任意，都有，则.则m的取值范围是.故选B.
【答案】B
6.设函数，则（ ）．
A. B. C. D.
【解析】本题考点是分段函数的求值问题.
由题意可得，.又由，
故有，
所以有.故选C.
【答案】C
7.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；
当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【答案】D
8.【2019年高考全国Ⅲ卷】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．（）＞（）＞（）
B．（）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（）
D．（）＞（）＞（）
【解析】是定义域为的偶函数，．
，又在(0，+∞)上单调递减，
∴，即.故选C．
【答案】C
9.【2018年高考江苏】函数满足，且在区间上， 则的值为________．
【解析】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.由得函数的周期为4，所以因此
【答案】
10.已知是上的偶函数，且在，单调递增，若（4），则的取值范围为 ．
【解析】：是上的偶函数，且在，单调递增，不等式（4）等价为
（4），即，即，得，即实数的取值范围是，
故答案为：
【答案】．
11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，,
则 ________．
【解析】本题考点奇函数的性质解决求函数值的问题.
法一：.
法二：由题意可知函数是定义在上的奇函数，所以有，而因为，，所以有，
【答案】12
12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当 时,,则f(919)=
【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以 .
【答案】6
13.已知二次函数的图象经过三点，，那么这个二次函数的解析式为______．
【解析】由题意可设二次函数的解析式为，将题中三点分别代入解析式中可得：
，解此方程组得到，所以函数的解析式为.
【答案】
14.设二次函数在区间上单调递减，且，则实数的取值范围是 .
【解析】 法一：二次函数在区间上单调递减，则，，所以，即函数图象的开口向上，对称轴是直线．所以，则当时，有．
【答案】
法二：因为二次函数在区间上单调递减，则，函数的对称轴是直线，可知函数的图象是开口向上的，所以有，当时一定有.
【答案】
15.【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 .
【解析】作出函数，的图象，如图：
由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程有2个不同的实数根，要使关于的方程有8个不同的实数根，则与的图象有2个不同的交点，由到直线的距离为1，可得，解得，[来源:Z.xx.k.Com]
∵两点连线的斜率，∴，综上可知，满足在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为.
【答案】
16.设函数.①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【解析】如图可作出函数与直线的图象，两图象的交点分别为，可知在时，函数有极大值. ①当时，因此的最大值是.
②由图象知当时，的最大值是，只有当时，，因此函数无最大值，所以所求的取值范围是
【答案】，.
17.【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．
【解析】由得或，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此解得.
从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，
【答案】–3
六、配套练习：
1.下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】函数过定点（1，0），（1，0）关于直线x=1对称的点还是（1，0），只有的图象过此点.故选项B正确.
【答案】B
2.在同一平面直角坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图像可能是( )
【解析】当a＞0时，函数y＝xa在第一象限单调递增，直线y＝ax＋经过第一、二、三象限，无选项符合题意；当a＜0时，函数y＝xa在第一象限单调递减，直线y＝ax＋经过第二、三、四象限，选项B符合题意．故选B.
【答案】B
3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的图像大致为（ ）
A． B.C． D．
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【答案】B
4.函数y=sin2x的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，故选D．
【答案】D
5.【2019年高考天津文数】已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】作出函数的图象，以及直线，如图，
关于x的方程恰有两个互异的实数解，即为和的图象有两个交点，平移直线，考虑直线经过点和时，有两个交点，可得或，考虑直线与在时相切，，由，解得（舍去），所以的取值范围是.故选D.
【答案】D
6.若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，即所以，，解得，所以，于是由不等式，得，解得，故选C．
【答案】C
7.函数的值域为( )
A. B. C. D．(0,2]
【解析】本题考点是复合函数的值域.由题意可设，函数，由复合函数的单调性可知，1，即函数的值域是，故选A.
