专题六：导数
一、考点要求：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.
2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数的导数；
(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
3.导数在研究函数中的应用：
①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.
4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。
二、考题预测：
导数是研究函数单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，历届高考，对导数的应用的考查都非常突出，主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与图象、曲线相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断函数的单调性；已知函数的单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）数形结合思想的应用．
三、注意事项：
1.对导数概念的理解不清致误；运算法则的运用不正确致误．
例如：函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________．
【解析】函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝3.因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.
【答案】3 4
2.对图象的判定问题处理方法单一造成失误：
例如：函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，，∴为奇函数，舍去A，
，∴舍去D；
，∴，，
所以舍去C；因此选B．
【答案】B
3.函数与零点的处理上常常讨论不全面造成失分：
例如：已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数的零点满足，
设，则，
当时，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，为．
设，当时，函数取得最小值，为，
若，函数与函数没有交点；
若，当时，函数和有一个交点，
即，解得．故选C．
【答案】C
4.求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．
(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．
(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，应先设切点，求切点坐标．
（3）应用导数的几何意义解题时应注意：
①f′(x)与f′(x0)的区别与联系，f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数值，是一个常数；
②函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率；
③切点既在原函数的图象上也在切线上.
例如：若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切则a的值为________．
【解析】易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上．
(1)当O(0,0)是切点时，由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，
即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.
由得x2－2x＋a＝0，依题意，Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，
则y0＝x－3x＋2x0，k＝y′|x＝x0＝3x－6x0＋2，①
又k＝＝x－3x0＋2，②联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，
故直线l的方程为y＝－x.由得x2＋x＋a＝0，
依题意，Δ＝－4a＝0，得a＝.综上，a＝1或a＝.
【答案】 1或
5.①利用导数求单调区间易忽视原函数的定义域致误；②求参数范围易忽视等号成立致误；③混淆极值与极值点的概念致误；④连续函数在区间(a，b)上不一定存在最值．
例如：1）函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)，(1，＋∞)
【解析】函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，得0
2）设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2＋1，则g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a当且仅当x＝，即x＝－时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2)．
3）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）是否存在实数，且，使得函数在区间的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）函数的定义域为，，
①当时，，函数的增区间为
②当时，令可得，故函数的增区间为，减区间为.
（2）①当时，得舍去；
②当时，得符合题意；
③当时，由，不合题意；
必有，可得，
令，故函数单调递增，
又由，故当时，，不存在这样的；
④当时，，得舍去；
综上所述：满足条件的值为.
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
四、基础知识梳理：
1.求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
2．函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；
(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．
讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
3．函数的极值
(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点)．
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
4．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在
[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
5.常用结论：
1）在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
3）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
4）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
5）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
五、常考题型：
1.导数的几何意义：
对导数的几何意义的考查，要关注三类问题，即求切线问题、已知切线求参数问题、切线的应用问题等.这三类问题往往结合函数的性质、函数的图象、直线方程、点到直线的距离等.
（1）函数的图象在处的切线方程是，则___________.
2.利用导数研究函数的单调性：利用导数研究函数单调性的考查，要关注三类问题，即求函数单调性区间、含参数函数单调性讨论、根据单调性逆向求参数问题等.这三类问题有时会以小题的形式出现，较多的应是解答题的某一问.
利用导数研究函数单调性的关键：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认；[来源:学科网]
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.
例如：（1）已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________．
（2）已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，求实数a的取值范围．
（3）已知函数，讨论的单调性；
3.利用导数研究函数的极值、最值：利用导数研究函数的极值的考查，要关注三类问题，即已知函数求极值、根据函数极值(点)逆向求参数、函数的极值(点)性质的考查等.其中已知函数求极值可能以小题的形式考查，其余主要是解答题的某一问.
