专题七：三角函数的图象与性质
一、考点要求：1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等).能根据相应的三角函数的部分图象研究三角函数的相关性质.
二、考题预测：1.三角函数的定义域；2.三角函数的值域与最值；3.三角函数的单调性；
4.三角函数的周期性、奇偶性、对称性. 以三角函数的图象与性质为载体，考查三角函数的解析式、周期性、单调性、对称性、最值等．要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图象的重要性，它们都是重要的解题辅助工具；要关注思想方法的渗透，特别是化归与转化思想
三、注意事项：正、余弦函数的一个完整单调区间的长度是半个周期；最大值与最小值常在对称轴与图象的交点处取得，正切函数无单调递减区间，在整个定义域内不单调. 所以正切函数的最值常在区间的端点处取得.
例如：1.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
【解析】∵ f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，
∴ f(x)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴ 当t＝1时，f(x)有最小值－4.[来源:学科网]
【答案】－4
【温馨提示】本题考查的是与三角函数有关的求最值问题，这里一定要注意的是正、余弦函数的有界性.否则会直接应用二次函数的性质求出函数的最值，从而导致本题的失分.
2.函数y＝|tan x|的单调递增区间为______________，单调递减区间为________________．
作出函数y＝|tan x|的图象，如图．
观察图象可知，函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.
【答案】 ，k∈Z ，k∈Z
【温馨提示】在解决本题的问题时，最佳的处理方式就是数形结合，这样更直观的观察到函数是偶函数，增减区间也极易找到.所以在处理三角函数的性质问题时，数形结合的方法是一个非常不错的方法.
3．函数y＝cos xtan x的值域是________．
【解析】y＝cos xtan x＝sin x，又x≠kπ＋，∴y＝sin x∈(－1,1)．
【答案】(－1,1)
【温馨提示】本题在求值域时，切记要先考虑到函数的定义域，易失分点就是这一点.
4．函数y＝cos的单调递减区间为________．
【解析】由y＝cos＝cos，得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．
【答案】(k∈Z)
【温馨提示】本题极易忽视y＝sin ωx(或y＝cos ωx)中，ω对函数单调性的影响致误.
5．函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．[来源:学+科+网]
【解析】由题意可得f(x)＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1.
∵x∈，∴cos x∈[0,1]．
∴当cos x＝，即x＝时，f(x)max＝1.
【答案】1
【温馨提示】本题易失分点是函数中自变量的名称的统一，还有的是忽视题中给出的角的范围.
6.函数y＝的定义域为________．
【解析】法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
法二：sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．所以定义域为.
【答案】
7.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．在上有2个零点
C．在区间上单调递减 D．在上的值域为
【解析】由题意，
不是函数的最值，不是对称轴，A错；
由，，，其中是上的零点，B正确；
由得，，因此在是递减，在上递增，C错；
时，，，D错．
故选：B．
【温馨提示】本题有两个考查重点，即三角函数图象变换和三角函数的性质．三角函数图象变换和三角函数的几何性质（对称轴方程，对称点坐标，单调区间等）是考生的易错点，比如，考生比较容易将平移以后的解析式写为，或者将正弦函数的单调区间直接搬来等．在解决问题时，只有深刻地理解三角函数图象的平移变换和三角函数图象的性质，提高应用所学三角函数知识进行运算的能力，才能正确地判断三角函数图象经平移以后的图象的对称轴方程．
7.（2016年课标卷Ⅰ文6）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】思路1： 求出给定三角函数的最小正周期，依据函数图象平移的一般方法，把已知函数图象平移．因为的最小正周期为，所以的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，即，选D．[来源:学科网ZXXK]
思路2 ：根据给定三角函数的特殊点，确定平移后的三角函数的初始相位．在已知函数的图象中找到一点，点向右平移个单位长度后为点．由于三角函数图象的平移不改变原来三角函数的振幅、周期，假设平移后的三角函数为，则，故可取，即平移后的函数为，选D．
【温馨提示】答题本题要注意以下问题：①审题不细致，本题用给定函数的周期作为图象平移的条件，也就是将函数的图象向右平移个周期，但学生却误认为是个单位长度，致使结果不正确；②概念不清晰，对三角函数三种表征的理解与变换不熟练，如平移后的函数解析式表示为，或表示为．
8.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】思路1： 函数在上单调递增，等价于当时，．
而，所以当时，，等价于当时，．利用二次函数的性质，当且仅当且时，，可得．选C．
思路2： 函数在上单调递增，等价于当时，．由题设可得
，
当，即时，取或，可知当时，不恒成立；
当，即时，由于当时，，故当时，等价于当时，，可得．选C．
思路3：函数在上单调递增，等价于当时，．由题设可得．
①当时，，；
②当时，等价于．由于在为增函数，在的最大值为，故；
③当时，等价于．由于在为增函数，在的最小值为，故，
综上可得．选C．[来源:学§科§网]
【温馨提示】本题是给定的函数的单调性求参数的问题，在解决本题的过程中要注意解决问题的思路要清晰，用二次函数的性质来处理时，要注意二次函数不是单调函数，而题中给定的条件函数是单调递增的，可以减少讨论的过程，但要注意余弦函数的有界性；方法2的解决过程中，是以余弦函数的有界性为准来讨论的，但也要注意正负1的取值；方法3的讨论也是以余弦函数的取值为本来进行讨论的，然后分离变量与函数的单调性进行讨论，切记讨论要准确到位.
