专题九：解三角形
一、考点要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
二、考题预测：正弦定理和余弦定理以及解三角形问题主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.
三、注意事项：解三角形问题是通过对任意三角形边长和角度关系的探索，利用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角形度量问题，一些与测量、航海、物理等和几何计算有关的实际问题，解三角形问题是高考重点考查的内容.由于本内容涉及到的概念、公式较多，因此这也是考生容易犯错的地方，例如在方向角、仰角与俯角、三角形内角和等地方都容易犯错误，因此在复习时要注意以下几点：
1.已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解.所以要注意讨论.
2.三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，要合理选择，切记不要混乱.尝试找最佳方法，思路要清晰.
3.对于测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题，要弄清方向角概念及其示意图，对于解三角形的应用研究问题，尽量根据题意作出示意图，增加直观性，再建立数学模型来处理.
例如：1. 在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
【解析】 由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
【答案】C
【温馨提示】本题是判断三角形解的情况的问题，突破口就是角B的情况，因此角B的正弦值就非常重要，本题通过正弦定理的计算，直接求得其正弦值是大于1的，这样的角是不存在的，所以此三角形是不存在的.
2.在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于________．
【解析】由正弦定理知＝，则sin B＝＝＝.又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°.
【答案】45°
【温馨提示】本题与上题的情况类似，也是要先由正弦定理来求角B的正弦值，但因题中给出的条件是a与b的两边从数值上看是大小不同的，所以求出来的角B的度数就要小于A的，这就需要讨论，因此本题的角B是锐角，这是易失分的地方.
3.的内角，，的对边分别为，，，若，则的值
为（ ）
A． B． C． D．或
【解析】由，结合正弦定理可得．
即，故．又，可得，故或．故选D．
【答案】D
【温馨提示】本题中所给的条件是一个含边与角的等式，同时选项中是关于角的问题，因此本题的最佳处理方式是将等式中的边转化为角的形式，这就需要用正弦定理来处理，同时还要关注的是对角的讨论.本题的易错点是将原等式的边化角还是角化边的问题，这就要求考生的审题能力及思路要清晰.否则试来试去既耽误时间，又易做错.
4.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为( )
A. B. C. D.
【解析】如图所示,AO⊥平面OCD.CD=100.,..设OA=h.在Rt△OAD，则OD=h.同理可得：.
在△OCD中,.
∴，化为：，[来源:Z#xx#k.Com]
解得h=50.因此水柱的高度是50m.故选：A.
【答案】A
【温馨提示】在解决本题的问题时，要求考生理解仰角的概念，会将实际问题转化成数学模式，能将数学模式转化成三角形问题来解决，因此对考生的要求还是很高的.
四、基础知识梳理：
1.正、余弦定理、三角形面积公式
(1)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C；
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝；[来源:Zxxk.Com]
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
(3)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
【温馨提示】1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.
2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.
3.三角形中判断边、角关系的具体方法：
(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.
4．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
5．三角形中的三角函数关系：
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
6．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acosB．
7.三角形基本量的求解：
（1）求边：已知△ABC中的某些条件(a，b，c和A，B，C中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a＝，b＝，c＝，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
（2）求角：已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
已知△ABC中某些条件求角时，可用以下公式sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos A＝，cos B＝，cos C＝.
已知△ABC的外接圆半径R及边，可用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝.
8.判定三角形形状的2种常用途径
9.求三角形面积的方法：
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
10．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
11.1） 仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4）区分两种角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
5）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
12. 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
五、常考题型：
（一）.三角形基本量的求解
（1）求解三角形中的边和角等基本量，需要根据正弦、余弦定理，结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；
第三步：求结果.
