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2.3.2 平面与平面垂直的判定
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.下列不能确定两个平面垂直的是( )
A.两个平面相交，所成二面角是直二面角
B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C.一个平面经过另一个平面的一条垂线
D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
2.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.
其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
A.2对 B.3对
C.4对 D.5对
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是( )
A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
C.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
5.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
6.在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于( )
A.90° B.45° C.60° D.30°
7.在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
二、填空题
9.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为________.
10.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：
①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；
②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；
③若m?α，n?β，且α∥β，则m∥n；
④若n?β，n⊥α，则α⊥β.
其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上)
11.α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.
三、解答题
12.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.
求证：平面EBD⊥平面ABCD.
13.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.
(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；
(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.
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14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
15.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
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2.3.2 平面与平面垂直的判定
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.下列不能确定两个平面垂直的是( )
A.两个平面相交，所成二面角是直二面角
B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C.一个平面经过另一个平面的一条垂线
D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
答案 D
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.
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2.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.
其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 ①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以正确结论的个数是2.
3.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
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A.2对 B.3对
C.4对 D.5对
答案 D
解析 ∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAB⊥平面ABCD，
又CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，
∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，
∴共有5对互相垂直的平面.
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是( )
A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
C.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
答案 C
解析 由m∥α，m∥n得n∥α或n?α，由n⊥β，知α⊥β.
5.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
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A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
答案 C
解析 因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.
因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.
因为AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
6.在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于( )
A.90° B.45° C.60° D.30°
答案 A
解析 如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.
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由题意可得AF＝CF＝a，∠AFC＝90°.
在Rt△AFC中，可得AC＝a，
∴△ACD为正三角形.
∵E是CD的中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AED＝90°，故选A.
7.在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )
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A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
答案 C
解析 对于A，∵PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD，故A正确；对于B，∵PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC，故B正确；对于D，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴平面PCD⊥平面PAD，故D正确.故选C.
8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，
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∵A1D＝A1B，
∴在△A1BD中，A1O⊥BD.
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.
∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.
设AA1＝1，则AO＝.
∴tan∠A1OA＝＝.
二、填空题
9.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为________.
答案 60°
解析 正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为，故所求的二面角为60°.
10.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：
①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；
②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；
③若m?α，n?β，且α∥β，则m∥n；
④若n?β，n⊥α，则α⊥β.
其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上)
答案 ①④
解析 ①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确.
11.α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.
答案 ①③④?②
解析 m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，
∵n⊥β，m⊥α，
∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，
从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，
∴α⊥β.
故答案为①③④?②.
三、解答题
12.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.
求证：平面EBD⊥平面ABCD.
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证明 连接AC与BD交于O点，连接OE.
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∵O为AC的中点，E为SA的中点，
∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又∵EO?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD.
13.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.
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(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；
(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.
证明 (1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.
因为A1B1?平面ABD，AB?平面ABD，
所以直线A1B1∥平面ABD.
(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.
又因为AB⊥BC，BB1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.
又因为AB?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.
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14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
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答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析 由题意得BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC?平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
15.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
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证明 如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝AA1.
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因为BE＝EB1，A1B1＝CB，
∠A1B1E＝∠CBE＝90°，
所以△A1B1E≌△CBE，
所以A1E＝CE.
因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.
又FG∥AA1∥BE，GF＝AA1＝BE，且BE⊥BG，
所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.
因为A1C∩FG＝F，所以EF⊥侧面ACC1A1.
又因为EF?平面A1CE，所以截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
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2.3.2 平面与平面垂直的判定
第二章 §2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.
2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.
3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.
知识点一 二面角的概念
1.定义：从一条直线出发的 所组成的图形.
2.相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的 ；
(2)两个半平面叫做二面角的 .
3.画法：
两个半平面
棱
面
4.记法：二面角 或 或 或P－AB－Q.
5.二面角的平面角：若有(1)O l；(2)OA α，OB β；(3)OA l，OB l，则二面角α－l－β的平面角是 .
α－l－β
α－AB－β
P－l－Q
∈
?
?
⊥
⊥
∠AOB
知识点二 平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.
(2)画法：
(3)记作： .
直二面角
α⊥β
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直
图形语言 ?
符号语言 l⊥α， ?α⊥β
垂线
l?β
1.二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直.( )
2.对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.( )
3.已知一条直线垂直于某一平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直.
( )
4.两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1 (1)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：
①二面角D′－AB－D的大小为_____.
题型一 二面角的求法
解析 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.
45°
②二面角A′－AB－D的大小为_____.
90°
解析 因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.
(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC?α，点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小.
解 如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.
∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.
又AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.
而AD?平面AOD，
∴AD⊥BC.
∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角.
由AO⊥α，OB?α，OC?α，
知AO⊥OB，AO⊥OC.
∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
在Rt△AOD中，
∴∠ADO＝60°，
即二面角A－BC－O的大小是60°.
反思感悟
(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.
(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.
(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法.
跟踪训练1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
解 由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
证明 ∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC.
∵BD?平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.
题型二 平面与平面垂直的判定
例2 在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
反思感悟
(1)证明平面与平面垂直的方法
①利用定义：证明二面角的平面角为直角；
②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.
跟踪训练2 已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.
证明 延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.
连接BD.由四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，可知AA1⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A＝A，AC，A1A?平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1.
∵BF∥CC1，F为NC1的中点，∴B为NC的中点.
在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，
∴四边形DANB为平行四边形，
∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA?平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
图形的折叠问题
核心素养之逻辑推理与直观想象
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI YU ZHI GUAN XIANG XIANG
典例 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝ AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
证明 取BE的中点N，CD的中点M，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又∵MN∩A′M＝M，
∴CD⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N.
∴BE必与CD相交，
又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，
∴A′N⊥平面BCDE.
又∵A′N?平面A′BE，
∴平面A′BE⊥平面BCDE.
素养
评析
(1)折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题.解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量.
(2)折叠问题要借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，理解所要解决的数学问题，对于平面与平面垂直问题的证明，要有理有据，有逻辑地表达出来，所以，本题充分体现直观想象与逻辑推理的数学核心素养.
3
达标检测
PART THREE
1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面
A.有且只有一个 B.有一个或两个
C.有且仅有两个 D.有一个或无数个
1
2
3
4
5
√
2.直线l⊥平面α，l?平面β，则α与β的位置关系是
A.平行 B.可能重合
C.相交且垂直 D.相交不垂直
√
1
2
3
4
5
解析 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
3.下列命题中正确的是
A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
√
1
2
3
4
5
解析 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；
由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确.
4.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是
A.AO⊥BO，AO?α，BO?β
B.AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO?α，BO?β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β
1
2
3
4
5
√
解 由已知BD＝2CD，翻折后，
在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，
而AD⊥BD，CD⊥AD，
故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.
5.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，求此时二面角B－AD－C的大小.
1
2
3
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1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
2.平面与平面垂直的判定定理的应用思路
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直?面面垂直.
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
