专题五：函数与方程
考点要求：了解函数的零点与方程根的个数问题，函数的图象与x轴交点的横坐标之间的关系；
掌握二分法求方程的近似解；在高中本节主要是研究函数零点个数以及判断函数零点的范围.
考纲要求及重点：1.判断函数零点所在的区间 ；2.二分法求相应方程的近似解 ；
备考重点：函数的零点与方程根的分布问题、函数的性质等相结合求解参数问题，更出现了和导数融合的综合性问题.
二、考题预测：函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．
三、注意事项：本节内容主要考查的是函数与方程的思想，考查数形结合的思想，其中函数的零点、图象的交点个数、二次方程实根分布等问题是考查的热点内容，在复习时要注意以下几点：
掌握应用零点存在定理检验零点的存在与分布，即如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间（a，b）内必有零点，所以只需要验证端点函数值，比较其正负即可.
在使用零点存在定理时，如果区间端值异号，必有零点（称为变号零点），但如果区间端点值同号，则无法判断（不变号零点，此时零点存在定理无能为力），所以我们需要借助导数研究函数的单调性和极值，或者利用零点、交点转化原理，转化为交点问题用图象解决.
关于函数的零点，就是的实数根，也就是与函数图象的交点的横坐标，要深刻理解，解题中要有一定的灵活性.
如果二次函数，在闭区间上满足，那么方程 在区间上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解.
函数零点附近函数值的符号相反，选择题通常采用代入排除的方法求解.
6.常有的失分点例：
零点存在定理使用不当致误：
例如：函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如果有零点存在性定理来判断零点区间的话，选项A就无法验证，所以本题最佳做法就是从函数的单调性入手，由题意可知原函数是上的增函数，，，故根据零点存在定理得到零点存在于上，故选B．
【答案】B
方程根的个数判断有误：
例如：已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x＞0时，f(x)＝2x＋2x－4，则f(x)的零点个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】本题考生正确率极低，原因是忽略了定义在实数范围内的奇函数恒有f(0)＝0的这一重要性质，从而导致选错选项.
【解析】由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0.由于f ·f(2)＜0，而函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故当x＞0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知，当x＜0时，也有1个零点．故一共有3个零点．
【答案】B
【温馨提示】 函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f?(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f?(a)·f?(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
四、基础知识梳理：
1.函数的零点：
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系：
方程f (x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
2.零点存在性定理：如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间（a，b）内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
3.“二分法”的基本内涵是：把函数f(x)的零点所在的区间[a，b]（满足f(a)·f(b)＜0） “一分为二”：[a，m]、[m，b]，根据“f(a)·f(m)＜0”是否成立，取出新的零点所在的区间仍记为[a，b]；将所得的区间
[a，b]重复上述的步骤，直到含零点的区间[a，b] “足够小”，使这个区间内的数作为方程的近似解满足给定的精确度d(即)．
4.利用函数处理方程解的问题，方法如下：
(1)方程f(x)＝a在区间I上有解?a∈{y|y＝f(x)，x∈I}?y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有交点．
(2)方程f(x)＝a在区间I上有几个解?y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有几个交点．
一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答．
5.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
五、常考题型：
1.函数零点所在区间的判定：
（1）函数f?(x)＝ln x－的零点所在的区间是( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
【解析】函数f?(x)＝ln x－在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．
因为f?(2)＝ln 2－2<0，f?(3)＝ln 3－1>0，所以f?(2)f?(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
【答案】B[来源:学科网ZXXK]
（2）函数f?(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是( )
A. B．(1，e－1) C．(e－1,2) D．(2，e)
【解析】∵f?(x)的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝＋>0，∴f?(x)在(－1,0)，(0，＋∞)上单调递增．∵f??＝ln?－4<0，f?(1)＝ln 2－2<0，f?(e－1)＝1－<0，f?(2)＝ln 3－1>0，
∴f?(e－1)·f?(2)<0，故函数的零点所在的区间是(e－1,2)．
【答案】 C
（3）设函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是( )
A． B． C． D．
【解析】在上单调递增，以上集合均属于，根据零点存在定理，
，易知B选项符合条件。故选：B.
【答案】B
（4）函数的零点的个数：函数f?(x)＝－cos x在[0，＋∞)内( )
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
【解析】当x∈时，因为f′(x)＝＋sin x，>0，sin x>0，所以f′(x)>0，故f?(x)在[0,1]上单调递增，且f?(0)＝－1<0，f?(1)＝1－cos 1>0，所以f?(x)在[0,1]内有唯一零点．当x>1时，
f?(x)＝－cos x>0，故函数f?(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.
