专题八：三角变换与求值
一、考点要求：1.两角和与差的三角函数公式
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，
了解它们的内在联系；
2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）
3.（1） 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值.
（2） 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值.
（3） 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.
（4）逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.
(5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值.
二、考题预测：三角函数问题常涉及到三角变换与求值，从近几年的高考试题来看，主要考查的是三角公式的灵活运用，包括正用逆用变形使用等，考查转化与化归能力、计算能力和数形结合的思想.
三、注意事项：本部分的易错点基本上是使用诱导公式时，正负符号没有注意到，这主要原因是角所在的象限与三角函数值的符号没有对应，在使用两角和、差公式时，没有注意项的变化与角的变化，在解三角形的问题中因上述问题掌握不准确，导致化简与求值出现问题，这直接影响到三角函数的得分率，本部分内容属于中档题，故提醒考生要在记忆上准确、运算上准确.将易得分的题做到不失分，得满分.在应用公式时要注意以下几点：
1.必须在定义域内使用上述公式，tan α，tan β，tan(α±β)，tan 2α只要有一个不存在就不能使用．
2.公式中的α，β都是任意角，也可以是几个角的组合．
3.三角问题的核心是化归，化简，求值和函数性质是指导化归的方向，化归途径有四个变形方向：负化正、大化小（复角化单角）、切化弦、高降低；化归的目标有两个：化为一项或化为一个弦函数.[来源:学#科#网Z#X#X#K]
4.求三角函数值的处理方法：
（1）给角求三角函数值：任意角→最小正角→锐角→求值.
（2）给值求值：用同角公式、诱导公式、三角公式，注意用题设条件和隐含条件限制的范围或进行分类讨论.
（3）条件求值：抓住两点，一是尽快用上条件，二是挖掘隐含条件，掌握使用和、差、二倍角公式时的拆角与合角的技巧.
（4）在处理恒等变形问题时，要熟练掌握三角形的内角和公式，1的变换技巧.
例如：1.设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan(π－2α)＝________.
【解析】因为sin 2α＝－sin α，α∈，所以cos α＝－，α＝，
因此tan(π－2α)＝tan＝tan＝－.
【答案】－
【温馨提示】本题考点为四个，二倍角公式、诱导公式、给值求角与给角求值.特别要考虑到角的范围是第二象限的角，否则从一开始就造成错误，还有用诱导公式时，被诱导的角所在的象限要明确，其次就是特殊三角函数值要记忆准确.
2.已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A．－ B．－ C. D.
【解析】sin α－cos α＝，平方得sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝，则sin 2α＝－.
【答案】A
【温馨提示】本题将原式平方后，要应用到同角三角函数的正余弦的平方和为1，然后再利用二倍角公式逆用才完成题的要求.
3.若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B． C．－ D.
【解析】因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－＝－，
所以sin＝sin αcos ＋cos αsin＝＝－.
【答案】C
【温馨提示】本题考点两个，其中在利用同角三角函数的平方和为1时，切记要看准题中给出角所在的象限，还有两角和的正（或余）弦公式要掌握准确.
4. 已知cos＝，x∈.则sin x＝________，cos＝________.
【解析】因为x∈，所以x－∈，sin＝ ＝.
sin x＝sin＝sincos＋cos·sin＝×＋×＝.
又因为x∈，故cos x＝－＝－ ＝－，
sin 2x＝2sin xcos x＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－.
所以cos＝cos 2xcos－sin 2xsin＝－×＋×＝.
【答案】
【温馨提示】本题属于给值求值的问题，题中所给的条件与题中要求的值的形式不一致，所以就要用拚凑的方法来解决，同时还要关注题中所给的角的具体范围.
5.在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________.
【解析】由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
【答案】
【温馨提示】本题的前提条件是在三角形中，因此隐含的条件是三角形的内角和的问题，因此在解题时一定要注意到这一点.
6. 已知tan θ＋＝4，则cos2＝( )[来源:学科网ZXXK]
A. B. C. D.
【解析】 由tan θ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝，
∴cos2＝＝＝＝＝.
【答案】C
【温馨提示】在解决本题时，最佳方法是将正切转化为正、余弦的比值，然后再应用公式计算.