【答案】A
8.若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵函数y＝的定义域为R，∴mx2＋4mx＋3≠0，∴m＝0或
即m＝0或0【答案】 D
9.已知定义在上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②对于任意的，，且，都有；③函数的图象关于轴对称，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】定义在上的函数满足三个条件：
由①对于任意的，都有，可知函数是周期的周期函数；[来源:Zxxk.Com]
②对于任意的，，且，都有，
可得函数在上单调递增；
③函数的图象关于轴对称，可得函数的图象关于直线对称．
∴，，．
∵，∴．故选B．
【答案】B
10.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1) 的定义域和值域都是，则a＋b＝________．
【解析】当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在定义域上是增函数，∴f(0)为函数最大值，f(－1)为函数最小值，∴无解，不符合题意，舍去；当0【答案】－
11.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
【解析】本题考查的是函数的奇偶性与对数的运算.由题意知是奇函数，且当时，，，所以又因为，，所以，两边取以为底数的对数，得，所以，即．
【答案】
12.函数的单调递减区间是________.
【解析】本题考点是由对数与二次函数复合而成的复合函数的单调区间.因为函数定义域为所以当，单调递减，函数单调减，当，单调递增，函数单调递增，故函数的单调递减区间是.
【答案】
13.已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是________.
【解析】如图，在同一坐标系中分别作出与的图象，其中表示直线在轴上截距.由图可知，当时，直线与只有一个交点.
【答案】
14.若函数为偶函数，则___________．
【解析】 由题知是奇函数，
所以 ＝，解得．
【答案】1
15. 已知函数f(x)＝有四个零点，则实数a的取值范围是________.
【解析】因为f(x)是偶函数，根据对称性，x4－3x2－ax＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实根，
即a＝x3－3x在(0，＋∞)上有两个不同的实根，等价转化为直线y＝a与曲线y＝x3－3x(x>0)有两个交点，而y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，则当01时，y′>0，
所以函数y＝x3－3x在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，于是ymin＝y|x＝1＝－2，x→0，y→0，故a∈(－2,0).
【答案】 (－2,0)
专题四：函数的概念与性质
考点要求：
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
4.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.会用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
5.理解函数的单调性及其几何意义.会用基本函数的图象分析函数的性质.
6. 了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
7.了解与掌握基本初等函数的性质，并能根据相关的要求解决与初等函数有关的问题.
二、考题预测：命题是以函数的概念为主，以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数建模是高考热点，题型以选择、填空题为主，中等难度.考查函数的单调性与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题. 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择、填空题为主，中等难度.二次函数的图象与性质常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.幂函数的图象与性质的简单应用，以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性，以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型选择题、解答题均有，解答题的难度为中高档.利用函数图象研究函数性质；数形结合求解函数零点、不等式等，题型以选择题为主，中档难度.
注意事项：
1.函数的概念部分考查时，要关注函数的三要素之间的关系,在复习时要注意函数的概念的准确性：
例如：（1）下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
[来源:Zxxk.Com]
【解析】 A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．
【答案】 C
（2）下列五组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)
①f?(x)＝x－1与g(x)＝；②f?(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x；③f?(x)＝x＋2，x∈R与g(x)＝x＋2，x∈Z；
④f?(u)＝与f?(v)＝；⑤y＝f?(x)与y＝f?(x＋1)．
【解析】是同一函数的要求要满足函数的三要素，有相同的定义域、值域与对应法则.
①②③中的两函数的定义域不同；⑤中的对应法则不同；④中的定义域、对应法则及值域都相同.
【答案】 ④
（3）已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：
①f?(x)＝x；②f?(x)＝x2；③f?(x)＝x3；④f?(x)＝x4；⑤f?(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的是________．
【解析】 对于⑤，当x＝1时，x2＋1?A，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．
【答案】 ①②③④
【温馨提示】 (1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
2.函数解析式是表示函数形式的数学表达式，是研究变量间关系的严谨形式，因此对函数解析式的求解方面对考生的要求要全面、严谨.常用的求法有以下几种：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f?(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f?(g(x))＝F?(x)，可将F?(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f?(x)的解析式．
(4)消去法：已知f?(x)与f?或f?(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f?(x)．
例如：（1）已知f?(x)是二次函数且f?(0)＝2，f?(x＋1)－f?(x)＝x－1，则f?(x)＝________.