利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题：
(1)不能忽略函数f(x)的定义域；
(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件；
(3)函数的极小值不一定比极大值小；
(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
例如：1）(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
2）【2018年全国卷Ⅰ卷理16】已知函数，则的最小值为 ．
4.导数的简单应用
利用导数研究函数的单调性是导数应用的基础，只有研究了函数的单调性，才能研究其函数图象的变化规律，进而确定其极值、最值和函数的零点等.注意：若可导函数f(x)在区间D上单调递增，则有f′(x)≥0在区间D上恒成立，但反过来不一定成立.导数与函数零点或方程根的问题：论函数零点的个数、已知方程根求参数问题或研究函数零点的性质——数形结合思想，研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
已知函数零点x0∈(a，b)，求参数范围的一般步骤：
(1)对函数求导；
(2)分析函数在区间(a，b)上的单调情况；
(3)数形结合分析极值点；
(4)依据零点的个数确定极值的取值范围，从而得到参数的范围.
例如：1）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
2）已知函数f(x)＝ex－x－a(a∈R).
(1)当a＝0时，求证：f(x)>x；(2)讨论函数f(x)零点的个数.
5.导数与不等式恒成立、存在性问题：研究不等式恒成立问题，解题的关键是问题的转化，如函数有两个极值点，转化为相应方程有两个不等实根，不等式恒成立问题转化为研究函数的最值，对学生的推理论证能力、运算求解能力要求较高，难度较大，属于困难题.
1）由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略：
(1)求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题；
(2)分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a2）利用导数处理不等式在区间D上有解或恒成立的常用结论：
不等式a不等式a>f(x)在区间D上有解?a>f(x)min；不等式a≥f(x)在区间D上有解?a≥f(x)min；
不等式a不等式a>f(x)在区间D上恒成立?a>f(x)max；不等式a≥f(x)在区间D上恒成立?a≥f(x)max.
例如：1）已知函数f(x)＝ex(ax2＋x＋a).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)≤ex(ax2＋2x)＋1恒成立，求实数a的取值范围.
2）(2019·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.
6.导数与不等式的证明问题：
利用导数证明不等式的解题策略：一般先将待证不等式如f(x)≥g(x)的形式转化为f(x)－g(x)≥0的形式，再设h(x)＝f(x)－g(x)，进而转化为研究函数h(x)在指定区间上的最小值问题.不过由于不等式呈现的形式多样化，具体求解时还得灵活多变.
例如：1）(2018·全国Ⅰ，理，21)已知函数f(x)＝－x＋aln x.
(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：＜a－2.
六、配套练习：
1.若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)＞0，则( )
A．3f(1)＜f(3) B．3f(1)＞f(3)
C．3f(1)＝f(3) D．f(1)＝f(3)
2.函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是( )
A．(0，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪(0，1] D．[－1，0)∪(0，1]
3．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
4.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－，则函数在x＝－1处的切线方程是( )
A．2x－y－1＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y－2＝0[来源:学科网ZXXK]
5.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间
[0，2]上的最小值为( )
A．－3e B．－2e C．e D．2e
6.过点P(1,1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
7.函数g(x)＝ln x图象上一点P到直线y＝x的最短距离为________．
8.(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.
证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
9.设函数f(x)＝ln x＋，k∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；
(2)若对任意的x1>x2>0，f(x1)－f(x2)10.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x＋m(m∈R)．
(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围；
(2)已知x1，x2是函数F(x)＝f(x)－g(x)的两个零点，且x111.设函数，.
（1）当时，证明在是增函数；
（2）若，求a的取值范围.
12.已知.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围.
13.已知函数
（1）求函数的极值点；
（2）当时，当函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.
14.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数[来源:学科网]
g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．
专题六：导数
一、考点要求：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.
2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数的导数；
(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
3.导数在研究函数中的应用：
①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.
4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。
二、考题预测：
导数是研究函数单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，历届高考，对导数的应用的考查都非常突出，主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与图象、曲线相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断函数的单调性；已知函数的单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）数形结合思想的应用．
三、注意事项：
1.对导数概念的理解不清致误；运算法则的运用不正确致误．
例如：函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________．
【解析】函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝3.因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.