四、基础知识梳理：1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，
(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，
(2π，1).
函数y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点最值点.
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单 调 性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数
周 期 性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对 称 性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 (k∈Z) 对称中心是 (k∈Z)
【温馨提示】1．对称与周期的关系：正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论：
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
3.三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
1）.“五点法”作图：
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得.
2）图象变换：
(先平移后伸缩)y＝sin x?y＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ).
(先伸缩后平移)y＝sin x
y＝sin ωxy＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ).
3）由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值：
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，
m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由最小正周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.要注意φ的范围.
五、常考题型：
1.图象问题：
例如：（1）将函数y＝cos x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ等于( )
A. B. C. D.
（2）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f?等于( )
A. B.－ C.－ D.
（3）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f(x)在区间上的零点为________.
2.三角函数的性质及应用
1）三角函数的单调性
y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；
y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z).
例如：（1）已知函数 f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为( )
A. B. C. D.
（2）若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为( )
A. B．
C. D.
2）三角函数的对称性
正弦函数y＝sin x的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；余弦函数y＝cos x的对称轴为x＝kπ，k∈Z.正弦函数y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z；余弦函数y＝cos x的对称中心为，k∈Z；正切函数y＝tan x的对称中心为，k∈Z.
例如：（1）已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
(2)(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
（3）已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴x＝，一个对称中心为点，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
2.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法：[来源:Z#xx#k.Com]
(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)整理；对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f(x)＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)．整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f(x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝(k∈Z)，求x.
3）三角函数的周期性：f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为；y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为.
例如：（1） (2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B. C．π D．2π
(2)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos |x| D．f(x)＝sin|x|
（3）设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在上单调递增 B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增
（4）已知函数f(x)=2sin (其中>0，||<)的相邻两条对称轴之间的距离为，f(0)=,则( )
A． B． C． D．
3.已知三角函数的单调性求参数
例如：（1）若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
（2）若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是________．
（3）已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
（4）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，若f(x)在区间上是单调函数，
且f(－π)＝f(0)＝－f，则ω的值为( )
A. B．或2
C. D．1或
4.利用三角函数的最值求解
例如：（1）已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
（2）．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则 ω的最小值为________．
（3）已知函数在处取得最大值，则函数的图象
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
（4）已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
5.综合题型：
例如：（1）若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
（2）已知函数f(x)＝cos，把y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.g＝ B.g(x)的图象关于直线x＝对称
C.g(x)的一个零点为 D.g(x)的一个单调减区间为
（3）已知f(x)＝sin－cos，则f(x)的最小正周期为________，
f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
（4）已知函数f(x)＝2sin.
①求函数的最大值及相应的x值集合； ②求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心．
（5）已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，x∈R.
①求f(x)的最小正周期；
②若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
③当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
（6）已知函数的最大值是2，函数的图象的一条对称轴是，且与该对称轴相邻的一个对称中心是.
①求的解析式；
②已知是锐角三角形，向量，且，求.
（7）已知函数f（x）=sin2x-.
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值，
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象.当x时，求g（x）的值域.
六、配套练习：
1.若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）
A．2 B． C．1 D．
2.函数在[0，2π]的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函
数为.若，则（ ）A．?2 B． C． D．2
4.已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为π，最大值为3 B． 的最小正周期为π，最大值为4
C． 的最小正周期为，最大值为3 D．的最小正周期为，最大值为4
5.已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
6.若在是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7.设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点. ②在（）有且仅有2个极小值点.
③在（）单调递增. ④的取值范围是[).
