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2.3.1 直线与平面垂直的判定
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：
①l垂直于α内三条不都平行的直线；
②l垂直于α内无数条直线；
③l垂直于α内正六边形的三条边.
其中能得出l⊥α的所有条件序号是( )
A.② B.① C.①③ D.③
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D
D.异面直线AD与CB1所成的角为45°
3.下列说法中，正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A.平行
B.垂直相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定
6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A.AG⊥△EFH所在平面
B.AH⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面
7.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为( )
A.45° B.60°
C.30° D.75°
8.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有( )
①BC⊥平面PAB；
②AD⊥PC；
③AD⊥平面PBC；
④PB⊥平面ADC.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
9.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a?α，b?α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________.
10.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P386.TIF" \* MERGEFORMAT
11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P387.TIF" \* MERGEFORMAT
三、解答题
12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AD＝2，PA＝2，PD＝2，求证：AD⊥平面PAB.
13.如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.
求证：BD⊥平面ACD.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
14.如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
15.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
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2.3.1 直线与平面垂直的判定
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：
①l垂直于α内三条不都平行的直线；
②l垂直于α内无数条直线；
③l垂直于α内正六边形的三条边.
其中能得出l⊥α的所有条件序号是( )
A.② B.① C.①③ D.③
答案 C
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D
D.异面直线AD与CB1所成的角为45°
答案 C
解析 由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确.
3.下列说法中，正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案 B
解析 ①④不正确，其他三项均正确.
4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A.平行
B.垂直相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
答案 C
解析 连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P381.TIF" \* MERGEFORMAT
A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定
答案 C
解析 ∵AB⊥α，l?α，∴AB⊥l，
又∵BC⊥β，l?β，∴BC⊥l，
∴l⊥平面ABC，
∴l⊥AC.
6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A.AG⊥△EFH所在平面
B.AH⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面
答案 B
解析 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，
∴AH⊥平面EFH.
7.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为( )
A.45° B.60°
C.30° D.75°
答案 A
解析 取BC的中点D，连接AD，B1D，
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P384.TIF" \* MERGEFORMAT
∵AD⊥BC且AD⊥BB1，
∴AD⊥平面BCC1B1，
∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.
设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝，
∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°.故选A.
8.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有( )
①BC⊥平面PAB；
②AD⊥PC；
③AD⊥平面PBC；
④PB⊥平面ADC.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 C
解析 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故①正确；
由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，
又PA＝AB，D是PB的中点，
∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，
∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，故②③正确.
故选C.
二、填空题
9.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a?α，b?α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________.
答案 a与b相交
10.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P386.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 45°
解析 因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°
11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P387.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 ∠A1C1B1＝90°
解析 如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)
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三、解答题
12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AD＝2，PA＝2，PD＝2，求证：AD⊥平面PAB.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P391.TIF" \* MERGEFORMAT
证明 在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2，
可得PA2＋AD2＝PD2，即AD⊥PA.
又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
所以AD⊥平面PAB.
13.如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P389.TIF" \* MERGEFORMAT
求证：BD⊥平面ACD.
证明 取CD的中点G，连接EG，FG.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P390.TIF" \* MERGEFORMAT
又∵E，F分别为AD，BC的中点，
∴FG∥BD，EG∥AC.
∵AC＝BD＝2，
则EG＝FG＝1.
∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，
∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.
∵∠BDC＝90°，BD⊥CD.
又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.
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14.如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
答案 D
解析 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB?平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确.
15.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P393.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明 (1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P394.TIF" \* MERGEFORMAT
又∵N是PC的中点，∴NE∥DC且NE＝DC.
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.
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(共32张PPT)
2.3.1 直线与平面垂直的判定
第二章 §2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理.
3.会用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直.
知识点一 直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 _____
有关概念 直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ，它们惟一的公共点P叫做_____
图示 ?
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
任意一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
思考 空间两条直线垂直一定相交吗？
答案 不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异面垂直.
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a?α，b?α， ＝P?l⊥α
图形语言 ?
a∩b
两条相交直线
有关概念 对应图形
斜线 与平面α ，但不和平面α ，图中_______ ?
斜足 斜线和平面的 ，图中_____
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过 和
_____的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为_________
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中________
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是____
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，____________
知识点三 直线与平面所成的角
相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线
垂足
斜足
直线AO
∠PAO
90°
0°
0°≤θ≤90°
1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.( )
2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( )
3.直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.( )
4.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1 下列命题中，正确的序号是______.
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
题型一 直线与平面垂直的定义及判定定理的理解
③④
解析 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.
反思感悟
(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.
跟踪训练1 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
解析 ∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.
√
(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)
解析 根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.
①③④
题型二 直线与平面垂直的判定
例2 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
证明 因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明 因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.
反思感悟
(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
③根据判定定理得出结论.
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.
跟踪训练2 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM.
证明 ∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
∴AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明 由(1)知AN⊥平面PBM，
PB?平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.
求直线与平面所成的角
核心素养之逻辑推理与数学运算
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI YU SHU XUE YUN SUAN
典例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
解 ∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
又∵∠A1OB＝90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
素养
评析
(1)求直线与平面所成角的步骤
①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.
③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
(2)从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的素养.
3
达标检测
PART THREE
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是
A.1 B.2 C.3 D.6
1
2
3
4
5
√
2.给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.
其中正确的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
√
1
2
3
4
5
解析 ①错，②③对.
3.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是
A.平行 B.垂直
C.相交 D.不确定
√
1
2
3
4
5
解析 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是
A.平面DD1C1C
B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB
1
2
3
4
5
解析 ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1?平面A1DB1，
∴AD1⊥平面A1DB1.
√
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为_____.
1
2
3
4
5
解析 连接AD1，
∵AB⊥A1D，AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1?平面ABD1，
∴A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥BD1.
90°
1.直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义.
(2)利用线面垂直的判定定理.
(3)利用下面两个结论：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2.线线垂直的判定方法
(1)异面直线所成的角是90°.
(2)线面垂直，则线线垂直.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
3.求线面角的常用方法
(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算).
(2)转移法(找过点与面平行的线或面).
(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).