(2)已知△ABC的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得．
(3)涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性．
(4)注意三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)的应用．
(5)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式．
（6）判定三角形的形状的注意点：[来源:学科网ZXXK]
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
例如：
1.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则当角取得最大值时，的周长为（ ）
A． B． C． D．
2.在平面四边形中，，，，，，
则（ ）
A． B． C． D．
3.在中，三边长分别为，，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4.在中，角，，所对的边分别为，，，三内角，，成等差数列，若，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.在中，内角，，的对边分别为，，，若，
且，则（ ）
A． B． C． D．
6.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，·＝－2，且满足sin A＋sin C＝2sin B，则该三角形的外接圆的半径R为( )A. B. C. D.2
7.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
8.【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
9. 在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
10.【2019·全国卷Ⅰ】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sin C.
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)若cos B＝，a＝3，求c的值．
12. 【2019年高考全国Ⅰ卷】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
（二）.判别三角形形状：
1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
2.若的三个内角满足，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
（三）. 正、余弦定理在平面几何中的应用：[来源:学科网]
1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．
2.如图，在△ABC中，BC＝2，∠ABC＝，AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于点D，E，且DE＝，则BE2＝________.
3.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.
(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．
（四）.正弦、余弦定理的实际应用
1.用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题或物理问题等.
2.解决三角形应用题的基本思路
实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解.
3.用正、余弦定理解决问题的一般步骤：
(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，选择便于计算的定理.
1.某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°的方向上，距A 12 海里处，灯塔C在A的北偏西30°的方向上，距A 8 海里处，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°的方向上，则此时灯塔C与游轮的距离为( )
A.20 海里 B.8 海里 C.23 海里 D.24 海里
2.甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
3.如图，设点A，B在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为( )
A. m B．25 m
C．50 m D．50 m
4.某小区拟将如图的一直角三角形区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形，
在其内建造文化景观．已知，，则区域面积（单位：）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（五）解三角形与三角函数的综合问题：
1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．
六、配套练习：
1．的内角，，的对边分别为，，，若，
则的值为 ．
2．在中，，，分别是角，，的对边，
若，，且，则的最大值是 ．
3.在一幢10 m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为________m.
4.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
5.△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若B＝，c＝2，且sin A＝3sin C．AC的中点为D，则BD＝________.
6.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
7．【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
8.在中，角A，B，C的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于( )
A．1 B．
C. D．2
10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=（ ）
A． B． C． D．
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则c等于( )
A．1 B．2
C.－1 D．
12.设锐角中，角的对边分别为，且是与的等差中项.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
13.【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.
15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.
(1)求△ABC的外接圆直径；
(2)求a＋c的取值范围．
专题九：解三角形
一、考点要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
二、考题预测：正弦定理和余弦定理以及解三角形问题主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.
三、注意事项：解三角形问题是通过对任意三角形边长和角度关系的探索，利用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角形度量问题，一些与测量、航海、物理等和几何计算有关的实际问题，解三角形问题是高考重点考查的内容.由于本内容涉及到的概念、公式较多，因此这也是考生容易犯错的地方，例如在方向角、仰角与俯角、三角形内角和等地方都容易犯错误，因此在复习时要注意以下几点：
1.已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解.所以要注意讨论.
2.三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，要合理选择，切记不要混乱.尝试找最佳方法，思路要清晰.
3.对于测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题，要弄清方向角概念及其示意图，对于解三角形的应用研究问题，尽量根据题意作出示意图，增加直观性，再建立数学模型来处理.
例如：1. 在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
【解析】 由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
【答案】C
【温馨提示】本题是判断三角形解的情况的问题，突破口就是角B的情况，因此角B的正弦值就非常重要，本题通过正弦定理的计算，直接求得其正弦值是大于1的，这样的角是不存在的，所以此三角形是不存在的.
2.在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于________．
【解析】由正弦定理知＝，则sin B＝＝＝.又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°.
【答案】45°
【温馨提示】本题与上题的情况类似，也是要先由正弦定理来求角B的正弦值，但因题中给出的条件是a与b的两边从数值上看是大小不同的，所以求出来的角B的度数就要小于A的，这就需要讨论，因此本题的角B是锐角，这是易失分的地方.