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
8.函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
9.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是（ ）
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
10.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
11.设函数，其中．若且的最小正周期大于，则（ ）
A． B．
C． D．
12.函数()的最大值是 .
13.已知函数的图象关于直线对称，则的值
是________．
14.设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数的值域．
15.已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.
专题七：三角函数的图象与性质
一、考点要求：1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等).能根据相应的三角函数的部分图象研究三角函数的相关性质.
二、考题预测：1.三角函数的定义域；2.三角函数的值域与最值；3.三角函数的单调性；
4.三角函数的周期性、奇偶性、对称性. 以三角函数的图象与性质为载体，考查三角函数的解析式、周期性、单调性、对称性、最值等．要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图象的重要性，它们都是重要的解题辅助工具；要关注思想方法的渗透，特别是化归与转化思想
三、注意事项：正、余弦函数的一个完整单调区间的长度是半个周期；最大值与最小值常在对称轴与图象的交点处取得，正切函数无单调递减区间，在整个定义域内不单调. 所以正切函数的最值常在区间的端点处取得.
例如：1.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
【解析】∵ f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，
∴ f(x)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴ 当t＝1时，f(x)有最小值－4.
【答案】－4
【温馨提示】本题考查的是与三角函数有关的求最值问题，这里一定要注意的是正、余弦函数的有界性.否则会直接应用二次函数的性质求出函数的最值，从而导致本题的失分.
2.函数y＝|tan x|的单调递增区间为______________，单调递减区间为________________．
作出函数y＝|tan x|的图象，如图．
观察图象可知，函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.
【答案】 ，k∈Z ，k∈Z
【温馨提示】在解决本题的问题时，最佳的处理方式就是数形结合，这样更直观的观察到函数是偶函数，增减区间也极易找到.所以在处理三角函数的性质问题时，数形结合的方法是一个非常不错的方法.
3．函数y＝cos xtan x的值域是________．
【解析】y＝cos xtan x＝sin x，又x≠kπ＋，∴y＝sin x∈(－1,1)．
【答案】(－1,1)
【温馨提示】本题在求值域时，切记要先考虑到函数的定义域，易失分点就是这一点.
4．函数y＝cos的单调递减区间为________．
【解析】由y＝cos＝cos，得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．
【答案】(k∈Z)
【温馨提示】本题极易忽视y＝sin ωx(或y＝cos ωx)中，ω对函数单调性的影响致误.
5．函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
【解析】由题意可得f(x)＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1.
∵x∈，∴cos x∈[0,1]．
∴当cos x＝，即x＝时，f(x)max＝1.
【答案】1
【温馨提示】本题易失分点是函数中自变量的名称的统一，还有的是忽视题中给出的角的范围.
6.函数y＝的定义域为________．
【解析】法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
法二：sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．所以定义域为.
【答案】
7.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．在上有2个零点
C．在区间上单调递减 D．在上的值域为
【解析】由题意，
不是函数的最值，不是对称轴，A错；
由，，，其中是上的零点，B正确；
由得，，因此在是递减，在上递增，C错；
时，，，D错．
故选：B．
【温馨提示】本题有两个考查重点，即三角函数图象变换和三角函数的性质．三角函数图象变换和三角函数的几何性质（对称轴方程，对称点坐标，单调区间等）是考生的易错点，比如，考生比较容易将平移以后的解析式写为，或者将正弦函数的单调区间直接搬来等．在解决问题时，只有深刻地理解三角函数图象的平移变换和三角函数图象的性质，提高应用所学三角函数知识进行运算的能力，才能正确地判断三角函数图象经平移以后的图象的对称轴方程．
7.（2016年课标卷Ⅰ文6）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】思路1： 求出给定三角函数的最小正周期，依据函数图象平移的一般方法，把已知函数图象平移．因为的最小正周期为，所以的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，即，选D．
思路2 ：根据给定三角函数的特殊点，确定平移后的三角函数的初始相位．在已知函数的图象中找到一点，点向右平移个单位长度后为点．由于三角函数图象的平移不改变原来三角函数的振幅、周期，假设平移后的三角函数为，则，故可取，即平移后的函数为，选D．
【温馨提示】答题本题要注意以下问题：①审题不细致，本题用给定函数的周期作为图象平移的条件，也就是将函数的图象向右平移个周期，但学生却误认为是个单位长度，致使结果不正确；②概念不清晰，对三角函数三种表征的理解与变换不熟练，如平移后的函数解析式表示为，或表示为．
8.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】思路1： 函数在上单调递增，等价于当时，．
而，所以当时，，等价于当时，．利用二次函数的性质，当且仅当且时，，可得．选C．
思路2： 函数在上单调递增，等价于当时，．由题设可得
，
当，即时，取或，可知当时，不恒成立；
当，即时，由于当时，，故当时，等价于当时，，可得．选C．
思路3：函数在上单调递增，等价于当时，．由题设可得．
①当时，，；
②当时，等价于．由于在为增函数，在的最大值为，故；
③当时，等价于．由于在为增函数，在的最小值为，故，
综上可得．选C．
【温馨提示】本题是给定的函数的单调性求参数的问题，在解决本题的过程中要注意解决问题的思路要清晰，用二次函数的性质来处理时，要注意二次函数不是单调函数，而题中给定的条件函数是单调递增的，可以减少讨论的过程，但要注意余弦函数的有界性；方法2的解决过程中，是以余弦函数的有界性为准来讨论的，但也要注意正负1的取值；方法3的讨论也是以余弦函数的取值为本来进行讨论的，然后分离变量与函数的单调性进行讨论，切记讨论要准确到位.
