专题十：平面向量
一、考点要求：1.平面向量的概念及线性运算中考点要求：了解向量的实际背景、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义、理解向量的几何表示、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义、掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义、了解向量线性运算的性质及其几何意义.
2. 平面向量的基本定理及坐标表示中考点要求：了解平面向量基本定理及其意义、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算、理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.平面向量的数量积中考点要求：理解平面向量数量积的含义及其物理意义、了解平面向量的数量积与向量投影的关系、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
二、考题预测：
1. 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目.偶尔会在解答题中作为工具出现.
2. 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.
3. 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.
三、注意事项：1.注意平面向量的两种形式（几何形式与坐标形式）的基本运算.注意易混淆的地方，向量的数量积不满足结合律与消去律；
2.注重向量的工具作用，因此平面向量常常与平面几何、三角函数、解析几何相结合，做为解决这些问题的工具，紧紧围绕数形结合思想，扬长避短，充分利用平面向量的优势，起到事半功倍的作用.
3.备考重点：
(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；
(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.
四、基础知识梳理：
（一）平面向量基本定理及其应用：
1.平面向量基本定理：如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2.平面向量基本定理及其应用策略：平面向量基本定理又称向量的分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础.
3.用平面向量基本定理解决问题常用的思路是：先选择一组合适的基底，然后用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．这对基底没有给定的情况下，合理的选取基底解决问题带来很多意想不到的便利.要熟练应用分点及中点的向量表达式.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
4.平面向量的坐标运算
1）平面向量的正交分解;把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2)平面向量的坐标表示:
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．
(2)若，则．
3）平面向量的坐标运算
(1)若，则；
(2)若，则．
(3)设，则，.
5.平面向量的坐标运算技巧：向量的坐标表示又是向量的代数表示，是向量数与形的完美结合.向量的坐标运算主要利用加、减、乘的运算法则进行的运算，如果已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量坐标，提示向量的坐标一定是有向线段的终点坐标减去起点坐标.
比如：，则[来源:Z。xx。k.Com]
6.注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．
（二）平面向量的数量积及应用：
1.向量的数量积：已知两个非零向量、，它们的夹角为，则·=.
若=(,),=(,)，则·=.
2.向量的模：若=，则||=.
3.两向量的夹角余弦值：.
4.向量垂直的等价条件：.
5.两个向量的夹角：
（1）定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB＝θ 叫做向量与的夹角．
夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，
夹角θ＝180°.
（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥.
6.平面向量数量积：
（1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，
即＝，其中θ是与的夹角．规定.
当⊥时，θ＝90°，这时.
（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
7.向量数量积的性质：
（1），.
（2）(θ为与的夹角).
（3）.
8.数量积的运算律
（1）交换律：.
（2）分配律：
（3）对.
9.数量积的坐标运算：设，有下面的结论：[来源:学科网]
（1）.
（2）.
（3）
（4）(θ为与的夹角).
（三）常见的向量法解决简单的平面几何问题：
1.垂直问题:
(1)对非零向量与, .
(2)若非零向量 .
2.平行问题:
(1)向量与非零向量共线,当且仅当存在唯一一个实数,使得 .
(2)设是平面向量,则向量与非零向量共线 .
3.求角问题:
(1)设是两个非零向量,夹角记为,则 .
(2)若是平面向量,则 .
4.距离（长度）问题:
(1)设,则 ,即 .
(2)若,且,则 .
【答案】1.
2.(1),(2)
3.(1),(2).
4.(1)(2).
五、常考题型：
（一）平面向量的概念：
1.给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.
其中真命题的序号是________.
【解析】 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
②正确，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
③错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
④错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线.
故填②.
【答案】 ②
（二）平面向量的线性运算：
1.中，点为边的中点，点为边的中点，交于点，若，则=（ ）
A. B. C. D.
【解析】三点共线，；同理由三点共线得解得故，故选B．
【答案】B
2.【2018·全国Ⅰ】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于( )
A.－ B.－ C.＋ D.＋
【解析】 作出示意图如图所示.
＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.【答案】A
3.在△ABC中，＝，＝2，＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A.－ B. C.－ D.