3.的内角，，的对边分别为，，，若，则的值
为（ ）
A． B． C． D．或
【解析】由，结合正弦定理可得．
即，故．又，可得，故或．故选D．
【答案】D
【温馨提示】本题中所给的条件是一个含边与角的等式，同时选项中是关于角的问题，因此本题的最佳处理方式是将等式中的边转化为角的形式，这就需要用正弦定理来处理，同时还要关注的是对角的讨论.本题的易错点是将原等式的边化角还是角化边的问题，这就要求考生的审题能力及思路要清晰.否则试来试去既耽误时间，又易做错.
4.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为( )
A. B. C. D.
【解析】如图所示,AO⊥平面OCD.CD=100.,..设OA=h.在Rt△OAD，则OD=h.同理可得：.
在△OCD中,.
∴，化为：，
解得h=50.因此水柱的高度是50m.故选：A.
【答案】A
【温馨提示】在解决本题的问题时，要求考生理解仰角的概念，会将实际问题转化成数学模式，能将数学模式转化成三角形问题来解决，因此对考生的要求还是很高的.
四、基础知识梳理：
1.正、余弦定理、三角形面积公式
(1)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C；
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝；
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
(3)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A.[来源:学科网ZXXK]
【温馨提示】1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.
2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.
3.三角形中判断边、角关系的具体方法：
(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.
4．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
5．三角形中的三角函数关系：
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
6．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acosB．
7.三角形基本量的求解：
（1）求边：已知△ABC中的某些条件(a，b，c和A，B，C中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a＝，b＝，c＝，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
（2）求角：已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
已知△ABC中某些条件求角时，可用以下公式sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos A＝，cos B＝，cos C＝.
已知△ABC的外接圆半径R及边，可用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝.
8.判定三角形形状的2种常用途径
9.求三角形面积的方法：
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
10．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
11.1） 仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4）区分两种角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
5）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
12. 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
五、常考题型：
（一）.三角形基本量的求解
（1）求解三角形中的边和角等基本量，需要根据正弦、余弦定理，结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；
第三步：求结果.
(2)已知△ABC的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得．
(3)涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性．
(4)注意三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)的应用．
(5)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式．
（6）判定三角形的形状的注意点：
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
例如：
1.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则当角取得最大值时，的周长为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知，得，整理得．
由余弦定理，得，当且仅当时等号成立，
此时角取得最大值，将，代入，可得．
又，所以，，故的周长为．故选A．
【答案】A
2.在平面四边形中，，，，，，
则（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图，
在中，，，，所以．
又，所以．
在中，由余弦定理得，
所以．故选C．【答案】C
3.在中，三边长分别为，，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由条件知长为的边对应的角最小，设为，则由余弦定理，
得，解得或（舍去），
则三边长分别为，，，且，所以的面积.
【答案】A
4.在中，角，，所对的边分别为，，，三内角，，成等差数列，若，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】方法一：由，，成等差数列，，得．
由正弦定理，得，
所以．
因为，所以，故选C．
方法二：由，，成等差数列，，得，
又，
当且仅当时等号成立，∴，又，则，故选C．
【答案】C
5.在中，内角，，的对边分别为，，，若，
且，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由及正弦定理，
可得，
即，则．
因为，所以，即．
因为，所以，所以为锐角，所以．故选A．
【答案】A
6.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，·＝－2，且满足sin A＋sin C＝2sin B，则该三角形的外接圆的半径R为( )A. B. C. D.2
【解析】由题意，因为·＝accos(π－B)＝－ac＝－2，所以ac＝4.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.
又因为sin A＋sin C＝2sin B，所以a＋c＝2b，所以＝(a＋c)2－3ac，
所以＝12，所以(a＋c)2＝16，所以a＋c＝4，所以b＝2，所以2R＝＝＝，
所以R＝.【答案】 B
7.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），所以，
【答案】
8.【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，
，，所以.
.
【答案】，
9. 在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
【解析】 (1)由题意得，b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cos C＝，
得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)．所以a＝3.
(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由三角形的面积公式得absin∠ACB＝c×CD，所以CD＝＝＝，
即AB边上的高CD＝.