【解析】 设f?(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f?(0)＝2，得c＝2，
f?(x＋1)－f?(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
∴即∴f?(x)＝x2－x＋2. 【答案】 x2－x＋2
（2）已知f?(x)满足2f?(x)＋f?＝3x－1，求f?(x)．
【解析】 已知2f?(x)＋f?＝3x－1，①以代替①中的x(x≠0)，得2f?＋f?(x)＝－1，②
①×2－②，得3f?(x)＝6x－－1，故f?(x)＝2x－－(x≠0)．
（3）已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________．
【解析】令t＝，则x＝(t≠0)，即f(t)＝＋，∴f(x)＝(x≠0)．
【答案】(x≠0)
3.高考常考定义域易失分点：
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f[g(x)]中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域；
(2)若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.
例如：（1）已知函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，则f(2x－1)的定义域为( )
A.(－1,0) B. C.(0,1) D.
【解析】 ∵函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，即－2由－1<2x－1<1，得0【答案】 C
（2）函数f?(x)＝ 的单调增区间是________；f?(x)的值域是________．
【解析】本题要关注的是函数是由对数函数与二次函数复合而成的复合函数，所以要考虑到对数函数的定义域要求真数大于零，然后再结合二次函数的性质求函数的单调增区间与值域.
【答案】 [3，＋∞)
（3）(2017·全国Ⅱ)函数f?(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
【解析】 由x2－2x－8>0，得f?(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f?(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
所以函数f?(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.
【答案】 D
4.高考常考分段函数易失分点：
(1)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；
(2)利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化.
求分段函数的函数值
例如：已知函数f?(x)＝若f?＝－6，则实数a的值为________，f?(2)＝________.
【解析】 由题意得，f?＝3·＋1＝3，所以f?＝f?(3)＝9＋3a＝－6，
所以a＝－5，f?(2)＝4－5×2＝－6.
【答案】 －5 －6
5. 在处理分段函数与方程、不等式问题时，要注意分段函数每个部分的自变量的范围. 讨论要全面.
例如：设函数f?(x)＝则使f?(x)＝的x的集合为__________．
【解析】 由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；若x>0，则|log2x|＝，解得x＝或x＝.
故所求x的集合为.【答案】
6.高考常考函数四个性质的应用：
1）奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|)；
例如：（1）设奇函数f?(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f?(x)的图象如图所示，则不等式f?(x)<0的解集为________．
【解析】 由图象可知，当00；当20.综上，f?(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
【答案】 (－2,0)∪(2,5]
（2）函数f?(x)＝是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)
【解析】 由得－1∴f?(x)＝，∴f?(－x)＝＝－f?(x)，∴f?(x)为奇函数．
【答案】 奇
（3）若函数f?(x)＝在区间[－4,4]上的最大值、最小值分别为p，q，则p＋q的值为________．
【解析】 f?(x)＝3－，x∈[－4,4]，令h(x)＝－，则h(x)为奇函数，∴h(x)max＋h(x)min＝0，
∴f?(x)max＋f?(x)min＝6，即p＋q＝6. 【答案】 6
（4）已知函数f?(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f?(x)单调递减，且函数y＝f?(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f?(π)【解析】 ∵y＝f?(x＋2)为偶函数，∴f?(－x＋2)＝f?(x＋2)，∴f?(3)＝f?(1)，f?(π)＝f?(4－π)．
∵0<4－π<1<，当x∈[－2,2]时，f?(x)单调递减，∴f?(4－π)>f?(1)>f?()，∴f?()【答案】 C
【温馨提示】(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题．(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f?(x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f?(x)的图象关于直线x＝a对称(关于点(a,0)对称)．
2）单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
例如：（1）讨论函数f?(x)＝(a>0)在(－∞，1)上的单调性．
【解析】 方法一 ?x1，x2∈(－∞，1)，且x1f?(x1)－f?(x2)＝a－a＝，
由于x10，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f?(x1)－f?(x2)>0，即f?(x1)>f?(x2)，
所以函数f?(x)在(－∞，1)上单调递减．
方法二 f′(x)＝＝－，
因为(x－1)2>0，a>0，所以f′(x)<0，故a>0时，f?(x)在(－∞，1)上是减函数．
（2）函数f?(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
【解析】 f?(x)＝画出f?(x)的大致图象(如图所示)，
由图知f?(x)的单调递减区间是[1,2]．【答案】 [1,2]
(3)函数f?(x)＝ 的单调增区间为________．
【解析】 由6x2＋x－1>0得，f?(x)的定义域为.