【解析】因为＝，＝2，所以＝＋＝，所以＝＋，
所以＝－＝－＋，
因为＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝－.故选A.
【答案】A
4.如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【解析】设正方形边长为，以为原点建立平面直角坐标系，
则,，依题意，，即，解得.
【答案】B
（三）平面向量的基本定理：
1.设分别为的三边的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，，
同理，
．
【答案】A
2.在平行四边形中，分别为边的中点，若（），则_______.
【解析】本题考点平面向量的加法法则、平面向量基本定理的应用，由题意可知，
又因为，所以
所以有，解得，所以.
【答案】2
3.如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；(2)若＝λ，求实数λ的值.
【解析】(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，
得＋＝2，所以＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由题意知，∥，故设＝x.
因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b.所以(2－λ)a－b＝x.
因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故λ＝.
（四）平面向量的数量积及坐标运算：
1.已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为( )
A.(－2,3) B.(2，－3) C.(－2,1) D.(2，－1)
【解析】设D(x，y)，则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得故选D.
【答案】D
2.已知向量＝(k，12)，＝(4,5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是( )
A.－ B.－ C. D.
【解析】＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2).
∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－.
【答案】 A
3．【2019年高考全国I卷】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解析】本题考查的是向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．
【答案】B
4.【2019年高考全国II卷】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）
A．?3 B．?2 C．2 D．3
【解析】本题考点为平面向量的数量积.由，，得，则，．故选C．
【答案】C
5.【2018年高考全国II卷】已知向量，满足，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【解析】本题主要考查平面向量的数量积.因为所以选B.
【答案】B
6.【2019年高考全国III卷】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.
【解析】因为，，所以，
，所以，所以 ．
【答案】
7.【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．
【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.因为∥，，所以，因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，，所以.
所以.
【答案】
8.【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．
【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．
，
，
得即故
【答案】.
（五）平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用：
1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设＝a，＝b，则向量等于( )
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
【解析】 设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，所以∠BAC＝，∠ACB＝，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，
则根据圆的性质得BD＝CD＝AB，
又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，所以＝＋＝a＋b.
【答案】 C
2.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________.
【解析】 因为＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，
所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC为直角三角形.
【答案】直角三角形
3.已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )
A. B. C. D.
【解析】∵m∥n，∴sin A(sin A＋cos A)－＝0，
∴2sin2A＋2sin Acos A＝3，∴1－cos 2A＋sin 2A＝3，∴sin＝1，
∵A∈(0，π)，∴2A－∈.因此2A－＝，解得A＝，故选C.
【答案】C
4.椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是 .
【解析】法一：F1（－,0）F2（,0）,设P（3cos,2sin）.
为钝角，.
∴
=9cos2－5＋4sin2=5 cos2－1<0.
解得： ∴点P横坐标的取值范围是（）.
【答案】（）
法二：F1（－,0）F2（,0）,设P（x,y）.
为钝角，∴ =.
解得：. ∴点P横坐标的取值范围是（）.
【答案】（）
5.已知向量，．设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，，，求（）的取值范围.
【解析】 由正弦定理得或 .
因为，所以.
因为+.所以,
，,所以 .
【答案】
[来源:Z.xx.k.Com]
[来源:Z_xx_k.Com]
六、配套练习：
1.设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 存在实数λ，使得a＝λb，说明向量a，b共线，当a，b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立，当a，b反向时，|a＋b|＝|a|＋|b|不成立，所以，充分性不成立.当|a＋b|＝|a|＋|b|成立时，有a，b同向，存在实数λ，使得a＝λb成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的必要不充分条件.故选B.
【答案】 B
2.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于( )
A.＋ B.＋ C.＋ D.＋
【解析】根据题意得，＝(＋)，
又＝＋，＝，所以＝＝＋.故选D.
【答案】 D
3.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则x＋2y的最小值为( )
A．2 B． C. D．
【解析】由已知可得＝×(＋)＝＋＝＋，又M，G，N三点共线，故＋＝1，∴＋＝3，则(当且仅当x＝y时，取“＝”号)．【答案】C
4.已知平面向量a＝(k，2)，b＝(1,1)，k∈R，则k＝2是a与b同向的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】若a与b同向，则a＝mb(m>0)，即(k，2)＝m(1,1)，则得m＝2，k＝2，
即k＝2是a与b同向的充要条件，故选C.
