专题一：集合部分
一、考点要求：
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.[来源:学科网]
3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
二、考题预测：集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．题型以选择题为主，低档难度.
三、注意事项：
1.注意集合中的代表元素：比如：集合中竖线前的x是集合A的代表元素，P表示元素x所满足的性质，遇到集合问题是我们首先要审视集合的代表元素是什么，它满足什么性质，然后进行解题，例如：，，的意义各有不相同，我们不能混为一谈，否则就易造成错误.
2.要注意集合元素的互异性：集合元素的三个特征是：确定性、互异性、无序性．在解题时有的学生忽略了互异性的性质要求也会给解题带来相应的错误.
例如：已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝________.
【解析】 因为B?A，所以m＝3或m＝.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.
【答案】 0或3
3.要注意空集的存在性：对于空集合，在解题时必须注意它的三个性质：（1）对任意集合A，皆有；（2）对任意集合A，皆有；（3）空集是任何集合的子集，即，解题时若忽略的存在性，就会造成解题结果的残缺不全.
例如：已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
【解析】 易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N?M，∴N＝?或N＝M，∴a＝0或a＝±1.
【答案】 0或1或－1
4.要熟悉子集、真子集的求法：由于子集、真子集的个数求法相似，所以会混淆计算公式，在解题时值得注意.
例如：已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定义P⊕Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊕Q的所有真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．以上都不对
【解析】由所定义的运算可知P⊕Q＝{1,2,3,4,5}，所以P⊕Q的所有真子集的个数为25－1＝31.[来源:Z&xx&k.Com]
【答案】B
四、基础知识梳理：
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A?B；
(2)真子集：若A?B，且A≠B，则AB；
(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B；
(4)?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法
交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B}[来源:Zxxk.Com] A∪B
补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x?A} ?UA
【温馨提示】
1．若一个集合A有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集．
提示 2n，2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？
提示 A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
五、常考题型：
1.【2018年全国Ⅱ卷】已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【解析】本题考查的是一对有序整实数满足平方和不大于3的情况组成的集合.
法一：此题可以用验证法，也可以用平面上的整点到原点的距离的不大于9，从而求出满足题意的集合的元素有9个，分别为：
法二：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)， (－1,0)，(－1,1)，
(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.
法三：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.
【答案】A
【变式】已知集合A＝，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】 因为∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.
【答案】 C
2.已知集合若则P的子集个数为( )
A．14 B．15 C．16 D．32
【解析】集合，则，∴P的子集有个．
【答案】C
3.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合，则=（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得，则．故选C．
【答案】C
4.【2019天津理数】设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以.故选D.
【答案】D
5.【16山东理】设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】本题考查的是指数函数的值域，解二次不等式，求两个集合的并集.集合，集合，.
【答案】C
6.【2018年全国Ⅰ卷】已知集合，则（ )
A. B． C． D．
【解析】本题考查的是二次不等式的求解，集合的补集的求解两个考点，解二次不等式时要注意
解集的表示，求补集时一定要注意全集的范围.由得到
，在实数范围内的补集为.
【答案】B
7.【2015，3】设命题：，，则为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【解析】命题含有存在性量词（特称命题），是真命题（如时），则其否定（）含有全称量词（全称命题），是假命题，故选C．
【答案】C
8.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（，）|，，}，则B中包含元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
【解析】由集合B可知，，因此B={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2），
（5，3），（4，1），（5，2），（5，1）}，B的元素10个，所以选择D．
【答案】D[来源:学|科|网]
9.【17山东理】设函数的定义域为，函数的定义域为，则=（ ）
A． B． C． D．
【解析】本题考查的是求两集合的交集，但两集合都是与函数的定义域有关的问题，在这里还考查了两类函数的定义域的求解过程.
设函数的定义域为=，函数的定义域为=.再求两集合的交集即可.
【答案】D
10.【17海南理】已知集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】本题考查的是利用集合的交集元素可知的情况下，求出待定参数后再求出集合元素的过程.
若，可知1是集合B中的一个元素。将1代入方程，可以求出m=3.
从而可得集合，再解方程，可得.
【答案】C
11.已知集合，，则中的元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】本题考查的是两个集合交集元素的个数问题，题中给出的两个集合可以看作是两个方程，也可看作是圆与直线间的位置关系.所以解决的方法有两种，一种是两个方程联立判断方程组的解的情况，另一种可以画出两个图形，通过图形来判断直线与圆的位置关系.
【解析】法一：由得到或者，方程组有两个解，因此两集合的交集元素有两个.
法二：由图象可知两集合的交集元素有两个
【答案】B
12.集合的真子集的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【解析】时，；时，；时，；时，；
∵函数在上是减函数，∴当时，；，共3个元素，根据公式可得其真子集的个数为个，故选C．
【答案】C
13. 【2019届高三·惠州调研】已知集合A＝{x|x
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【解析】集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1【答案】D
14.【2017年江苏，理1】已知集合，，若，则实数的值为 ．
【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1
【答案】1
六、配套练习：
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】；∴.