四、基础知识梳理：
知识概述：
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦公式： ，
.[来源:学#科#网]
两角和与差的余弦公式：，
.
两角和与差的正切公式：，
.
【特别提醒】公式的条件：
两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.
两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：
知识点二 公式的变用
两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：
（其中φ角所在的象限由a,b的符号确定，φ的值由确定），在求最值、化简时起着重要的作用.
2. 变形为，
变形为.
变形为，
变形为来使用.
条件为：
知识点三 二倍角公式：[来源:学_科_网]
1.
常见变形：（1），
，；
，.
半角公式：，，
，.
五、常考题型：
例如：1.化简：（1）.·等于( )
A．－sin α B．－cos α C．sin α D．cos α
（2）设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b
2.给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题．
（1）＝________.
（2）tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值为( )
A. B. C．－ D．－
（3）【2019年高考全国Ⅱ卷文理】已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）
A． B． C． D．
3.给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
（1）【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 .
（2）已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝________.
（3）已知sin＝，α∈.求：(1)cos α的值；(2)sin的值．
4.给值求角：“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围)．在选取函数时，遵循以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数．
(3)谨记“给值求角”问题口诀：
求角大小象限定，函数转化标准型．
例如：（1）已知cos α＝，cos(α－β)＝，若0＜β＜α＜，则β＝________.
（2）若,则x的值是( )
A. B. C. D.
（3）.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于( )
A. B. C. D.
5.综合题型：
（1）【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2）【2018年高考全国】已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为π，最大值为3 B． 的最小正周期为π，最大值为4
C． 的最小正周期为，最大值为3 D．的最小正周期为，最大值为4
（3）【2018年高考全国】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A． B． C． D．
（4）【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数的最小值为___________．
（5）【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
（6）(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
（7）设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
（8）【2018江苏】已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．
（9）(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝2＋2的值域．
六、配套练习：
1.已知sin 2α＝，α∈，则sin的值为________.
2.已知tan＝2，则＝________.
3．若sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围为________．[来源:学|科|网]
4.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数，则的最小值是_____________．
5.已知cos＝，则cos 2α等于( )
A. B.－ C. D.－
6.tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值为( )
A. B. C.－ D.－
7.已知2coscos β－cos＝，则等于( )
A.－ B.－ C. D.
8.已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )
A. B．或 C. D．2kπ＋(k∈Z)
9.已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( )
A.－或0 B.或0 C.－ D.
10.已知圆C：x2＋(y－1)2＝R2与函数y＝2sin x的图象有唯一交点，且交点的横坐标为α，则等于( ) A.－2 B.2 C.－3 D.3
11.已知α∈，β∈，tan α＝，则( )
A.α＋β＝ B.α－β＝ C.α＋β＝ D.α＋2β＝
12．tan 18°＋tan 12°＋tan 18°tan 12°＝( )
A. B． C. D.
13.设函数，则的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
14.已知tan α＝2.
(1)求tan的值；(2)求的值．
15.已知函数f(x)＝(sin ωx－cos ωx)cos ωx＋(ω＞0)的图象的一条对称轴为x＝π.
(1)求ω的最小值；
(2)当ω取最小值时，若f＝，－＜α＜0，求sin的值．
16.已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求cosC的最小值.
18.已知函数，
(I)求最小正周期；
(II)求在区间上的最大值和最小值.
专题八：三角变换与求值
一、考点要求：1.两角和与差的三角函数公式
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，
了解它们的内在联系；
2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）
3.（1） 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值.
（2） 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值.
（3） 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.
（4）逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.
(5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值.
二、考题预测：三角函数问题常涉及到三角变换与求值，从近几年的高考试题来看，主要考查的是三角公式的灵活运用，包括正用逆用变形使用等，考查转化与化归能力、计算能力和数形结合的思想.