【答案】3 4
2.对图象的判定问题处理方法单一造成失误：
例如：函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，，∴为奇函数，舍去A，[来源:Z|xx|k.Com]
，∴舍去D；
，∴，，
所以舍去C；因此选B．
【答案】B
3.函数与零点的处理上常常讨论不全面造成失分：
例如：已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数的零点满足，
设，则，
当时，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，为．
设，当时，函数取得最小值，为，
若，函数与函数没有交点；
若，当时，函数和有一个交点，
即，解得．故选C．
【答案】C
4.求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．
(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．
(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，应先设切点，求切点坐标．
（3）应用导数的几何意义解题时应注意：
①f′(x)与f′(x0)的区别与联系，f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数值，是一个常数；
②函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率；
③切点既在原函数的图象上也在切线上.
例如：若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切则a的值为________．
【解析】易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上．
(1)当O(0,0)是切点时，由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，
即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.
由得x2－2x＋a＝0，依题意，Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，
则y0＝x－3x＋2x0，k＝y′|x＝x0＝3x－6x0＋2，①
又k＝＝x－3x0＋2，②联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，
故直线l的方程为y＝－x.由得x2＋x＋a＝0，
依题意，Δ＝－4a＝0，得a＝.综上，a＝1或a＝.
【答案】 1或
5.①利用导数求单调区间易忽视原函数的定义域致误；②求参数范围易忽视等号成立致误；③混淆极值与极值点的概念致误；④连续函数在区间(a，b)上不一定存在最值．
例如：1）函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)，(1，＋∞)
【解析】函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，得02）设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2＋1，则g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a当且仅当x＝，即x＝－时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2)．
3）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）是否存在实数，且，使得函数在区间的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）函数的定义域为，，
①当时，，函数的增区间为
②当时，令可得，故函数的增区间为，减区间为.
（2）①当时，得舍去；
②当时，得符合题意；
③当时，由，不合题意；
必有，可得，
令，故函数单调递增，
又由，故当时，，不存在这样的；
④当时，，得舍去；
综上所述：满足条件的值为.
四、基础知识梳理：
1.求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
2．函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；[来源:Zxxk.Com]
(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；
(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．
讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
3．函数的极值
(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点)．
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
4．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在
[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
5.常用结论：
1）在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
3）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
4）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
5）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
五、常考题型：
1.导数的几何意义：
对导数的几何意义的考查，要关注三类问题，即求切线问题、已知切线求参数问题、切线的应用问题等.这三类问题往往结合函数的性质、函数的图象、直线方程、点到直线的距离等.
（1）函数的图象在处的切线方程是，则___________.
【解析】函数的图象在处的切线的斜率为，则，
由于切点在直线上，则，因此，.故答案为：.
【答案】
2.利用导数研究函数的单调性：利用导数研究函数单调性的考查，要关注三类问题，即求函数单调性区间、含参数函数单调性讨论、根据单调性逆向求参数问题等.这三类问题有时会以小题的形式出现，较多的应是解答题的某一问.[来源:学#科#网Z#X#X#K]
利用导数研究函数单调性的关键：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认；
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.
例如：（1）已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________．
【解析】由题意构造函数F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－.因为f′(x)<，
所以F′(x)＝f′(x)－<0，即函数F(x)在R上单调递减．因为f(x2)<＋，f(1)＝1，
所以f(x2)－1，
即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)
（2）已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，求实数a的取值范围．
【解析】f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，又a>0，所以0（3）已知函数，讨论的单调性；
【解析】.
①当时，单调递增；
②当时，单调递减；
单调递增.
综上：当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
3.利用导数研究函数的极值、最值：利用导数研究函数的极值的考查，要关注三类问题，即已知函数求极值、根据函数极值(点)逆向求参数、函数的极值(点)性质的考查等.其中已知函数求极值可能以小题的形式考查，其余主要是解答题的某一问.