【答案】D
2.设全集，集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】集合中元素满足的要求是所以满足条件的是选项D
【答案】D
3.已知集合，则( )
A． B. C．? D．
【解析】∵集合，，
∴，∴.故选：D．
【答案】D
4.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】本题考查的是两集合交或并集的正确结果的验证，要想选出正确的选项，前提要先将集合B的指数不等式的解集求出来，因此先要解指数不等式.的解集为.四个选项中符合要求的是A.
【答案】A
5.集合的子集的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【解析】时，；时，；时，；时，；
∵函数在上是减函数，∴当时，；，共3个元素，根据公式可得其子集的个数为个，故选B．
【答案】B
6．已知集合，，若，则实数的取值范围是，其中
．
【分析】本题考查的是利用两集合之间的子集关系求待定参数的问题，题中易出现解对数不等式忽略对数函数的定义域问题，还有字母取边界值问题的错误，因此提醒考生要注意.
【解析】由集合可得，因为，所以，即.
【答案】4
7.设集合，则的子集的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题考查的两曲线的交点问题，集合的元素是曲线上的点，所以要明确集合中代表的元素的性质，另还要明确的是两曲线交点的子集的计算公式.
【解析】显然两集合所代表的曲线有两个交点，也就是两集合的交集元素为两个，再根据子集的计算公式，可得子集的个数是.
【答案】D
8.已知集合，且，则实数的取值范围是 .
【解析】因为，所以可得.[来源:Zxxk.Com]
【答案】
专题一：集合部分
一、考点要求：
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.[来源:学#科#网Z#X#X#K]
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
二、考题预测：集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．题型以选择题为主，低档难度.
三、注意事项：
1.注意集合中的代表元素：比如：集合中竖线前的x是集合A的代表元素，P表示元素x所满足的性质，遇到集合问题是我们首先要审视集合的代表元素是什么，它满足什么性质，然后进行解题，例如：，，的意义各有不相同，我们不能混为一谈，否则就易造成错误.
2.要注意集合元素的互异性：集合元素的三个特征是：确定性、互异性、无序性．在解题时有的学生忽略了互异性的性质要求也会给解题带来相应的错误.
例如：已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝________.
【解析】 因为B?A，所以m＝3或m＝.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.
【答案】 0或3
3.要注意空集的存在性：对于空集合，在解题时必须注意它的三个性质：（1）对任意集合A，皆有；（2）对任意集合A，皆有；（3）空集是任何集合的子集，即，解题时若忽略的存在性，就会造成解题结果的残缺不全.
例如：已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
【解析】 易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N?M，∴N＝?或N＝M，∴a＝0或a＝±1.
【答案】 0或1或－1
4.要熟悉子集、真子集的求法：由于子集、真子集的个数求法相似，所以会混淆计算公式，在解题时值得注意.
例如：已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定义P⊕Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊕Q的所有真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．以上都不对
【解析】由所定义的运算可知P⊕Q＝{1,2,3,4,5}，所以P⊕Q的所有真子集的个数为25－1＝31.
【答案】B
四、基础知识梳理：
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z[来源:Z_xx_k.Com][来源:学&科&网] Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A?B；
(2)真子集：若A?B，且A≠B，则AB；
(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B；
(4)?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．[来源:学科网]
3．集合的基本运算
表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法
交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x?A} ?UA
【温馨提示】
1．若一个集合A有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集．
提示 2n，2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？
提示 A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
五、常考题型：
1.【2018年全国Ⅱ卷】已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【变式】已知集合A＝，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2.已知集合若则P的子集个数为( )
A．14 B．15 C．16 D．32
3.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合，则=（ ）
A． B． C． D．
4.【2019天津理数】设集合，则（ ）
A． B． C． D．
5.【16山东理】设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
6.【2018年全国Ⅰ卷】已知集合，则（ )
A. B． C． D．
7.【2015，3】设命题：，，则为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（，）|，，}，则B中包含元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
9.【17山东理】设函数的定义域为，函数的定义域为，则=（ ）
A． B． C． D．
10.【17海南理】已知集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
11.已知集合，，则中的元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
12.集合的真子集的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
13. 【2019届高三·惠州调研】已知集合A＝{x|xA．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
14.【2017年江苏，理1】已知集合，，若，则实数的值为 ．
六、配套练习：
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.设全集，集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.已知集合，则( )
A． B. C．? D．
4.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5.集合的子集的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6[来源:学科网]
6．已知集合，，若，则实数的取值范围是，其中
．
7.设集合，则的子集的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8.已知集合，且，则实数的取值范围是 .
