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6.2.3 平行四边形的判定 导学案
课题 6.2.3 平行四边形的判定 课型 新授课
学习目标 1．运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法． 2．理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理，并学会简单运用
重点难点 平行四边形的性质和判定的综合运用
感知探究 自自主学习 如图，?ABCD的对角线BD上有两点E、F，请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，你添加的条件是______．
自自学检测 已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且∠BAE=∠DCF． 求证：四边形AECF是平行四边形． 如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且，．
求证：四边形ABDE为平行四边形若DA平分，，，求AC的长．
合合作探究 探究一： 已知，直线a//b，过直线a上任两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，点D，如图，（1）线段AC，BD所在直线有什么样的位置关系？ （2）比较线段AC，BD的长。 解（1）由AC⊥b，BD⊥b，得AC//BD。 （2）a//b，AC//BD，→四边形ACDB是平行四边形→AC=BD
探究二： 如图 6-15，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并说明你画图的方法和其中的道理.
感知 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离．
探究三： 例4、已知：如图 6-16，在 □ ABCD 中，点 M，N 分 别在 AD 和 BC 上，点 E，F 在 BD 上，且 DM = BN，DF =?BE.求证：四边形 MENF 是平行四边形．
四、 当堂检测 1、如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF． (1)求证：四边形ACDF是平行四边形； (2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由． 2如图，在中，点D是边BC的中点，点E在内，AE平分，，点F在边AB上，．
求证：四边形BDEF是平行四边形；
线段BF，AB，AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论． 如图，点O是内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
求证：四边形DEFG是平行四边形；
若M为EF的中点，，和互余，求DG的长度．
作业：必做题：课本P148练习第1、2题跟踪练习册选做题：课本P149练习第3、4题课堂小结：师生互动，本节课你学到了什么 参考答案：自主学习解：可添加条件：．
证明证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，即，
，
四边形AECF是平行四边形．
故答案为．
自学检测 1证明：在平行四边形ABCD中，
，，
．
，
．
．
．
，
四边形AECF是平行四边形． 2证明：，BD垂直平分AC，
，
，
，
四边形ABDE是平行四边形；
解：平分，
，
，
设，
则，
解得，，
，
．合作探究 探究一： 证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD， ∴ ∠?1?=?∠?2?=?90 ° .∴ AC∥BD. ∵ AB∥CD， ∴ 四边形 ACDB 是平行四边形（平行四边形的定义）． ∴ AC = BD（平行四边形的对边相等）． 探究二： 探究三： 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC（平行四边形的定义）. ∴ ∠ MDF =?∠?NBE.∵ DM = BN，DF?=?BE，∴ △MDF ≌?△NBE.∴ MF = NE，∠ MFD?=∠ NEB.∴ ∠ MFE?=∠ NEF. ∴ MF∥NE.∴ 四边形MENF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. 当堂检测 1解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB//CD， ∴∠FAE=∠CDE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 又∵∠FEA=∠CED， ∴△FAE≌△CDE， ∴CD=FA， 又∵CD//AF， ∴四边形ACDF是平行四边形； (2)BC=2CD． 证明：∵CF平分∠BCD， ∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CD=DE， ∵E是AD的中点， ∴AD=2CD， ∵AD=BC， ∴BC=2CD． 2解：延长CE交AB于点G，
，
，
在和中，，，，
≌．
．
，
为的中位线，
．
，
四边形BDEF是平行四边形．
．
理由如下：
四边形BDEF是平行四边形，
．
、E分别是BC、GC的中点，
．
≌，
，
．3解：、G分别是AB、AC的中点，
，，
、F分别是OB、OC的中点，
，，
，，
四边形DEFG是平行四边形；
和互余，
，
，
为EF的中点，，
．
由有四边形DEFG是平行四边形，
．
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(共27张PPT)
6.2.3 平行四边形的判定
北师大版 八年级下
复习导入
亲爱的同学们，在上一节课中，我们学习了平行四边形的判定。请同学回忆一下。
平行四边形判定
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
定理1
定理2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
定理3
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
复习导入
新知讲解
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流．
新知讲解
已知：如图 6-14，直线 a∥b，A，B 是直线 a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D．
求证：AC = BD．
新知讲解
证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
∴ ∠?1?=?∠?2?=?90 ° .
∴ AC∥BD.
∵ AB∥CD，
∴ 四边形 ACDB 是平行四边形（平行四边形的定义）．
∴ AC = BD（平行四边形的对边相等）．
新知讲解
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离．
想一想
夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？
做一做
如图 ，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并说明你画图的方法和其中的道理.
新知讲解
例4、已知：如图 6-16，在 □ ABCD 中，点 M，N 分
别在 AD 和 BC 上，点 E，F 在 BD 上，且 DM = BN，
DF =?BE.
求证：四边形 MENF 是平行四边形．
新知讲解
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC（平行四边形的定义）.
∴ ∠ MDF =?∠?NBE.
∵ DM = BN，DF?=?BE，
∴ △MDF ≌?△NBE.
∴ MF = NE，∠ MFD?=∠ NEB.
∴ ∠ MFE?=∠ NEF. ∴ MF∥NE.
∴ 四边形MENF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
课堂练习
1、如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
课堂练习
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，
又∵CD//AF，
∴四边形ACDF是平行四边形
课堂练习
(2)BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
课堂练习
2、如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF//BC．
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；
(2)线段BF，AB，AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
课堂练习
解：(1)延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG=∠AEC=90°，
在△AEG和△AEC中，
∠GAE=∠CAE，AE=AE，∠AEG=∠AEC，
∴△AGE≌△ACE(ASA)．
课堂练习
∴GE=EC．
∵BD=CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE//AB．
∵EF//BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
课堂练习
(2)BF= (AB-AC)．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF=DE= BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG=AC，∴BF= (AB-AG)= (AB-AC)．
驶向胜利的彼岸
中考链接
如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
驶向胜利的彼岸
中考链接
解：(1)∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG//BC，DG= BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF//BC，EF= BC，
∴DG=EF，DG//EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
驶向胜利的彼岸
中考链接
(2)∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3，
∴EF=2OM=6．
由(1)有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=6．
课堂总结
平行四边形判定
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
定理1
定理2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
定理3
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行线间的距离
夹在两条平行线间的平行线段相等
板书设计
6.2.3 平行四边形的判定
平行线之间的距离
1、如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任两点到另一条直线的距离，这个距离称为。
2、夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、两条平行线间的距离处处相等。
必做题：
课本P148练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P149练习第3、4题
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