利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题：
(1)不能忽略函数f(x)的定义域；
(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件；
(3)函数的极小值不一定比极大值小；[来源:Z_xx_k.Com]
(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
例如：1）(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－.
因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0，故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.
又当xx0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．
(2)由(1)知f(x0)0.所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.
由α>x0>1得<1综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
2）【2018年全国卷Ⅰ卷理16】已知函数，则的最小值为 ．
【解析】方法一：，
令，则，或，所以当，为减函数，在增函数，所以
方法二：
,
所以,当时, 成立.
所以的最小值是.
方法三：，
令，则函数化为，再利用导数进行求解．
4.导数的简单应用
利用导数研究函数的单调性是导数应用的基础，只有研究了函数的单调性，才能研究其函数图象的变化规律，进而确定其极值、最值和函数的零点等.注意：若可导函数f(x)在区间D上单调递增，则有f′(x)≥0在区间D上恒成立，但反过来不一定成立.导数与函数零点或方程根的问题：论函数零点的个数、已知方程根求参数问题或研究函数零点的性质——数形结合思想，研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
已知函数零点x0∈(a，b)，求参数范围的一般步骤：
(1)对函数求导；
(2)分析函数在区间(a，b)上的单调情况；
(3)数形结合分析极值点；
(4)依据零点的个数确定极值的取值范围，从而得到参数的范围.
例如：1）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【解析】令，即，
又因为，所以，即，
所以，即，
因为函数有两个零点，
则有两个零点，即与有两个交点，
所以，即或，
显然的解集为，无解，故选：D
【答案】D
2）已知函数f(x)＝ex－x－a(a∈R).
(1)当a＝0时，求证：f(x)>x；(2)讨论函数f(x)零点的个数.
(1)证明 当a＝0时，f(x)＝ex－x.
令g(x)＝f(x)－x＝ex－x－x＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2，
当g′(x)＝0时，x＝ln 2；
当xln 2时，g′(x)>0，
所以g(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，
所以x＝ln 2是g(x)的极小值点，也是最小值点，即g(x)min＝g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2ln >0，
故当a＝0时，f(x)>x成立.
(2)解 f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0，得x＝0.
当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以x＝0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，即f(x)min＝f(0)＝1－a.
当1－a>0，即a<1时，f(x)没有零点，当1－a＝0，即a＝1时，f(x)只有一个零点，当1－a<0，即a>1时，
因为f(－a)＝e－a－(－a)－a＝e－a>0，所以f(x)在(－a,0)上有一个零点，即f(x)在(－∞，0)上只有一个零点；由(1)，得ex>2x，令x＝a，则得ea>2a，所以f(a)＝ea－a－a＝ea－2a>0，
于是f(x)在(0，a)上有一个零点，即f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，因此，当a>1时，f(x)有两个零点.
综上，当a<1时，f(x)没有零点；当a＝1时，f(x)只有一个零点；当a>1时，f(x)有两个零点.
5.导数与不等式恒成立、存在性问题：研究不等式恒成立问题，解题的关键是问题的转化，如函数有两个极值点，转化为相应方程有两个不等实根，不等式恒成立问题转化为研究函数的最值，对学生的推理论证能力、运算求解能力要求较高，难度较大，属于困难题.
1）由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略：
(1)求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题；
(2)分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a2）利用导数处理不等式在区间D上有解或恒成立的常用结论：
不等式a不等式a>f(x)在区间D上有解?a>f(x)min；不等式a≥f(x)在区间D上有解?a≥f(x)min；
不等式a不等式a>f(x)在区间D上恒成立?a>f(x)max；不等式a≥f(x)在区间D上恒成立?a≥f(x)max.
例如：1）已知函数f(x)＝ex(ax2＋x＋a).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)≤ex(ax2＋2x)＋1恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】 (1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex(ax＋a＋1)(x＋1)，
①当a＝0时，f′(x)＝ex(x＋1)，所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增；
②当a≠0时，f′(x)＝aex(x＋1)，则方程f′(x)＝0有两根－1，－；
(ⅰ)当a>0时，－1>－，
所以函数f(x)在上单调递减，在，(－1，＋∞)上单调递增；
(ⅱ)当a<0时，－1<－，
所以函数f(x)在(－∞，－1)，上单调递减，在上单调递增.