三、注意事项：本部分的易错点基本上是使用诱导公式时，正负符号没有注意到，这主要原因是角所在的象限与三角函数值的符号没有对应，在使用两角和、差公式时，没有注意项的变化与角的变化，在解三角形的问题中因上述问题掌握不准确，导致化简与求值出现问题，这直接影响到三角函数的得分率，本部分内容属于中档题，故提醒考生要在记忆上准确、运算上准确.将易得分的题做到不失分，得满分.在应用公式时要注意以下几点：
1.必须在定义域内使用上述公式，tan α，tan β，tan(α±β)，tan 2α只要有一个不存在就不能使用．
2.公式中的α，β都是任意角，也可以是几个角的组合．
3.三角问题的核心是化归，化简，求值和函数性质是指导化归的方向，化归途径有四个变形方向：负化正、大化小（复角化单角）、切化弦、高降低；化归的目标有两个：化为一项或化为一个弦函数.
4.求三角函数值的处理方法：
（1）给角求三角函数值：任意角→最小正角→锐角→求值.
（2）给值求值：用同角公式、诱导公式、三角公式，注意用题设条件和隐含条件限制的范围或进行分类讨论.
（3）条件求值：抓住两点，一是尽快用上条件，二是挖掘隐含条件，掌握使用和、差、二倍角公式时的拆角与合角的技巧.
（4）在处理恒等变形问题时，要熟练掌握三角形的内角和公式，1的变换技巧.
例如：1.设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan(π－2α)＝________.
【解析】因为sin 2α＝－sin α，α∈，所以cos α＝－，α＝，
因此tan(π－2α)＝tan＝tan＝－.
【答案】－
【温馨提示】本题考点为四个，二倍角公式、诱导公式、给值求角与给角求值.特别要考虑到角的范围是第二象限的角，否则从一开始就造成错误，还有用诱导公式时，被诱导的角所在的象限要明确，其次就是特殊三角函数值要记忆准确.
2.已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A．－ B．－ C. D.
【解析】sin α－cos α＝，平方得sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝，则sin 2α＝－.
【答案】A
【温馨提示】本题将原式平方后，要应用到同角三角函数的正余弦的平方和为1，然后再利用二倍角公式逆用才完成题的要求.
3.若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B． C．－ D.
【解析】因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－＝－，
所以sin＝sin αcos ＋cos αsin＝＝－.
【答案】C
【温馨提示】本题考点两个，其中在利用同角三角函数的平方和为1时，切记要看准题中给出角所在的象限，还有两角和的正（或余）弦公式要掌握准确.
4. 已知cos＝，x∈.则sin x＝________，cos＝________.
【解析】因为x∈，所以x－∈，sin＝ ＝.
sin x＝sin＝sincos＋cos·sin＝×＋×＝.
又因为x∈，故cos x＝－＝－ ＝－，
sin 2x＝2sin xcos x＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－.
所以cos＝cos 2xcos－sin 2xsin＝－×＋×＝.
【答案】
【温馨提示】本题属于给值求值的问题，题中所给的条件与题中要求的值的形式不一致，所以就要用拚凑的方法来解决，同时还要关注题中所给的角的具体范围.
5.在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________.
【解析】由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
【答案】
【温馨提示】本题的前提条件是在三角形中，因此隐含的条件是三角形的内角和的问题，因此在解题时一定要注意到这一点.
6. 已知tan θ＋＝4，则cos2＝( )
A. B. C. D.[来源:Z,xx,k.Com]
【解析】 由tan θ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝，
∴cos2＝＝＝＝＝.
【答案】C
【温馨提示】在解决本题时，最佳方法是将正切转化为正、余弦的比值，然后再应用公式计算.
四、基础知识梳理：
知识概述：
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦公式： ，
.
两角和与差的余弦公式：，
.
两角和与差的正切公式：，
.
【特别提醒】公式的条件：
两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.
两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：
知识点二 公式的变用
两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：
（其中φ角所在的象限由a,b的符号确定，φ的值由确定），在求最值、化简时起着重要的作用.
2. 变形为，
变形为.
变形为，
变形为来使用.
条件为：
知识点三 二倍角公式：
1.
常见变形：（1），
，；
，.
半角公式：，，
，.
五、常考题型：[来源:Zxxk.Com]
例如：1.化简：（1）.·等于( )
A．－sin α B．－cos α C．sin α D．cos α
【解析】原式＝＝＝cos α.【答案】D
（2）设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b
【解析】由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，
可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)
＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，
c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.
