高中数学人教A版选修2-2 利用导数解决综合问题（1） 课件（95张ppt）

(共95张PPT)
高二年级 数学
利用导数解决综合问题（1）
知 识 回 顾
1.如何利用导数求切线的斜率？
2
知 识 回 顾
1.如何利用导数求切线的斜率？
3
设切点为
在M点处的切线斜率为：
在点
【练习1】已知函数
（k为常数),曲线
处的切线与x轴平行.则实数
k的值为
在点
所以
又由题知
【练习1】已知函数
（k为常数),曲线
处的切线与x轴平行.则实数
k的值为
解：
知 识 回 顾
2.如何利用导数求函数的单调区间？
6
知 识 回 顾
2.如何利用导数求函数的单调区间？
7
求导函数
求导函数零点
定义域内单个零点
无零点或零点不在定义域内时，函数单调
分区间定导数的符号
结论
定义域内多个零点
讨论零点的大小
【练习2】若函数
在区间
上单调
递增，则k的取值范围是（ ）
【练习2】若函数
在区间
上单调
递增，则k的取值范围是（ ）
解：因为
所以
因为
在区间
上单调递增，
.
所以当
时，
恒成立，
在区间
上恒成立.
即
所以
所以
因为
故选D.
，
，
知 识 回 顾
3.如何利用导数确定函数的最值？
11
知 识 回 顾
3.如何利用导数确定函数的最值？
12
求导函数
解方程
函数
单调
方程无解
在R上无最值
判断导函数在零点
附近的正负
有
极小值
左正
右负
左负
右正
有
极大值
比较极值与端点值
定最值
【练习3】若函数
在区间
上存在最小值，实数a的取值范围是（ ）
【练习3】若函数
在区间
上存在最小值，实数a的取值范围是（ ）
解：由题意，得
【练习3】若函数
在区间
解：由题意，得
故
在
上是增函数，
上存在最小值，实数a的取值范围是（ ）
作出其图象如图所示，

解得
得
则结合图象可知，
故选C.
小结：
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.


几何表述


几何表述

代数表述
设
就是要证
在 上恒成立
在 上恒成立
？
还是
？
在 上恒成立
？
还是
？
在 上恒成立
√
？
还是
？


几何表述

代数表述
设
就是要证
在 上恒成立.

令
即要证

如何判断符号？

退


退



退
（舍）
，
，
，
，
，
当 时，
当 时，
在 上单调递增，
在 上单调递减.
即 ，
，所以
，所以
在 处取得最大值 .
所以
所以 时， ，
所以 ，
所以除切点（1,0）之外，曲线C在直线l的下方. ，
小结:
(1)一般地，曲线的位置关系问题常可以转化为不等式恒成立问题，而不等式恒成立问题又可以转化为最值(或值域)问题借助导数处理.在转化时不仅要知其然，更要知其所以然;
(2)在求导以后如果出现超越方程，我们可以考虑能否通过“去分母”等手段规避超越方程.



退





退


解法2：
当 时，

当 时，
在 上单调递增，
在 上单调递减.
所以
所以
，
所以
，
，
，
，
所以
，
在 处取得最大值 .
所以
所以 ，即 ，
所以 时， ，
所以除切点（1,0）之外，曲线C在直线l的下方. ，




退

退






解法3：
在 上单调递减
在 上单调递增，
当 时，
在 上单调递减.
所以
所以
所以
所以
，
，
，
，
，
，
，
，
令 ， ，
所以 时，
即
所以
，
，
，
在 处取得最大值 .
所以
小结:
对于求导以后出现方程不易求解的问题，我们可以尝试通过“数形结合”做出直观判断，再借助“二次求导”进行代数处理.
【例2】已知函数 ，求函数 在
在区间 上的最大值和最小值.

?
【例2】已知函数 ，求函数 在
在区间 上的最大值和最小值.

构建函数
解法1：
，
，
，
【例2】已知函数 ，求函数 在
在区间 上的最大值和最小值.
所以
由已知得
小结：
利用导数研究函数 的形态，探究函数 的值域，进而判断函数 的单调性.


构建函数


构建函数


构建函数

构建函数
解法2：
，
，
，
，
再次构建函数

，
所以 ， .

所以 在区间 上单调递减.
综上， 在区间 上单调递减.

构建函数
小结：
观察函数的解析式，从所熟悉的 入手，用三角函数辅助角公式化简后求解.当导函数的正负直接判断有困难时，继续构建函数求解.

构建函数

构建函数

解法3：

，
，
，
解法3：


，
，
，
解法3：

，
，
，

所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，

又因为 ，所以 ，
所以 在区间 上单调递减.
所以 ，
所以 ，
所以 在区间 上单调递减.
所以 ， .
总结：
应用导数研究函数一般要经过哪几个环节？
总结：
应用导数研究函数一般要经过哪几个环节？
分析问题
构建函数
研究函数
解决问题



总结：
应用导数研究函数一般要经过哪几个环节？
分析问题
构建函数
研究函数
解决问题
难点！



----多观察
多思考
多尝试
多积累
【例3】已知函数 ， .
(1)求证： ；
(2)若在 上 恒成立，求a的最大

值与b的最小值.


思路分析：
【例3】已知函数 ， .
(1)求证： ；
解：(1）由 ，
得
，
因为在区间 上 ，
所以 在区间 上单调递减.
从而 .
(2)若在 上 恒成立，求a的最大

值与b的最小值.

【例3】已知函数 ， .
，
解析：
故函数
在区间
内单调递减，
从而
的最小值为 .
令 ， ，
则
，由(1)知 ，
故
，a的最大值为 .
，
，
故
，a的最大值为
如何求b的最小值？
，
，
等价于
因为
不符合题意.
，
，
，
，
，
符合题意.
故函数
在区间
内单调递减
，
，
，
，
，
，
有根吗？
有几个？
，
有根吗？
有几个？
我们可以二次求导：
，
有根吗？
有几个？
我们可以二次求导：
在区间
内单调递减.
，
，
.
有根吗？
有几个？
我们可以二次求导：
在区间
内单调递减.
内一定有根！
，
，
.
于是，存在唯一的
且当
时
单调递增，
函数
当
时
单调递减，
函数
不符合题意.
综上，b 的最小值为1.
，
，
，
，
所以，若 在 上恒成立，


a的最大值为 ，b的最小值为1.
总结：当方程有根，但无法用已知字母或数字表示时，可以设这个根为x0（隐性零点），则x0满足方程 .
此题中
，方程
没有用到，
一般地，
又由
得 .
，
，
所以
，由（1）知，
，不符合题意.
从概念出发！
思考：（2）中的难点：
当 时，
导数概念的形式化定义：
它的等价形式是：
（2）解法2：令
所以
在
上单调递减，
所以
，
，得
因为
综上所述，
的最大值为
所以
b的最小值为1.
，
，
总结：将
与导数的概念联系起来，顺利求出了函数的极限.
转化为
加强对导数概念的理解与运用!
，
课堂小结：
1.解决函数导数问题一般要经历四个环节
分析问题

构建函数

研究函数

解决问题
2.对导数的认识
导函数也是函数，是刻画函数的重要概念、函数性质学习的延续；
是研究函数性质的重要工具，是研究可导函数性质的通用方法；
是考查函数与方程、分类讨论、转化与化归等数学思想方法的重要载体；
是函数与方程、不等式等有关知识的交汇点可以考查综合运用所学知识的能力.
作 业