由复合函数单调性知f?(x)的增区间即y＝6x2＋x－1的减区间(定义域内)，
∴f?(x)的单调增区间为.
【答案】
3）周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；
例如：已知f?(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f?(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程
f?(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个实数根，则k的取值范围是__________．
【解析】 由题意作出f?(x)在[－1,3]上的图象如图所示，记y＝k(x＋1)＋1，
∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f?(x)与y＝kx＋k＋1的图象在[－1,3]内有四个交点，[来源:Z。xx。k.Com]
故kAB【答案】
4）对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题.
高考常考函数图象问题的注意点：
例如：（1）已知函数f?(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f?(x)＝1－2－x，则不等式f?(x)<－的解集是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】 当x>0时，f?(x)＝1－2－x>0.又f?(x)是定义在R上的奇函数，
所以f?(x)<－的解集和f?(x)>的解集关于原点对称，由1－2－x>得2－x<＝2－1，
即x>1，则f?(x)<－的解集是(－∞，－1)．故选A.
【答案】 A
（2）已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为关于直线对称，所以关于轴对称，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，，，，因为，，
根据函数对称性及单调性可知，所以选D．
【答案】D
7.函数的图象与性质：函数的图象是函数形象化的代表，通过对函数图象的研究可以更加直观的研究函数的性质，但在处理函数与图象之间的问题时，要注意图象所提供的信息的完整性，同时还要注意以下两点：
(1)图象平移与整体放缩不改变图象的对称性，求解较复杂函数图象的对称点或对称轴时可先平移；
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，通常用来解决求最值、方程的根、交点的个数等问题.注意求解两个函数图象在什么区间满足交点个数多少的问题，可以先画出已知函数的图象，再观测结果.
例如：①函数f?(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
【解析】依题意，得函数定义域为R，且f?(－x)＝ln(x2＋1)＝f?(x)，所以函数f?(x)为偶函数，即函数f?(x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f?(x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A.
【答案】 A
②将函数f?(x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图象的函数解析式为________．
【解析】图象的平移包括上下左右四个方向，遵循的法则是上加、下减、左加、右减.所以本题的解析式是，所以y＝(2x＋3)2.
【答案】 y＝(2x＋3)2
（3）图象变换法作函数的图象
①熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．
②若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
（4）函数图象的辨识可从以下方面入手：
从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
从函数的周期性，判断图象的循环往复．
从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
③函数f?(x)＝·sin x的图象的大致形状为( )
【解析】 ∵f?(x)＝·sin x，
∴f?(－x)＝·sin(－x)＝－sin x＝·sin x＝f?(x)，
且f?(x)的定义域为R，∴函数f?(x)为偶函数，故排除C，D；
当x＝2时，f?(2)＝·sin 2<0，故排除B，只有A符合．
【答案】 A
④已知函数f?(x)＝则函数y＝f?(1－x)的大致图象是( )
【解析】 方法一 先画出函数f?(x)＝的草图，令函数f?(x)的图象关于y轴对称，得函数f?(－x)的图象，再把所得的函数f?(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f?(1－x)的图象(图略)，故选D.
