高中数学人教A版选修2-2 利用导数解决综合问题（2） 课件（154张ppt）

(共154张PPT)
高二年级 数学
利用导数解决综合问题（2）
导数常见题型
类型一 利用导数求有关切线问题
类型二 利用导数求函数的极值、最值
类型三 利用导数求单调区间
类型四 利用导数证明不等式
类型五 利用导数解决函数零点个数
导数常见题型
类型六 不等式恒成立时，求参数的取值范围
类型七 已知单调性，极值、最值，存在性问题，
方程有解等问题，求参数值或范围
类型八 导数综合问题
……
例 设曲线 ( 为自然对数的底数)上任
意一点处的切线为 ，总存在曲线
上某点处的切线 ，使得 ，则实数a的取值范围为
(　　 )
A．
B．
C．
D．
将 转化为
思路分析
将 转化为
求函数 导数
思路分析
将 转化为
求函数 导数
思路分析
导数的几何意义
分析：
由 ，得 .



先求出 上任意一点处的切线斜率
分析：
由 ，得 .



先求出 上任意一点处的切线斜率
再求出 上任意一点处的切线斜率
由 得 .
分析：
由 ，得 .



先求出 上任意一点处的切线斜率
再求出 上任意一点处的切线斜率
由 得 .
由导数的几何意义建立斜率关系式



将 转化为：



将 转化为：
存在 R，使得对于任意 R



都成立.
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
0
1
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
依题
0
1
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
依题 所以 .
0
1
题后反思
导数乘积（数）

导数几何意义
集合间的关系
（比端点）

（形）
例 设定义在R上的函数 f(x)是最小正周期为2
的偶函数， 是 的导函数．当x [0， ]时，
；当x∈(0， )且 时，
则函数 在[-3π，3π]上的零点个数为
(　　)
A．4 B．5 C．6 D．8

用函数性质
（奇偶性、周期性）
思路
分析
用函数性质
（奇偶性、周期性）
思路
分析
判断函数在
取值范围
[-3π，3π]
思路
分析
利用 定函数单调性
用函数性质
（奇偶性、周期性）
思路
分析
利用 定函数单调性
判断函数在
取值范围
作出两个函数的简图
[-3π，3π]
用函数性质
（奇偶性、周期性）
思路
分析
利用 定函数单调性
判断函数在
取值范围
两个图象交点个数即为 零点个数
作出两个函数的简图
[-3π，3π]
解： 当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，
因为f(x)是偶函数，
解： 当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，
因为f(x)是偶函数，
所以，当x∈[-π ，0]时，0≤f(x)≤1.


解： 当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，
因为f(x)是偶函数，
所以，当x∈[-π ，0]时，0≤f(x)≤1.
即当x∈[-π ， π]时，0≤f(x)≤1.
解： 当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，
因为f(x)是偶函数，
所以，当x∈[-π ，0]时，0≤f(x)≤1.
即当x∈[-π ， π]时，0≤f(x)≤1.
因为f(x)最小正周期为2π，所以
解： 当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，
因为f(x)是偶函数，
所以，当x∈[-π ，0]时，0≤f(x)≤1.
即当x∈[-π ， π]时，0≤f(x)≤1.
因为f(x)最小正周期为2π，所以
所以，当x∈[π ，3π]，0≤f(x)≤1.


解： 当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，
因为f(x)是偶函数，
所以，当x∈[-π ，0]时，0≤f(x)≤1.
即当x∈[-π ， π]时，0≤f(x)≤1.
因为f(x)最小正周期为2π，所以
所以，当x∈[π ，3π]，0≤f(x)≤1.
同理，当x∈[－3π，-π]时，0≤f(x)≤1.