【答案】B
（5）【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】由，得或，，或．在的零点个数是3.故选B．
【答案】B
2.根据函数零点的情况求参数的取值范围：
（1）【2019天津文数】已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】作出函数的图象，以及直线，如图，
关于x的方程恰有两个互异的实数解，即为和的图象有两个交点，平移直线，考虑直线经过点和时，有两个交点，可得或，考虑直线与在时相切，，由，解得（舍去），所以的取值范围是.故选D.
【答案】D
（2）【2019年北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，
即对任意的恒成立，则，得.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.
【答案】
（3）.【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的
周期为2，且是奇函数.当时，，，
其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 .
【解析】作出函数，的图象，如图：
由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程有2个不同的实数根，要使关于的方程有8个不同的实数根，则与的图象有2个不同的交点，由到直线的距离为1，可得，解得，∵两点连线的斜率，∴，综上可知，满足在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为.
【答案】
3.零点的应用：
（1）【2019年高考浙江】已知，函数．恰有3个零点，则（ ）
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点?函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：
∴0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，则a>–1，b<0.故选C．
【答案】C
（2）若函数f?(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af?(－2x)>0的解集是___________．
【解析】 ∵f?(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知∴∴f?(x)＝x2－x－6.∵不等式af?(－2x)>0，
即－(4x2＋2x－6)>0?2x2＋x－3<0，解集为.
【答案】
（3）已知函数f?(x)＝则函数y＝f?[f?(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________．
【解析】 由题意知f?[f?(x)]＝－1，所以f?(x)＝－2或f?(x)＝，则函数y＝f?[f?(x)]＋1的零点就是
使f?(x)＝－2或f?(x)＝的x值．解f?(x)＝－2，得x＝－3或x＝；解f?(x)＝，得x＝－或x＝.
从而函数y＝f?[f?(x)]＋1的零点构成的集合为.
【答案】
（4）定义在R上的奇函数f?(x)，当x≥0时，f?(x)＝求函数F(x)＝f?(x)－的所有零点之和．
【解析】由题意知，当x<0时，f?(x)＝作出函数f?(x)的图象如图所示，设函数y＝f?(x)的图象与y＝交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，令－＝，解得x3＝，所以函数F(x)＝f?(x)－的所有零点之和为.[来源:Z&xx&k.Com]
六、配套练习：
1.函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
【解析】易知函数在其定义域上是增函数，因为，，所以函数的零点一定位于区间内．故选B．
【答案】B
2.用二分法求如图所示函数的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A． B． C． D．
【解析】二分法求函数的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号，
而图中函数在零点的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出．故选C．
【答案】C
3.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.13 15.552 －3.92 10.88[来源:学。科。网] －52.488 －232.064
则函数f(x)存在零点的区间有( )[来源:Zxxk.Com]
A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
【解析】本题考点是零点存在问题，因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．
【答案】C
4.已知是定义在上且以为周期的奇函数，当时，，
则函数在区间上的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数为奇函数，所以在上必有．
当时，由，得，即，解得．
因为函数是周期为的奇函数，所以，此时在区间上有个零点，，．，此时在区间上有四个零点，，，．
当时，，
所以，即，
此时在区间上有两个零点，．所以共有个零点．故选D．
【答案】D
5.已知函数，关于的方程有个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，则，由，解得，
当时，，函数为增函数；时，，函数为减函数，
当时，函数取得极大值也是最大值为．
方程化为，
解得或．画出函数的图象如图：
根据图象可知的取值范围是时，方程有个解．故选C．
【答案】C
6.函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A.a>0，b<0，c>0，d>0 B.a>0，b<0，c<0，d>0 C.a<0，b<0，c<0，d>0 D.a>0，b>0，c>0，d<0
【解析】本题主要考查函数的图象和利用函数图象研究函数的性质.由函数的图象可知，令又，可知是的两根
由图可知
∴；故A正确.
【答案】A
7.设函数,,若实数分别是的零点,则(??? )
A. B.
C. D.
【解析】且函数是增函数,因此函数的零点在区间内,即且函数在内单调递增,所以函数的零点在区间内,即于是有所以
【答案】B
8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
【解析】由函数有两个零点，可得有两个不等的根，从而可得函数与函数的图象有两个交点，结合函数的图象可得，，故答案为：.