方法二 由已知函数f?(x)的解析式，得y＝f?(1－x)＝故该函数过点(0,3)，排除A；过点(1,1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.
【答案】 D
⑤将函数f?(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f?(x)等于( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
【解析】 与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f?(x)的图象，∴y＝f?(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
【答案】 D
四、基础知识梳理：
1.分段函数问题的5种常见类型及解题策略：
求函数值 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
求函数 最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小
解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数 “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
利用函数 性质求值 依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
2.函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3.判断函数的奇偶性的常用方法：
(1)定义法：一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
4．函数单调性的常用结论
区间D上单调递增 区间D上单调递减
定义法 x1f(x2)
图象法 函数图象是上升的 函数图象是下降的
导数法[来源:学科网][来源:学&科&网Z&X&X&K] 导数大于零 导数小于零
运算法 递增＋递增＝递增 递减＋递减＝递减
复合法 内外层单调性相同 内外层单调性相反
5.函数周期性的常用结论：
对f(x)定义域内任一自变量x的值：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
6.函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(aT＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)．
(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a,0)，B(b,0)(a(3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b,0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.
注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．
判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
7.求函数最值及值域的常用方法：
1）单调性法：考查函数的单调性，确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值.
2）图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.
3）分段函数的最值：将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.
4）导数法：对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值.
8.利用导数研究函数极值、最值的方法：
(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．
(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．
(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
5）线性规划法求目标函数的最值及值域
9.记牢三种常见的目标函数及其求法：
(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
6）基本不等式法求函数的最值及值域，掌握基本不等式求最值的3种解题技巧：
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为
，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.
利用基本不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．
10.图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f?(x)y＝－f?(x)．
②y＝f?(x)y＝f?(－x)．
③y＝f?(x)y＝－f?(－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
①y＝f?(x)y＝f?(ax)．
②y＝f?(x)y＝af?(x)．
(4)翻折变换
①y＝f?(x)y＝|f?(x)|.
②y＝f?(x)y＝f?(|x|)．
五、常考题型：
1.函数y＝的定义域为( )
A．(－1，3] B．(－1，0)∪(0，3]
C．[－1，3] D．[－1，0)∪(0，3]
2.已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为( )
A．(－2，0) B．(－2，2)
C．(0，2) D.
3.【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（ ）
A． B．y=
C． D．
4.如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为( )
A．16 B．18 C．25 D.
5.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.设函数，则（ ）．
A. B. C. D.
7.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
[来源:学科网ZXXK]
8.【2019年高考全国Ⅲ卷】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．（）＞（）＞（）
B．（）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（）
D．（）＞（）＞（）
9.【2018年高考江苏】函数满足，且在区间上， 则的值为________．
10.已知是上的偶函数，且在，单调递增，若（4），则的取值范围为 ．
11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，,
则 ________．
12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当 时,,则f(919)=
13.已知二次函数的图象经过三点，，那么这个二次函数的解析式为______．
14.设二次函数在区间上单调递减，且，则实数的取值范围是 .
15.【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 .
16.设函数.①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
17.【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．
六、配套练习：
1.下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2.在同一平面直角坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图像可能是( )
【解析】当a＞0时，函数y＝xa在第一象限单调递增，直线y＝ax＋经过第一、二、三象限，无选项符合题意；当a＜0时，函数y＝xa在第一象限单调递减，直线y＝ax＋经过第二、三、四象限，选项B符合题意．故选B.
【答案】B
3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的图像大致为（ ）
A． B.C． D．
4.函数y=sin2x的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5.【2019年高考天津文数】已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7.函数的值域为( )
A. B. C. D．(0,2]
8.若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.已知定义在上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②对于任意的，，且，都有；③函数的图象关于轴对称，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1) 的定义域和值域都是，则a＋b＝________．
11.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
12.函数的单调递减区间是________.
13.已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是________.
14.若函数为偶函数，则___________．
15. 已知函数f(x)＝有四个零点，则实数a的取值范围是________.