因为函数y＝sin x，x∈为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a>c>b.
【答案】D
2.给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题．
（1）＝________.
【解析】＝＝＝＝.
【答案】
（2）tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值为( )
A. B. C．－ D．－
【解析】因为tan 120°＝＝－，即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.
【答案】D
（3）【2019年高考全国Ⅱ卷文理】已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）
A． B． C． D．
【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.
，，，又，，又，，故选B．【答案】B
3.给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
（1）【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 .
【解析】由，得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，【答案】
（2）已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝________.
【解析】∵sin α＝－，α∈，∴cos α＝.
又∵＝2，∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．
展开并整理，得cos(α＋β)＝sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝.
【答案】[来源:学科网]
（3）已知sin＝，α∈.求：(1)cos α的值；(2)sin的值．
【解析】 (1)由sin＝，得sin αcos＋cos αsin＝，化简得sin α＋cos α＝，①
又sin2α＋cos2α＝1，且α∈②由①②解得cos α＝－.
(2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝，
∴cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
∴sin＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×＝－.
4.给值求角：“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围)．在选取函数时，遵循以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数．
(3)谨记“给值求角”问题口诀：
求角大小象限定，函数转化标准型．
例如：（1）已知cos α＝，cos(α－β)＝，若0＜β＜α＜，则β＝________.
【解析】 由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝＝ ＝.
由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜，又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝ ＝.
由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
∵β∈，∴β＝.
【答案】
（2）若,则x的值是( )
A. B. C. D.
【解析】因为,所以,所以,
即.又因为,所以.故选D.
【答案】D
（3）.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于( )
A. B. C. D.
【解析】 因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.
所以β＝.
【答案】 C
5.综合题型：
（1）【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】由，得或，，．在的零点个数是3，故选B．
【答案】B
（2）【2018年高考全国】已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为π，最大值为3 B． 的最小正周期为π，最大值为4
C． 的最小正周期为，最大值为3 D．的最小正周期为，最大值为4
【解析】本题考查的是二倍角公式及余弦型函数的周期及最值问题.根据题意有，所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
【答案】B
（3）【2018年高考全国】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換根据条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以.
【答案】B
（4）【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数的最小值为___________．
【解析】，
，当时，，故函数的最小值为．
【答案】
（5）【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公式?三角函数的最小正周期公式，函数，周期为.
【答案】
（6）(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【解析】因为sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②
所以①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，所以sin αcos β＋cos αsin β＝－，
所以sin(α＋β)＝－.
【答案】－
（7）设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
【解析】由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，
∴－π<α－β<π，∴α－β＝，∴即≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝sin.
∵≤α≤π，∴≤α＋≤，∴－1≤sin≤1，
即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]．
【答案】[－1,1]
（8）【2018江苏】已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．
【解析】(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α .
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈.所以sin(α＋β)＝＝，
所以tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，所以 tan 2α＝＝－.
所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
（9）(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝2＋2的值域．
【解析】(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，
故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝或θ＝.
(2)y＝2＋2
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－＝1－cos.
因此，所求函数的值域是
六、配套练习：
1.已知sin 2α＝，α∈，则sin的值为________.
【解析】 因为2＝－2α，则2α＝－2，所以sin 2α＝sin＝cos，
所以＝1－2sin2，所以sin2＝，又－α∈，所以sin＝.
【答案】
2.已知tan＝2，则＝________.
【解析】 已知tan＝2，展开得到＝2解得tan α＝，
则＝＝＝.
【答案】
3．若sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围为________．
【解析】因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋cos αsin β，且－1≤sin(α＋β)≤1，
所以－≤cos αsin β≤.
同理sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－cos αsin β，且－1≤sin(α－β)≤1，所以－≤cos αsin β≤.
综上可得－≤cos αsin β≤.
【答案】
4.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数，则的最小值是_____________．
【解析】，
所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，
所以当时，函数取得最小值，此时，
所以，故答案是.
【答案】
5.已知cos＝，则cos 2α等于( )
A. B.－ C. D.－
【解析】 由cos＝，得sin α＝，又由cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
【答案】 C
6.tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值为( )
A. B. C.－ D.－
【解析】 因为tan 120°＝＝－，即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.