【答案】 C
5.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A.2 B. C.2 D.4
【解析】 因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，
又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
【答案】 A[来源:学科网ZXXK]
6.已知非零向量m，n满足|n|＝4|m|，且m⊥(2m＋n)，则m，n的夹角为( )
A. B. C. D.
【解析】 ∵|n|＝4|m|，且m⊥(2m＋n)， ∴m·(2m＋n)＝2m2＋m·n＝2|m|2＋|m||n|cos〈m，n〉＝0，
且|m|≠0，|n|≠0，∴2|m|＋|n|cos〈m，n〉＝0，∴cos〈m，n〉＝－＝－，
又0≤〈m，n〉≤π，∴〈m，n〉＝.故选D.
【答案】 D
7.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝________.
【解析】由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，
因为＝x＋y，所以＝＋，
所以解得所以x－y＝2.
【答案】 2
8.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________.
【解析】 若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线.
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
【答案】k≠1
9.已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________．
【解析】如图所示，以OA、OB为边作平行四边形OACB，
则由|＋|＝|－|得，
平行四边形OACB是矩形，⊥.
由图象得，直线y＝－x＋a在y轴上的截距为±2.
【答案】±2
10.在平行四边形ABCD中，AB＝4，·＝4，点P在边CD上，则·的取值范围是________.
【解析】因为点P在边CD上，所以设＝λ＝λ(0≤λ≤1)，
则＝＋＝＋λ，＝(1－λ)，
所以·＝(＋λ)·(1－λ)＝4(1－λ)＋λ(1－λ)×16＝－16λ2＋12λ＋4＝－2＋，
又0≤λ≤1，所以0≤·≤.
【答案】
11.已知中，,边上的高为，求点和向量的坐标.
【解析】设点D坐标（x，y），由AD是BC边上的高可得⊥，且B、D、C共线，
∴ ∴
∴ ∴
解得 ∴点D坐标为（1，1），＝（－1，2）.
【答案】＝（－1，2）
12.已知正方形的边长为，点分别为的中点，求的值.
【解析】以为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.
由已知条件,可得
13.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积.
【解析】(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，
在△ABC中，由正弦定理得，sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，sin A＝2sin Acos C，
又sin A≠0，所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin∠ACB＝2.
14. 已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
【解析】（1）因为，，a∥b，所以．
若，则，与矛盾，故．
于是．又，所以．
（2）．
因为，所以，从而．
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值．
【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值．
专题十：平面向量
一、考点要求：1.平面向量的概念及线性运算中考点要求：了解向量的实际背景、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义、理解向量的几何表示、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义、掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义、了解向量线性运算的性质及其几何意义.
2. 平面向量的基本定理及坐标表示中考点要求：了解平面向量基本定理及其意义、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算、理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.平面向量的数量积中考点要求：理解平面向量数量积的含义及其物理意义、了解平面向量的数量积与向量投影的关系、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
二、考题预测：
1. 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目.偶尔会在解答题中作为工具出现.
2. 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.
3. 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.
三、注意事项：1.注意平面向量的两种形式（几何形式与坐标形式）的基本运算.注意易混淆的地方，向量的数量积不满足结合律与消去律；
2.注重向量的工具作用，因此平面向量常常与平面几何、三角函数、解析几何相结合，做为解决这些问题的工具，紧紧围绕数形结合思想，扬长避短，充分利用平面向量的优势，起到事半功倍的作用.
3.备考重点：
(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；
(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.
四、基础知识梳理：
（一）平面向量基本定理及其应用：
1.平面向量基本定理：如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2.平面向量基本定理及其应用策略：平面向量基本定理又称向量的分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础.
3.用平面向量基本定理解决问题常用的思路是：先选择一组合适的基底，然后用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．这对基底没有给定的情况下，合理的选取基底解决问题带来很多意想不到的便利.要熟练应用分点及中点的向量表达式.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
4.平面向量的坐标运算
1）平面向量的正交分解;把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2)平面向量的坐标表示:
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．
(2)若，则．
3）平面向量的坐标运算
(1)若，则；
(2)若，则．
(3)设，则，.