【答案】
9.函数的零点个数是__________.
【解析】本题考点是分段函数，函数的零点，函数的图象和性质.令得，，只有符合题意；令得，，在同一坐标系内，画出的图象，观察知交点有，所以零点个数是.
【答案】
10.函数在的零点个数为________．
【解析】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，由题意可知，则有，可得此时都有，所以函数在的零点个数有3个.
【答案】3
11.已知，函数，若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
【解析】法一：由题意可用分类讨论的方法，即讨论和两种情况.
当时，方程，也就是，整理可得，很明显可知不是方程的实数解，有
当时，方程，也就是，整理可得，很明显可知不是方程的实数解，有，设，其中
，，原问题等价于函数与函数有两个不同的的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.
【答案】
法二：当时，方程，也就是，整理可得，很明显可知不是方程的实数解，有.设，则，由可得，函数递增，可得，函数递减，所以当时，取得极小值为.
当时，方程，也就是，整理可得，很明显可知不是方程的实数解，有，设，则，由可得，函数递增，可，函数递减，所以当时，取得极小值为.要使恰有2个互异的实数解，结合图象则的取值范围是.
【答案】
12. 设函数f?(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f?(x)的图象；
(2)当0
(3)若方程f?(x)＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围．
【解析】 (1)函数f?(x)的图象如图所示．
(2)因为f?(x)＝＝故f?(x)在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，由0(3)由函数f?(x)的图象可知，当0【开放提型】
1.已知函数，则
A．函数有两个不同的零点 B．函数在上单调递增
C．当时，若在，上的最大值为8，则
D．当时，若在，上的最大值为8，则
【分析】结合二次函数的零点及单调性及复合函数的单调性与最值的关系分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△，
所以函数有两个不同的零点，正确；
因为二次函数图象的对称轴为，且图象开口向上，所以在上单调递增，不正确；令，则．当时，，故在上先减后增，又，故最大值为（a），解得（负值舍去）．
同理当时，，在上的最大值为，解得（负值舍去）．故选：ACD.
【答案】ACD.
2.已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，则的值可能为
A． B．8 C．9 D．12
【分析】结合题意可先对进行分类：分及两种情况，结合函数的零点性质分别进行求解．
【解析】由题意可得时，显然不成立；
当时，令，则由得，，，，
又方程有8个不同的实根，由题意结合可得，即，解得，
故选：CD．[来源:学,科,网]
【答案】CD
3.已知函数有两个零点，，以下结论正确的是
A． B．若，则
C．（3） D．函数有四个零点
【分析】根据题意，分析可得方程有两个不同的根，为，，据此分析选项即可得答案．
【解析】根据题意，函数有两个零点，，即方程有两个不同的根，为，，据此分析选项：
对于，若方程有两个不同的根，则有，解可得，故正确；
对于，程有两个不同的根，为，，则有，，则，正确；
对于，函数，其对称轴为，则有（3），故正确；
对于，当时，，有3个零点，故错误；
故选：．
【答案】ABC
4.设为实数，则直线和函数的图象的公共点个数可以是
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用函数的奇偶性，画出图象，然后判断直线和函数的图象的公共点个数．
【解析】是偶函数，且在， 上递增，
画出草图，可知与该函数的交点个数可能为 0，1，2，
故选：．
【答案】ABC
专题五：函数与方程
考点要求：了解函数的零点与方程根的个数问题，函数的图象与x轴交点的横坐标之间的关系；
掌握二分法求方程的近似解；在高中本节主要是研究函数零点个数以及判断函数零点的范围.
考纲要求及重点：1.判断函数零点所在的区间 ；2.二分法求相应方程的近似解 ；
备考重点：函数的零点与方程根的分布问题、函数的性质等相结合求解参数问题，更出现了和导数融合的综合性问题.
二、考题预测：函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．
三、注意事项：本节内容主要考查的是函数与方程的思想，考查数形结合的思想，其中函数的零点、图象的交点个数、二次方程实根分布等问题是考查的热点内容，在复习时要注意以下几点：
掌握应用零点存在定理检验零点的存在与分布，即如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间（a，b）内必有零点，所以只需要验证端点函数值，比较其正负即可.
在使用零点存在定理时，如果区间端值异号，必有零点（称为变号零点），但如果区间端点值同号，则无法判断（不变号零点，此时零点存在定理无能为力），所以我们需要借助导数研究函数的单调性和极值，或者利用零点、交点转化原理，转化为交点问题用图象解决.