综上，当x∈[－3π，3π]时，0≤f(x)≤1.
当 x∈(0，π)且 时， ，
综上，当x∈[－3π，3π]时，0≤f(x)≤1.
当 x∈(0，π)且 时， ，
当 时， ， 为单调减函数；
综上，当x∈[－3π，3π]时，0≤f(x)≤1.
当 x∈(0，π)且 时， ，
当 时， ， 为单调减函数；
当 时， ， 为单调增函数.
综上，当x∈[－3π，3π]时，0≤f(x)≤1.

可在同一坐标系中作出 和 的草图.
.
.
.
.
.
.
由图知 在[－3π，3π]上的零点个数为6.
利用导数确定函数零点（或方程根）个数的方法
可将函数拆分成两个函数，画出拆分后两个函数图象的草图，数形结合求解．
题后反思
例 已知函数
（1）当 ， 时，求曲线 在点
处的切线方程；
（2）当 ， 时， 求证：曲线 与 有公共点.









例 已知函数
（1）当 ， 时，求曲线 在点
处的切线方程；








例 已知函数
（1）当 ， 时，求曲线 在点
处的切线方程；








导数的几何意义
函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率
解：当 ， 时，



解：当 ， 时，



所以
，
解：当 ， 时，



所以
，所以
解：当 ， 时，

所以所求切线的斜率


所以
，所以
解：当 ， 时，

所以所求切线的斜率

所以曲线 在点 处的切线方程为

所以
，所以
解：当 ， 时，

所以所求切线的斜率

所以曲线 在点 处的切线方程为

即
所以
，所以
（2）当 ， 时，
求证：曲线 与 有公共点

（2）当 ， 时，
求证：曲线 与 有公共点

有解
方程


（2）当 ， 时，
求证：曲线 与 有公共点


有解
方程

有解


（2）当 ， 时，
求证：曲线 与 有公共点


有解
方程

有解



有解

（2）当 ， 时，
求证：曲线 与 有公共点


有解
有零点
函数


方程

有解



有解

设



构造函数
设

则 ， .( )


构造函数
设

则 ， .( )


构造函数
令
，
.
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
当 变化时， ， 的变化情况如下表：



极小值
当 变化时， ， 的变化情况如下表：



极小值
所以，当 时， 取得最小值，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：



极小值
所以，当 时， 取得最小值，
即
.
因为 ，
因为 ，
所以 ，即
因为 ，
所以 ，即
又因为 ，
因为 ，
所以 ，即
又因为 ，
所以曲线 与 有公共点，即方程 有实数解.
因为 ，
所以 ，即
又因为 ，
所以曲线 与 有公共点，即方程 有实数解.
所以方程 有实数解，即 与 有公共点.
题后反思
利用导数确定函数零点（或方程根）个数的方法：
利用导数确定函数零点（或方程根）个数的方法：
构建函数 ，转化确定 零点个数问题求解 .


题后反思
利用导数确定函数零点（或方程根）个数的方法：
构建函数 ，转化确定 零点个数问题求解 .利用零点存在定理 判断函数在某区间上有零点，然后利用导数性质判断函数在该区间上零点的个数.
题后反思
例 函数 ，
(1)讨论 的极值点的个数；
(2)若对于 ，总有f(x)≤g(x)．
①求实数a的取值范围；
②求证：对于 ，不等式 成立.
例 函数 ，
(1)讨论 的极值点的个数；
思路分析
确定函数 定义域
例 函数 ，
(1)讨论 的极值点的个数；
思路分析
求导函数
确定函数 定义域
例 函数 ，
(1)讨论 的极值点的个数；
思路分析
求满足 的
求导函数
确定函数 定义域
例 函数 ，
(1)讨论 的极值点的个数；
思路分析
求满足 的
求导函数
判断 两侧 正负
确定函数 定义域
例 函数 ，
(1)讨论 的极值点的个数；
思路分析
求满足 的
求导函数
判断 两侧 正负
确定函数 定义域
判断 两侧 单调性
例 函数 ，
(1)讨论 的极值点的个数；
思路分析
求满足 的
求导函数
判断 两侧 正负
确定函数 定义域
求函数 的极值
判断 两侧 单调性
(1)解：由题意得 ，
(1)解：由题意得 ，

方程 中， .
(1)解：由题意得 ，

当 ，即－2≤a≤2时，
方程 中， .
(1)解：由题意得 ，

当 ，即－2≤a≤2时，
，对 恒成立，此时f(x)没有极值点．
方程 中， .
(1)解：由题意得 ，

当 ，即－2≤a≤2时，
，对 恒成立，此时f(x)没有极值点．
当 ，即 或 时 ，
方程 中， .