四、基础知识梳理：1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，
(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，
(2π，1).
函数y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点最值点.
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单 调 性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数
周 期 性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对 称 性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 (k∈Z) 对称中心是 (k∈Z)
【温馨提示】1．对称与周期的关系：正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论：
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
3.三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
1）.“五点法”作图：
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得.
2）图象变换：
(先平移后伸缩)y＝sin x?y＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ).
(先伸缩后平移)y＝sin x
y＝sin ωxy＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ).
3）由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值：[来源:Z&xx&k.Com]
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，
m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由最小正周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.要注意φ的范围.
五、常考题型：
1.图象问题：
例如：（1）将函数y＝cos x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ等于( )
A. B. C. D.
【解析】 根据诱导公式可得y＝cos x＝sin，向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后得到y＝sin，故sin＝sin，即＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又∵0≤φ<2π，∴φ＝，故选C.
【答案】 C
（2）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f?等于( )
A. B.－ C.－ D.
【解析】 由题图可得：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最大值是3，∴A＝3，
又∵＝－，ω>0，∴T＝π，ω＝2，
将代入f(x)＝3sin(2x＋φ)，得sin＝－1，
∴＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝3sin，
∴f?＝3sin＝－，故选C.
【答案】 C
[来源:Zxxk.Com]
（3）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f(x)在区间上的零点为________.
【解析】 从题图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，－，从而求得函数的最小正周期为T＝2＝π，根据T＝可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f(x)＝2sin，令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，结合所给的区间，整理得出x＝.
【答案】 2
2.三角函数的性质及应用
1）三角函数的单调性
y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；
y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z).[来源:学科网ZXXK]
例如：（1）已知函数 f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为( )
A. B. C. D.
【解析】法一：由题意得则
又ω>0，所以k∈Z，所以k＝0，则0<ω≤，故选B.
法二：取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B.
【答案】B
（2）若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为( )
A. B．
C. D.
【解析】 法一：因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增，所以解得ω≤，所以正数ω的最大值是.故选B.
法二：易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以解得ω≤.故选B.
【答案】B
2）三角函数的对称性
正弦函数y＝sin x的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；余弦函数y＝cos x的对称轴为x＝kπ，k∈Z.正弦函数y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z；余弦函数y＝cos x的对称中心为，k∈Z；正切函数y＝tan x的对称中心为，k∈Z.
例如：（1）已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
【解析】因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，而T＝＝4π，所以ω＝，
即f(x)＝2sin.令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)．令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．
【答案】B
(2)(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
【解析】由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．
∵φ∈，∴φ＝－.
【答案】－
（3）已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴x＝，一个对称中心为点，则ω有( )[来源:Zxxk.Com]
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
【解析】因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以，中心 到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，又∵T＝，∴≤，∴ω≥2，∴ω有最小值2，故选A.
【答案】 A
【温馨提示】1.三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．[来源:Z.xx.k.Com]
2.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法：
(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)整理；对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f(x)＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)．整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f(x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝(k∈Z)，求x.
3）三角函数的周期性：f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为；y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为.
例如：（1） (2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B. C．π D．2π
【解析】 由已知得f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
【答案】C
(2)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos |x| D．f(x)＝sin|x|
【解析】作出函数f(x)＝|cos 2x|的图象，如图．由图象可知f(x)＝|cos 2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin 2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B、C、D.故选A.