关于函数的零点，就是的实数根，也就是与函数图象的交点的横坐标，要深刻理解，解题中要有一定的灵活性.
如果二次函数，在闭区间上满足，那么方程 在区间上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解.
函数零点附近函数值的符号相反，选择题通常采用代入排除的方法求解.
6.常有的失分点例：
零点存在定理使用不当致误：
例如：函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如果有零点存在性定理来判断零点区间的话，选项A就无法验证，所以本题最佳做法就是从函数的单调性入手，由题意可知原函数是上的增函数，，，故根据零点存在定理得到零点存在于上，故选B．
【答案】B
方程根的个数判断有误：
例如：已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x＞0时，f(x)＝2x＋2x－4，则f(x)的零点个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】本题考生正确率极低，原因是忽略了定义在实数范围内的奇函数恒有f(0)＝0的这一重要性质，从而导致选错选项.
【解析】由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0.由于f ·f(2)＜0，而函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故当x＞0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知，当x＜0时，也有1个零点．故一共有3个零点．
【答案】B
【温馨提示】 函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f?(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f?(a)·f?(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
四、基础知识梳理：
1.函数的零点：
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系：
方程f (x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
2.零点存在性定理：如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间（a，b）内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
3.“二分法”的基本内涵是：把函数f(x)的零点所在的区间[a，b]（满足f(a)·f(b)＜0） “一分为二”：[a，m]、[m，b]，根据“f(a)·f(m)＜0”是否成立，取出新的零点所在的区间仍记为[a，b]；将所得的区间
[a，b]重复上述的步骤，直到含零点的区间[a，b] “足够小”，使这个区间内的数作为方程的近似解满足给定的精确度d(即)．
4.利用函数处理方程解的问题，方法如下：
(1)方程f(x)＝a在区间I上有解?a∈{y|y＝f(x)，x∈I}?y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有交点．
(2)方程f(x)＝a在区间I上有几个解?y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有几个交点．
一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答．
5.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
五、常考题型：
1.函数零点所在区间的判定：
（1）函数f?(x)＝ln x－的零点所在的区间是( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
（2）函数f?(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是( )
A. B．(1，e－1) C．(e－1,2) D．(2，e)
（3）设函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是( )
A． B． C． D．
（4）函数的零点的个数：函数f?(x)＝－cos x在[0，＋∞)内( )[来源:学&科&网]
A．没有零点 B．有且仅有一个零点[来源:Zxxk.Com]
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
（5）【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.根据函数零点的情况求参数的取值范围：
（1）【2019天津文数】已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2）【2019年北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
（3）.【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的
周期为2，且是奇函数.当时，，，
其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 .
3.零点的应用：
（1）【2019年高考浙江】已知，
函数．恰有3个零点，则（ ）
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
（2）若函数f?(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af?(－2x)>0的解集是___________．
（3）已知函数f?(x)＝则函数y＝f?[f?(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________．
（4）定义在R上的奇函数f?(x)，当x≥0时，f?(x)＝求函数F(x)＝f?(x)－的所有零点之和．
六、配套练习：
1.函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
2.用二分法求如图所示函数的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.13 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064
则函数f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4][来源:学科网]
C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6][来源:学*科*网]
4.已知是定义在上且以为周期的奇函数，当时，，
则函数在区间上的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数，关于的方程有个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A.a>0，b<0，c>0，d>0 B.a>0，b<0，c<0，d>0 C.a<0，b<0，c<0，d>0 D.a>0，b>0，c>0，d<0
7.设函数,,若实数分别是的零点,则(??? )
A. B.
C. D.
8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
9.函数的零点个数是__________.
10.函数在的零点个数为________．
11.已知，函数，若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.[来源:学科网]
12. 设函数f?(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f?(x)的图象；
(2)当0(3)若方程f?(x)＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围．
【开放提型】
1.已知函数，则
A．函数有两个不同的零点 B．函数在上单调递增
C．当时，若在，上的最大值为8，则
D．当时，若在，上的最大值为8，则
2.已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，则的值可能为
A． B．8 C．9 D．12
3.已知函数有两个零点，，以下结论正确的是
A． B．若，则
C．（3） D．函数有四个零点
4.设为实数，则直线和函数的图象的公共点个数可以是
A．0 B．1 C．2 D．3