(1)解：由题意得 ，

当 ，即－2≤a≤2时，
，对 恒成立，此时f(x)没有极值点．
当 ，即 或 时 ，
方程 中， .

分情况讨论
①当 时，
①当 时，
设方程 两个不同实根为 ， ，
①当 时，
设方程 两个不同实根为 ， ，
不妨设 ，
①当 时，
设方程 两个不同实根为 ， ，
不妨设 ，则 ，
①当 时，
设方程 两个不同实根为 ， ，
不妨设 ，则 ，
故 ，



①当 时，
设方程 两个不同实根为 ， ，
不妨设 ，则 ，
故 ，
当 或 时，
当 时， ，

①当 时，
设方程 两个不同实根为 ， ，
不妨设 ，则 ，
故 ，
当 或 时，
当 时， ，
故 是 的两个极值点．
②当 时，
设方程 的两个不同实根为 ，
②当 时，
设方程 的两个不同实根为 ，
不妨设 ，则 ， ，
②当 时，
设方程 的两个不同实根为 ，
不妨设 ，则 ， ，
故 ， ，
②当 时，
设方程 的两个不同实根为 ，
不妨设 ，则 ， ，
故 ， ，
所以当 时， ，
故函数f(x)没有极值点．
②当 时，
综上，当 时，函数f(x)有两个极值点；
当 时，函数f(x)没有极值点．
例 函数 ，
(2)若对于 ，总有f(x)≤g(x)．
①求实数a的取值范围；
总有f(x)≤g(x)

例 函数 ，
(2)若对于 ，总有f(x)≤g(x)．
①求实数a的取值范围；
思路分析：
总有f(x)≤g(x)

恒成立

例 函数 ，
(2)若对于 ，总有f(x)≤g(x)．
①求实数a的取值范围；
思路分析：
总有f(x)≤g(x)

恒成立

例 函数 ，
(2)若对于 ，总有f(x)≤g(x)．
①求实数a的取值范围；
思路分析：

总有f(x)≤g(x)

恒成立

例 函数 ，
(2)若对于 ，总有f(x)≤g(x)．
①求实数a的取值范围；
思路分析：

总有f(x)≤g(x)

确定
恒成立

例 函数 ，
(2)若对于 ，总有f(x)≤g(x)．
①求实数a的取值范围；
思路分析：

(2)①解：依题，只要 ，
(2)①解：依题，只要 ，
设 ，
(2)①解：依题，只要 ，
设 ，
(2)①解：依题，只要 ，
设 ，
观察出：
(2)①解：依题，只要 ，
设 ，
设
观察出：
(2)①解：依题，只要 ，
设 ，
设
观察出：
(2)①解：依题，只要 ，
设 ，
设
观察出：
二次求导
所以 在 单调递增
所以 在 单调递增
又因为
所以 在 单调递增
又因为
所以，当 时，
当 时， .
，
所以 在 单调递增
又因为
所以，当 时，
当 时， .
，
二次求导
的正负
当 变化时， ， 的变化情况如下表：



极小值
当 变化时， ， 的变化情况如下表：



极小值
所以，当 时， 取得最小值，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：



极小值
所以，当 时， 取得最小值，
即 .
(2)①
因为 ，
所以a的取值范围为(－∞， ＋1]．
(2)①
因为 ，
所以a的取值范围为(－∞， ＋1]．
所以
，
(2)①
因为 ，
所以a的取值范围为(－∞， ＋1]．
所以
所以
.
，
②证明：由 知 ，
当且仅当x＝1时取等号.