【答案】 A
（3）设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在上单调递增 B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增
【解析】函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝sin的最小正周期为＝π，∴ω＝2，即f(x)＝sin.又f(－x)＝f(x)，∴φ－＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，则f(x)＝－cos 2x.故f(x)在上单调递增，故A正确，C不正确；f(x)在上没有单调性，故B、D不正确，故选A.
【答案】A
（4）已知函数f(x)=2sin (其中>0，||<)的相邻两条对称轴之间的距离为，f(0)=,则( )
A． B． C． D．
【解析】因为函数f（x）＝2sin（ωx+）（其中ω＞0，||）的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以T＝π，ω＝2，因为f（0），所以sin，||，所以．选D．
【答案】D
【温馨提示】
1．三角函数最小正周期的求解方法：
(1)定义法；
(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝；
(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．
2．有关周期的2个结论
(1)函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝.
(2)函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝.
3.已知三角函数的单调性求参数
例如：（1）若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
【解析】∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在上单调递减，知＝，∴ω＝.
【答案】
（2）若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是________．
【解析】f(x)＝cos x－sin x＝－sin，
当x∈，即x－∈时，函数y＝sin单调递增，则函数f(x)＝－sin单调递减．
∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，∴[－a，a]?，∴0
【答案】
（3）已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
【解析】 由0，得＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，所以(k∈Z)，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，
得k＝0，所以ω∈.
【答案】
（4）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，若f(x)在区间上是单调函数，
且f(－π)＝f(0)＝－f，则ω的值为( )
A. B．或2
C. D．1或
【解析】因为f(x)在上单调，所以≥，即T≥π.若T＝π，则ω＝2；若T>π，因为f(－π)＝f(0)＝－f，所以直线x＝－是f(x)的图象的一条对称轴，且在区间上f(x)图象的对称中心是，所以＝－＝，所以T＝3π，ω＝＝.故选B.
【答案】B
4.利用三角函数的最值求解
例如：（1）已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
【解析】 显然ω≠0.
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
【答案】 (－∞，－2]∪
（2）．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则 ω的最小值为________．
【解析】由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，
－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z)．又ω>0，∴ωmin＝.
【答案】
（3）已知函数在处取得最大值，则函数的图象
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【解析】因为函数在处取得最大值，
所以，即.
,令可得对称中心为，时，可得一个对称中心为，选项B正确；令可得对称轴为，选项C,D均错误，所以选B.
【答案】B
（4）已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【解析】思路1 由正弦型三角函数的单调性推出满足的关系．因为在单调，所以区间不能包含函数的最值点，即，化简得．
因为为的零点，为图象的对称轴，所以因此可得．又，故或．
当时，，而且，可得的可能值为1，5，9；
当时，，而且，可得的可能值为3，7，11．
验证有一个最值点，不满足题设；验证满足题设，故选B．
思路２：由正弦型三角函数的零点及对称轴分析与满足的条件．因为为的零点，为图象的对称轴，所以因此可得，．又，故或．
因为在单调，所以区间不能包含函数的最值点，即，化简得．当时，的可能值为1，5，9；当时，的可能值为3，7，11．
验证有一个最值点，不满足题设；验证满足题设，故选B．
思路３：画出的示意图如下：
根据函数示意图，因为因为在单调，
．
因为为的零点，为图象的对称轴，
所以因此可得，
．又，故或．
当时，的可能值为1，5，9；当时，的可能值为3，7，11．
验证有一个最值点，不满足题设；验证满足题设，故选B．
【温馨提示】在得到与的范围后，考生容易把作为的最大值，这个错误的原因是在由零点与最值点推导与的过程，产生了增根，因此需要验证．由三角函数值的关系诱导的等式关系，往往产生增根，这是三角函数的基本性质（周期性）导致的．
5.综合题型：
例如：（1）若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【解析】根据已知函数其中，的图象过点，，可得，，解得：．
再根据五点法作图可得，可得：，可得函数解析式为：
故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选B．
【答案】B
（2）已知函数f(x)＝cos，把y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.g＝ B.g(x)的图象关于直线x＝对称
C.g(x)的一个零点为 D.g(x)的一个单调减区间为
【解析】 ∵f(x)＝cos＝cos，
∴g(x)＝cos＝cos，所以g＝cos ＝－，故A错，
令2x＋＝kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝－，k∈Z，故B错，
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得对称中心的横坐标为x＝＋，k∈Z，故C错，
因为x∈，故μ＝2x＋∈[0，π]，
因为y＝cos μ在[0，π]上是减函数，故g(x)＝cos在上是减函数，故D正确.
