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第二章 匀速圆周运动
第二章 匀速圆周运动
第二章 匀速圆周运动
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第1节 圆周运动
1．理解线速度的概念，知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度，会用线速度大小的公式v＝进行计算．（重点）
2．理解角速度的概念，会用公式ω＝进行计算．（重点） 3．知道周期的概念．
4．理解线速度、角速度和周期的关系：v＝rω＝．（重点＋难点）
一、形形色色的圆周运动
物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动．圆周运动是一种常见的运动，如教材P20图2－1－1所示．
二、匀速圆周运动的线速度、角速度和周期
1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动．
2．线速度
(1)物理意义：描述做匀速圆周运动的质点运动快慢的物理量．
(2)定义：v＝
(3)矢量性：线速度的方向和半径垂直，和圆弧相切
(4)说明：匀速圆周运动是一种变速运动，这里所说的匀速只是速率不变的意思．
3．角速度
(1)物理意义：描述做匀速圆周运动的质点转动快慢的物理量．
(2)定义式：连接质点和圆心的半径所转过的角度Δφ跟所用时间Δt的比值，即ω＝．
(3)单位：弧度每秒，符号为rad/s
(4)匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动．
(5)周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间．
三、线速度、角速度和周期之间的关系
1．v＝．
2．ω＝．
3．v＝rω．
物体做圆周运动时，如果线速度较大，是否说明其角速度一定大？
提示：由v＝rω可知，因物体做圆周运动的半径大小不知，故即使物体做圆周运动的线速度较大，其圆周运动的角速度也不一定大．
对圆周运动的理解
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．加深对公式v＝rω的理解
线速度v和角速度ω都可以用来描述圆周运动的快慢，公式v＝rω反映了它们和半径之间的关系．
(1)r一定时，v∝ω
举例：骑自行车时，车轮转得越快，角速度就越大，车轮边缘上各点的线速度就越大．
(2)ω一定时，v∝r
举例：地球上各点都绕地轴做圆周运动，且角速度相同，地球表面纬度越低的地方，到地轴的距离就越大，因此线速度就越大，赤道上各点的线速度最大．
(3)v一定时，ω∝
举例：如图所示的皮带传动装置中，两轮边缘上各点的线速度大小相等，但大轮的r较大，所以ω较小．
(1)v、ω、r间的关系是瞬时对应的．
(2)v、ω、r三个量中，只有先确定其中一个量不变，才能进一步明确另外两个量是正比还是反比关系．
(3)若比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，若比较物体绕圆心运动的快慢看角速度或周期．
质点做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
①在任何相等的时间里，质点的位移都相等
②在任何相等的时间里，质点通过的弧长都相等
③在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
④在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
A．①② B．③ ④
C．①③ D．② ④
[解题探究] (1)线速度和角速度的物理含义各是什么？
(2)匀速圆周运动的线速度和角速度有什么特点？
[解析] 匀速圆周运动是变速运动，故在相等的时间内通过的弧长相等，但位移方向不同，故①错误，②正确．因为角速度是不变的，故④正确．平均速度是位移与时间的比值，所以③错误．
[答案] D
传动装置
1．共轴传动
如图所示，A点和B点在同轴的一个圆盘上，圆盘转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：
ωA＝ωB，＝，TA＝TB，并且转动方向相同．
2．皮带传动
如图甲所示，A点和B点分别是两个轮子边缘的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑．轮子转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：
vA＝vB，＝，＝，并且转动方向相同．
甲 乙
3．齿轮传动
如图乙所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合．齿轮转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：
vA＝vB，＝＝， ＝＝，两点转动方向相反．
式中n1、n2分别表示两齿轮的齿数．
如图所示为一种滚轮——“平盘无级变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成．由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动．如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴转速n1、从动轴转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是( )
A．n2＝n1 B．n2＝n1
C．n2＝n1 D．n2＝n1
[解析] 平盘上距离主动轴轴心x处的线速度为v＝2πxn1，滚轮与平盘间不打滑，则滚轮的转动线速度等于v，因此，滚轮的转速与其线速度之间满足v＝2πrn2，故v＝2πxn1＝2πrn2，即n2＝n1，选项A正确，其他选项均错．