5.平面向量的坐标运算技巧：向量的坐标表示又是向量的代数表示，是向量数与形的完美结合.向量的坐标运算主要利用加、减、乘的运算法则进行的运算，如果已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量坐标，提示向量的坐标一定是有向线段的终点坐标减去起点坐标.
比如：，则
6.注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．
（二）平面向量的数量积及应用：
1.向量的数量积：已知两个非零向量、，它们的夹角为，则·=.
若=(,),=(,)，则·=.
2.向量的模：若=，则||=.
3.两向量的夹角余弦值：.
4.向量垂直的等价条件：.
5.两个向量的夹角：
（1）定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB＝θ 叫做向量与的夹角．
夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，
夹角θ＝180°.
（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥.
6.平面向量数量积：
（1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，
即＝，其中θ是与的夹角．规定.
当⊥时，θ＝90°，这时.
（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
7.向量数量积的性质：
（1），.
（2）(θ为与的夹角).
（3）.
8.数量积的运算律
（1）交换律：.
（2）分配律：
（3）对.
9.数量积的坐标运算：设，有下面的结论：
（1）.
（2）.
（3）
（4）(θ为与的夹角).
（三）常见的向量法解决简单的平面几何问题：[来源:Zxxk.Com]
1.垂直问题:
(1)对非零向量与, .
(2)若非零向量 .
2.平行问题:
(1)向量与非零向量共线,当且仅当存在唯一一个实数,使得 .
(2)设是平面向量,则向量与非零向量共线 .
3.求角问题:
(1)设是两个非零向量,夹角记为,则 .
(2)若是平面向量,则 .
4.距离（长度）问题:
(1)设,则 ,即 .
(2)若,且,则 .
【答案】1.
2.(1),(2)
3.(1),(2).
4.(1)(2).
五、常考题型：
（一）平面向量的概念：
1.给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.[来源:Zxxk.Com]
其中真命题的序号是________.
（二）平面向量的线性运算：
1.中，点为边的中点，点为边的中点，交于点，若，则=（ ）
A. B. C. D.
2.【2018·全国Ⅰ】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于( )
A.－ B.－ C.＋ D.＋
3.在△ABC中，＝，＝2，＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A.－ B. C.－ D.
4.如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．2
（三）平面向量的基本定理：
1.设分别为的三边的中点，则（ ）
A. B. C. D.
2.在平行四边形中，分别为边的中点，若（），则_______.[来源:学科网ZXXK]
3.如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
(1)用a和b表示向量，；(2)若＝λ，求实数λ的值.
（四）平面向量的数量积及坐标运算：
1.已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为( )
A.(－2,3) B.(2，－3) C.(－2,1) D.(2，－1)
2.已知向量＝(k，12)，＝(4,5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是( )
A.－ B.－ C. D.
3．【2019年高考全国I卷】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4.【2019年高考全国II卷】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）
A．?3 B．?2 C．2 D．3
5.【2018年高考全国II卷】已知向量，满足，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
6.【2019年高考全国III卷】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.
7.【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．
8.【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．
（五）平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用：
1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设＝a，＝b，则向量等于( )
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
2.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________.
3.已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )
A. B. C. D.
4.椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是 .
5.已知向量，．设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，，，求（）的取值范围.
六、配套练习：
1.设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于( )
A.＋ B.＋ C.＋ D.＋
3.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则x＋2y的最小值为( )
A．2 B． C. D．
4.已知平面向量a＝(k，2)，b＝(1,1)，k∈R，则k＝2是a与b同向的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A.2 B. C.2 D.4
6.已知非零向量m，n满足|n|＝4|m|，且m⊥(2m＋n)，则m，n的夹角为( )
A. B. C. D.
7.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝________.
8.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________.
9.已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________．
10.在平行四边形ABCD中，AB＝4，·＝4，点P在边CD上，则·的取值范围是________.
11.已知中，,边上的高为，求点和向量的坐标.
12.已知正方形的边长为，点分别为的中点，求的值.[来源:学*科*网Z*X*X*K]
13.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积.
14. 已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