综上，当a＝0时，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增；
当a>0时，函数f(x)在上单调递减，在，(－1，＋∞)上单调递增；
当a<0时，函数f(x)在(－∞，－1)，上单调递减，在上单调递增.
(2)函数f(x)≤ex(ax2＋2x)＋1恒成立，即aex≤exx＋1，即a≤x＋，
设函数g(x)＝x＋，则g′(x)＝1－＝，
令g′(x)＝0，解得x＝0，所以函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数g(x)的最小值g(x)min＝1，所以a≤min＝1，所以a的取值范围是(－∞，1].
2）(2019·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.
【解析】 (1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减；
若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减.
(2)满足题设条件的a，b存在.理由如下
①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝b＝－1，
最大值为f(1)＝2－a＋b＝1.解得a＝0，b＝－1，此时a，b满足条件.
②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)＝b＝1，
最小值为f(1)＝2－a＋b＝－1.解得a＝4，b＝1，此时a，b满足条件.
③当0f ＝－＋b，最大值为b或2－a＋b.
若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0综上，当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.
6.导数与不等式的证明问题：
利用导数证明不等式的解题策略：一般先将待证不等式如f(x)≥g(x)的形式转化为f(x)－g(x)≥0的形式，再设h(x)＝f(x)－g(x)，进而转化为研究函数h(x)在指定区间上的最小值问题.不过由于不等式呈现的形式多样化，具体求解时还得灵活多变.
例如：1）(2018·全国Ⅰ，理，21)已知函数f(x)＝－x＋aln x.
(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：＜a－2.
(1)【解析】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.
①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
②若a＞2，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增.
(2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x1＜x2，则x2＞1.
由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，
所以＜a－2等价于－x2＋2ln x2＜0.
设函数g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减.
又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0.所以－x2＋2ln x2＜0，即＜a－2.
六、配套练习：
1.若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)＞0，则( )
A．3f(1)＜f(3) B．3f(1)＞f(3)
C．3f(1)＝f(3) D．f(1)＝f(3)
【解析】由于f(x)＞xf′(x)，则′＝＜0恒成立，因此y＝在R上是单调减函数，所以＜，即3f(1)＞f(3)．
【答案】B
2.函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是( )
A．(0，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪(0，1] D．[－1，0)∪(0，1]
【解析】f′(x)＝2x－＝(x>0)令f′(x)≤0，即≤0，解得0【答案】A
3．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
【解析】利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．
【答案】D
4.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－，则函数在x＝－1处的切线方程是( )
A．2x－y－1＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y－2＝0
【解析】因为f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝－.所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝(x<0)．
则f′(x)＝，则切线斜率k＝f′(－1)＝2.又切点坐标为(－1，－1)，所以所求切线方程为
y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.
【答案】C
5.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间
[0，2]上的最小值为( )
A．－3e B．－2e C．e D．2e
【解析】由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，因为f′(x)为偶函数，所以m＝0，故f(x)＝x3＋nx＋2，
因为f(1)＝＋n＋2＝－，所以n＝－3.所以f(x)＝x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3.故g(x)＝ex(x2－3)，
则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)(x＋3)，所以g(x)在[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增．
故g(x)有唯一极小值g(1)＝－2e，则g(x)min＝－2e.
【答案】B
6.过点P(1,1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 当点P为切点时，∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，则曲线y＝x3在点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.当点P不是切点时，设直线与曲线切于点(x0，y0)(x0≠1)，则k＝＝＝x＋x0＋1.∵y′＝3x2，∴y′|x＝x0＝3x，∴2x－x0－1＝0，∴x0＝1(舍)或x0＝－，∴过点P(1,1)与曲线y＝x3相切的直线方程为3x－4y＋1＝0.综上，过点P的切线有2条，故选C.