【答案】 D
（3）已知f(x)＝sin－cos，则f(x)的最小正周期为________，
f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
【解析】依题意可得f(x)＝2sin x，其最小正周期T＝6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，
故f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2.
【答案】6 2
（4）已知函数f(x)＝2sin.
①求函数的最大值及相应的x值集合； ②求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心．
【解析】①当sin＝1时，2x－＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝kπ＋，k∈Z，此时函数取得最大值为2.
故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为.
②由2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，
即函数f(x)的图象的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z.
由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，即对称中心为，k∈Z.
（5）已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，x∈R.
①求f(x)的最小正周期；
②若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
③当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】①因为f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2＝2sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝π.
②由(1)知h(x)＝2sin.
令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，得t＝＋(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝或.
③当x∈时，2x－∈，所以f(x)∈[1,2]．
又|f(x)－m|<3，即f(x)－3故实数m的取值范围是(－1,4)．
（6）已知函数的最大值是2，函数的图象的一条对称轴是，且与该对称轴相邻的一个对称中心是.
①求的解析式；
②已知是锐角三角形，向量，且，求.
【解析】①设的最小正周期为，
依题意得，∴，∴.
∵图象的一条对称轴是，∴，
∴.∵，∴.
又∵的最大值是2，∴，从而.
②∵，
∴
∴，∴，
又∵是锐角，∴.
∵，∴，
∴.即.
（7）已知函数f（x）=sin2x-.
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值，
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象.当x时，求g（x）的值域.
【解析】（Ⅰ）
,
因此的最小正周期为，最小值为.
（Ⅱ）由条件可知：.
当时，有，从而的值域为，
那么的值域为.
故在区间上的值域是.
【答案】（Ⅰ）， ，（Ⅱ）.
六、配套练习：
1.若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）
A．2 B． C．1 D．
【解析】由题意知，的周期，解得．故选A．
【答案】A
2.函数在[0，2π]的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】由，得或，
，．在的零点个数是3，故选B．
【答案】B
3.已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函
数为.若，则（ ）A．?2 B． C． D．2
【解析】∵为奇函数，∴；∵的最小正周期为π，∴，∴又，∴，
∴，故选C.
【答案】C
4.已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为π，最大值为3 B． 的最小正周期为π，最大值为4
C． 的最小正周期为，最大值为3 D．的最小正周期为，最大值为4
【解析】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.
【答案】B
5.已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.
【答案】D
6.若在是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】本题主要考查的是利用三角函数的图象与性质来求待定参数的问题，要求会用函数的辅助角公式及函数的单调性相结合..当x∈时，∈，所以结合题意可知，，即，故所求a的最大值是·故选C.
【答案】C
7.设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点. ②在（）有且仅有2个极小值点.
③在（）单调递增. ④的取值范围是[).
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；
④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以，
因为在上有5个零点，所以当k=5时，，当k=6时，，
解得，故④正确.
③函数=sin（）的增区间为：，.
取k=0，当时，单调递增区间为，
当时，单调递增区间为，综上可得，在单调递增.故③正确.
所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.
【答案】D
8.函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【解析】法一：本题是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图象研究性质来求三角函数式的最值问题，由诱导公式可得，
则，函数的最大值为.所以选A.
法二：将函数整理可得：
，所以函数的最大值为.所以选A.
【答案】A
9.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是（ ）
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，可根据题意画出函数的图象从而研究函数的相关性质.
作出的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；
因为，周期为，排除C；
作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；
作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，
故选A．
图1
图2
图3
【答案】A
10.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数的图象向右平移个单位长度之后的解析式为，则函数的单调递增区间满足，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误.故选A.
【答案】A
11.设函数，其中．若且的最小正周期大于，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意得，其中，所以，
又，所以，所以，，由得，故选A．
【答案】A
12.函数()的最大值是 .
【解析】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，并通过二次函数的性质来求函数在给定区间内的最值问题，由题意可将原函数化简三角函数的解析式：
，
由自变量的范围：可得：，当时，函数取得最大值1.
【答案】1
13.已知函数的图象关于直线对称，则的值
是________．
【解析】由题意可得，所以，
因为，所以
【答案】
14.设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数的值域．
【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，
即，故，所以．
又，因此或．
（2）
．因此，函数的值域是．
【答案】（1）或；（2）．
15.已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.
【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力.
（1），
所以的最小正周期为.
（2）由（1）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.
所以，即.所以的最小值为.
【答案】（1）；（2）.