①
②证明：由 知 ，
当且仅当x＝1时取等号.



①
要证明对于
，不等式
成立，
②证明：由 知 ，
当且仅当x＝1时取等号.

所以只需证明 .
放缩转化


①
要证明对于
，不等式
成立，
下面证明：

下面证明：


下面证明：
设 ，


下面证明：
设 ，则



下面证明：
设 ，则



令 ，
下面证明：
设 ，则



令 ，得
，
下面证明：
设 ，则



令 ，得
，
在 上单调递减；
下面证明：
设 ，则

令 ，得 ， 在 上单调递增.


令 ，得
，
在 上单调递减；
下面证明：
设 ，则

令 ，得 ， 在 上单调递增.
即 ，当 时取等号．


令 ，得
，
在 上单调递减；
下面证明：
设 ，则

令 ，得 ， 在 上单调递增.
即 ，当 时取等号．


令 ，得
，
在 上单调递减；

，

，当 时取等号，

，
，当 时取等号，

，当 时取等号.
，当 时取等号，

综上，两式不同时取等号，
，当 时取等号.
，当 时取等号，

综上，两式不同时取等号，
，当 时取等号.
，当 时取等号，
故
.
利用导数法证明不等式 在区间D上 成立，可构造函数 ，转化为证明　
.
题后反思
课堂小结
导数研究问题的一般思路
导数研究问题的一般思路
求导

导数研究问题的一般思路
解方程
求导


导数研究问题的一般思路
方程可解
解方程
求导



导数研究问题的一般思路
方程可解
解方程
方程
不可解
求导




导数研究问题的一般思路
方程可解
解方程
方程
不可解
的符号变化规律
求导





导数研究问题的一般思路
方程可解
解方程
方程
不可解
的符号变化规律
求导






导数研究问题的一般思路
方程可解
单调
解方程
方程
不可解
的符号变化规律
不单调
求导








导数研究问题的一般思路
方程可解
单调
解方程
方程
不可解
的符号变化规律
求导







导数研究问题的一般思路
方程可解
单调
解方程
方程
不可解
的符号变化规律
恒小于等于0
求导








导数研究问题的一般思路
方程可解
单调
解方程
方程
不可解
的符号变化规律
恒小于等于0
递减
求导









导数研究问题的一般思路
方程可解
单调
解方程
方程
不可解
的符号变化规律
恒大于等于0
恒小于等于0
递减
求导










导数研究问题的一般思路
方程可解
单调
递增
解方程
方程
不可解
的符号变化规律
恒大于等于0
恒小于等于0
递减
求导











导数研究问题的一般思路
方程可解
单调
递增
解方程
方程
不可解
有正有负
的符号变化规律
恒大于等于0
恒小于等于0
递减
求导












导数研究问题的一般思路
方程可解
单调
递增
解方程
方程
不可解
有正有负
的符号变化规律
恒大于等于0
恒小于等于0
递减
抽象零点
求导













导数研究问题的一般思路
方程可解
单调
递增
解方程
方程
不可解
有正有负
的符号变化规律
恒大于等于0
恒小于等于0
递减
抽象零点
求导













导数研究问题的一般思路
方程可解
单调
递增
解方程
方程
不可解
有正有负
的符号变化规律
不单调
恒大于等于0
恒小于等于0
递减
抽象零点
求导














导数研究问题的一般思路
方程可解
单调
递增
解方程
方程
不可解
有正有负
的符号变化规律
不单调
恒大于等于0
恒小于等于0
递减
抽象零点
二次求导
进一步研究
求导















课后作业
已知函数 ， ( R).
(1)当a＝1时，求函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；
(2)若曲线 在点 处的切线l与曲线
切于点 ，求a，b，c的值；
(3)若 恒成立，求a＋b的最大值．