【答案】C
7.函数g(x)＝ln x图象上一点P到直线y＝x的最短距离为________．
【解析】设与直线y＝x平行且与曲线g(x)＝ln x相切的直线的切点坐标为(x0，ln x0)，因为g′(x)＝(ln x)′＝，则1＝，∴x0＝1，则切点坐标为(1,0)，∴最短距离为(1,0)到直线y＝x的距离，即为
＝.
【答案】
8.(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.
证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－.
因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0，故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.
又当xx0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．
(2)由(1)知f(x0)0.所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.
由α>x0>1得<1综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
9.设函数f(x)＝ln x＋，k∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；
(2)若对任意的x1>x2>0，f(x1)－f(x2)【解析】(1)由条件得f′(x)＝－(x>0)，因为曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，
所以f′(e)＝0，即－＝0，得k＝e，所以f′(x)＝－＝(x>0)．
由f′(x)<0得00得x>e.所以f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
当x＝e时，f(x)取得极小值，且f(e)＝ln e＋＝2.所以f(x)的极小值为2.
(2)由题意知对任意的x1>x2>0，f(x1)－x10)，
则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
故当x>0时，k≥－x2＋x＝－＋恒成立，又－＋≤，则k≥，
故实数k的取值范围是.
10.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x＋m(m∈R)．
(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围；
(2)已知x1，x2是函数F(x)＝f(x)－g(x)的两个零点，且x1(1)【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－x－m(x>0)，则F′(x)＝－1＝(x>0)，
当x>1时，F′(x)<0，当00，所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增．
F(x)在x＝1处取得最大值－1－m，若f(x)≤g(x)恒成立，则－1－m≤0，即m≥－1.
(2)证明：由(1)可知，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，则m<－1，0要证x1x2<1，只需证x2<，由于F(x)在(1，＋∞)上单调递减从而只需证F(x2)>F，
由F(x1)＝F(x2)＝0，m＝ln x1－x1，即证ln－－m＝ln－＋x1－ln x1<0，
令h(x)＝－＋x－2ln x(00，
故h(x)在(0，1)上单调递增，h(x)11.设函数，.
（1）当时，证明在是增函数；
（2）若，求a的取值范围.
【解析】（1）由题意得 .当时，.
令，则.当时，，所以在为增函数.因此时，，所以当时，，则在是增函数.
（2）由.由（1）知，当且仅当等号成立.
故，从而当，即时，对，.于是对.满足题意，
由得，从而当时，.
故当时，.于是当时，.不满足题意，综上，a的取值范围是
12.已知.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围.
【解析】.
（1）当时，，所以，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）存在，使得成立，等价于不等式在有解.
设，则，
当时，，为增函数；当时，，为减函数.
又，，故所以当时，
， 所以，
即的取值范围为.
13.已知函数
（1）求函数的极值点；
（2）当时，当函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为所以，所以，
当时，，所以函数无极值点；
当时，令，解得.
由，解得；由，解得.
故函数有极大值点，无极小值点.
综上，当时，函数无极值点；当时，函数有极大值点，无极小值点.
（2）当时，，
所以，
设，则
①当即时，，所以在单调递减，所以不可能有三个不同的零点；
②当即时，有两个零点，，
所以又因为开口向下，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
因为，又，所以，
令则.
所以在单调递增，
所以，即.
由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点.
又，所以.
所以，所以在区间上有唯一的一个零点，
故当时，存在三个不同的零点.故实数的取值范围是.
14.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数
g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，
当a>0时，f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0,1)；当a＝0时， f(x)为常函数．
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.
∴g(x)＝x3＋x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g′(x)在区间(t,3)上有变号零点．
由于g′(0)＝－2，∴当g′(t)<0时，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1,2]恒成立，
由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，即m<－5且m<－9，即m<－9；
由g′(3)>0，即m>－.∴－ 