法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由正弦定理得＝＝.即sin A＝，
在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×＝.即AB边上的高CD＝.
10.【2019·全国卷Ⅰ】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sin C.
【解析】 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.因为0°
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，[来源:Zxxk.Com]
即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)若cos B＝，a＝3，求c的值．
【解析】(1)由正弦定理可得b2＋c2＝a2＋bc，由余弦定理得cos A＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由(1)可知sin A＝，因为cos B＝，B为△ABC的内角，所以sin B＝，
故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.
由正弦定理＝得c＝＝＝1＋.
12. 【2019年高考全国Ⅰ卷】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．因为，所以．
（2）由（1）知，
由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
【答案】（1）；（2）.
（二）.判别三角形形状：
1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【解析】 (1)法一：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
由正弦定理知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，得sin(B＋C)＝sin Asin A.
又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形.
【答案】B
2.若的三个内角满足，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
【解析】由题意，利用正弦定理可得，
则可设，，，，则，
所以是钝角，所以是钝角三角形，故选C．
【答案】C
（三）. 正、余弦定理在平面几何中的应用：
1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．
【解析】设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.
在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.
在△BDC中，＝，∴sin C＝＝.
【答案】
2.如图，在△ABC中，BC＝2，∠ABC＝，AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于点D，E，且DE＝，则BE2＝________.[来源:Zxxk.Com]
【解析】 如图，连接CD，由题设，有∠BDC＝2A，所以＝＝，故CD＝.
又DE＝CDsin A＝＝，所以cos A＝，而A∈(0，π)，故A＝，因此△ADE为等腰直角三角形，所以AE＝DE＝.在△ABC中，∠ACB＝，所以＝，故AB＝＋1，
在△ABE中，BE2＝(＋1)2＋2－2×(＋1)××＝＋.【答案】 ＋
3.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.
(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．
【解析】(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝，
又∠BCD＝2∠ABD，在平面四边形ABCD中，∠BCD∈(0，π)，所以∠ABD∈，
所以cos∠ABD＝.在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝.
(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝.
又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，
∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，
所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.
在△CBD中，由正弦定理＝，
得CD＝＝＝，所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.
（四）.正弦、余弦定理的实际应用
1.用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题或物理问题等.
2.解决三角形应用题的基本思路[来源:学*科*网]
实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解.
3.用正、余弦定理解决问题的一般步骤：
(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，选择便于计算的定理.
1.某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°的方向上，距A 12 海里处，灯塔C在A的北偏西30°的方向上，距A 8 海里处，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°的方向上，则此时灯塔C与游轮的距离为( )
A.20 海里 B.8 海里 C.23 海里 D.24 海里
【解析】如图所示，在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ADB＝60°，
∴B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，∴AD＝＝＝24.
在△ACD中，AD＝24，AC＝8，∠CAD＝30°，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝192，
∴CD＝8.
【答案】 B
2.甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
【解析】设两船在C处相遇，则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，
由正弦定理得＝＝，所以sin∠BAC＝.
又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.所以甲船应沿北偏东30°方向前进．
【答案】B
3.如图，设点A，B在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为( )
A. m B．25 m
C．50 m D．50 m
【解析】在△ABC中，∠ABC＝30°，由正弦定理得＝，即＝，所以AB＝50(m)，
【答案】C
4.某小区拟将如图的一直角三角形区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形，
在其内建造文化景观．已知，，则区域面积（单位：）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意知在直角三角形中，，
设，，则，，
所以，
在中，，所以，
所以，
所以（其中），
所以正三角形的面积．
【答案】D
（五）解三角形与三角函数的综合问题：
1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．
【解析】(1)因为(2a－c)cos B－bcos C＝0，所以2acos B－ccos B－bcos C＝0，
由正弦定理得2sin Acos B－sin Ccos B－cos Csin B＝0，即2sin Acos B－sin(C＋B)＝0，
又因为C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin A.所以sin A(2cos B－1)＝0.
在△ABC中，sin A≠0，所以cos B＝，又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为B＝，所以f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，
令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.