【答案】 D
7.已知2coscos β－cos＝，则等于( )
A.－ B.－ C. D.
【解析】 2coscos β－cos＝2coscos β－cos
＝2coscos β－coscos β－sinsin β
＝coscos β－sinsin β
＝cos＝cos α，
∴cos α＝，sin2α＝1－cos2α＝，∴tan2α＝7，从而＝－.
【答案】 A
8.已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )
A. B．或 C. D．2kπ＋(k∈Z)
【解析】由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋β＝.
【答案】C
9.已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( )
A.－或0 B.或0 C.－ D.
【解析】因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin cos ＝1－＝2sin2，
解得sin ＝0或2cos ＝sin ，即tan ＝0或2，
又tan θ＝，当tan ＝0时，tan θ＝0；当tan ＝2时，tan θ＝－.
【答案】 A
10.已知圆C：x2＋(y－1)2＝R2与函数y＝2sin x的图象有唯一交点，且交点的横坐标为α，则等于( ) A.－2 B.2 C.－3 D.3[来源:学科网ZXXK]
【解析】根据题意，圆C：x2＋(y－1)2＝R2与函数y＝2sin x的图象有唯一交点，则圆C在交点处的切线与函数y＝2sin x在交点处的切线重合；又由交点的横坐标为α，则交点的坐标为(α，2sin α)，
对于y＝2sin x，其导数y′＝2cos x，则有y′|x＝α＝2cos α，则有＝－，
变形可得α＝2cos α(1－2sin α)＝2cos α－4sin αcos α，
则＝＝＝2.
【答案】 B
11.已知α∈，β∈，tan α＝，则( )
A.α＋β＝ B.α－β＝ C.α＋β＝ D.α＋2β＝
【解析】 tan α＝＝＝
＝＝＝tan，又因为α∈，β∈，所以α＝＋β，即α－β＝.
【答案】 B
12．tan 18°＋tan 12°＋tan 18°tan 12°＝( )
A. B． C. D.
【解析】 ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝＝，
∴tan 18°＋tan 12°＝(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝.
【答案】D
13.设函数，则的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
【解析】本题考查的是二倍角的降幂公式与三角函数的最小正周期，先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数的最小正周期．
，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．
【答案】B
14.已知tan α＝2.
(1)求tan的值；(2)求的值．
【解析】(1)tan＝＝＝－3.
(2)＝
＝＝＝＝1.
15.已知函数f(x)＝(sin ωx－cos ωx)cos ωx＋(ω＞0)的图象的一条对称轴为x＝π.
(1)求ω的最小值；
(2)当ω取最小值时，若f＝，－＜α＜0，求sin的值．
【解析】(1)f(x)＝(sin ωx－cos ωx)cos ωx＋＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin.因为函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝π，所以πω－＝＋kπ(k∈Z)，
所以ω＝1＋k(k∈Z)．又ω＞0，所以ω的最小值为1.
(2)由(1)知f(x)＝sin.则f＝sin＝sin＝.
因为－＜α＜0，所以－＜α＋＜.所以cos＞0，则cos＝.
所以sin＝sin＝－sin－cos＝－2××－2×2＋1＝－.
16.已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．
【解析】(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin，
由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝k＋(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，所以f(x)＝2sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由题意可得g(x)＝2sin，即g(x)＝2cos，
由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，
又α∈，故<α＋<，所以sin＝，
所以sin α＝sin＝sin·cos－cos·sin＝×－×＝.
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求cosC的最小值.
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；
（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值.
试题解析：由题意知，
化简得，
即.
因为,所以.
从而.
由正弦定理得.
由知,所以 ，
当且仅当时，等号成立.故 的最小值为.
18.已知函数，
(I)求最小正周期；
(II)求在区间上的最大值和最小值.
【解析】本题考点两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大值与最小值，体现数学思想与方法的应用.
(I) 由已知，有
.
所以的最小正周期.[来源:学科网ZXXK]
(II)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，
，所以在区间上的最大值为，最小值为.
【答案】(I); (II) ,.