六、配套练习：
1．的内角，，的对边分别为，，，若，
则的值为 ．
【解析】由正弦定理，得，
展开得到
化简得，即．
由三角形内角和定理，得，故．
【答案】
2．在中，，，分别是角，，的对边，
若，，且，则的最大值是 ．
【解析】∵，∴，，
∴．
∵，∴．∵，
且，∴，∴，即．
∵，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最大值为．
【答案】
3.在一幢10 m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为________m.
【解析】如图所示过房屋顶C作塔AB的垂线CE，垂足为E，则CD＝10，∠ACE＝60°，∠BCE＝30°，
所以BE＝CD＝10，BC＝2CD＝20，
EC＝BD＝＝10.因为∠ACE＝60°，∠AEC＝90°，所以AC＝2CE＝20，
所以AE＝＝30.所以AB＝AE＋BE＝30＋10＝40.
【答案】40
4.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
【解析】由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.
又PB为公共边，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，所以P，Q两点间的距离为900 m.
【答案】 900[来源:学科网]
5.△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若B＝，c＝2，且sin A＝3sin C．AC的中点为D，则BD＝________.
【解析】sin A＝3sin C．由正弦定理得，a＝3c，∴a＝6.
由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，∴b＝2.
∴cos A＝＝＝－.∵D是AC的中点，∴AD＝.
∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋()2－2×2××＝13.∴BD＝.
【答案】
6.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），所以，
【答案】
7．【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，
，，所以.
.
【答案】，
8.在中，角A，B，C的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意知，所以，故选A.
【答案】A
9．在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于( )
A．1 B．
C. D．2
【解析】法一：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－.由余弦定理，
得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，所以BC＝3，
所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×××＝，所以BC边上的高h＝＝＝1.
法二：在△ABC中，因为tan∠BAC＝－3<0，所以∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于，结合选项可知选A.
【答案】A
10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=（ ）
A． B． C． D．
【解析】本题考点是三角形内角和公式，两角和的正弦公式，辅助角公式及正弦定理的应用.
由题意可知所以有，所以原等式可整理成:
,也就是：，
即，因为是三角形△ABC，所以有.由正弦定理得：，得
【答案】B
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则c等于( )
A．1 B．2
C.－1 D．
【解析】解法1：(余弦定理)由a2＝b2＋c2－2bccosA得3＝1＋c2－2c×1×cos＝1＋c2－c，
所以c2－c－2＝0.所以c＝2或－1(舍去)．
法2：(正弦定理)由＝，得＝，所以sinB＝，
因为b【答案】B
12.设锐角中，角的对边分别为，且是与的等差中项.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
【解析】.又为锐角，.
（Ⅱ），
，当且仅当时，取等号.
的面积.
即面积的最大值为（当且仅当时，等号成立）.
【答案】(1)，.
13.【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】（1）在中，由正弦定理，得，
又由，得，即．又因为，得到，．
由余弦定理可得．
（2）由（1）可得，
从而，，故
．
【答案】（1）；（2）.
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.
【解析】由题意知，
化简得，即.
因为,所以.从而. 由正弦定理得.
由知,
所以 ，当且仅当时，等号成立.故 的最小值为.
15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.
(1)求△ABC的外接圆直径；
(2)求a＋c的取值范围．
【解析】(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，
又因为A＋B＋C＝π，所以B＝.
根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝＝＝1.
(2)法一：由B＝，知A＋C＝，可得0＜A＜.
由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，＝＝＝1，
所以a＋c＝sin A＋sin C＝sin A＋sin ＝＝sin.
因为0＜A＜，所以＜A＋＜.所以＜ sin≤1，从而＜sin≤，
所以a＋c的取值范围是.
法二：由(1)知，B＝，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32＝(a＋c)2(当且仅当a＝c时，取等号)，
因为b＝，所以(a＋c)2≤3，即a＋c≤，又三角形两边之和大于第三边，所以＜a＋c≤，
所以a＋c的取值范围是.