[答案] A
1．如图所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为( )
A． B．
C． D．
解析：选C．前进速度即为Ⅲ轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一条线上的线速度相等可得：ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以v＝，C正确．
圆周运动的周期性引起的多解问题
1．分析多解原因：匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去．
2．确定处理方法
(1)抓住联系点：明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键．
(2)先特殊后一般：分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定．
如图所示，质点A从某一时刻开始在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，出发点与圆心等高，与此同时位于圆心的质点B自由下落．已知圆周半径为R，求质点A的角速度ω满足什么条件时，才能使A、B相遇．
[解析] 要使质点A和质点B相遇，则它们从开始运动到相遇经历的时间应相等，即tA＝tB，考虑到圆周运动的周期性，质点A从开始运动到相遇经历的时间为tA＝T＋nT（n＝0，1，2，3，…）
对于质点B，由自由落体运动规律R＝gt得tB＝
由圆周运动的周期公式有T＝
解上述方程得ω＝π （n＝0，1，2，3，…）．
[答案] ω＝π （n＝0，1，2，3，…）
2．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴上固定两个薄圆盘A、B，A、B平行相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在圆盘的半径的夹角是30°，如图所示，则该子弹的速度可能是( )
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
解析：选C．子弹从A盘到B盘，盘转动的角度
θ＝2πn＋（n＝0，1，2，3，…），
盘转动的角速度
ω＝＝2πf＝2πn＝2π× rad/s＝120π rad/s．
子弹在A、B间运动的时间等于圆盘转动θ角所用的时间，即＝，
所以v＝＝ m/s（n＝0，1，2，3，…），
v＝ m/s（n＝0，1，2，3，…）．
n＝0时，v＝1 440 m/s；
n＝1时，v≈110．77 m/s；
n＝2时，v＝57．6 m/s；
…．
[随堂检测]
1．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
解析：选D．由v＝rω得ω＝，显然只有当半径r一定时，角速度与线速度才成正比，故A项错；由v＝得T＝，只有当半径r一定时，周期与线速度才成反比，故B项错；由ω＝知，线速度一定时，角速度与半径成反比，故C项错；由ω＝得T＝，显然周期与角速度成反比，角速度大的，周期一定小，故D项对．
2．如图所示，在闹钟和手表之间的争论中，其中闹钟用来分析圆周运动的物理量是( )
A．角速度 B．周期
C．线速度 D．转速
解析：选C．闹钟和手表秒针的角速度相等，根据v＝rω，半径越大，线速度越大，闹钟秒针的针尖到转轴的距离大于手表的秒针的针尖到转轴的距离，所以v闹>v手，闹钟根据自己线速度大而说自己运动得快．故C正确，A、B、D错误．
3．
如图所示，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成．车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动．已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为( )
A．ω B．ω
C．ω D．9ω
解析：选D．手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，则大车轮与小车轮的线速度相等，若小车轮的半径是r，则有v＝ω·9r＝ω′·r，小车轮的角速度为ω′＝9ω，选项D正确．
4．（多选）如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2．已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n
解析：选BC．因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，A错误，B正确；由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的线速度相等，所以由2πnr1＝2πn2r2，得从动轮的转速为n2＝，C正确，D错误．
5．
从我国汉代古墓一幅表现纺织女纺纱的情景的壁画上看到（如图），纺车上，一根绳圈连着一个直径很大的纺轮和一个直径很小的纺锤，纺纱女只要轻轻摇动那个巨大的纺轮，那根绳圈就会牵动着另一头的纺锤飞快转动．如果纺轮与纺锤的直径之比是100∶1，若纺轮转动1周，则纺锤转动多少周？
解析：纺轮和纺锤在相同时间内转过的圆弧弧长相等，即线速度相等，v轮＝v锤，由v＝ω·r知
角速度之比ω轮∶ω锤＝1∶100
即当纺轮转动1周时，纺锤转动100周．
答案：100周
[课时作业][学生用书P93（单独成册）]
一、单项选择题
1．
如图所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
解析：选B．a、b和c均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B对，C错．三点的运动半径关系ra＝rb＞rc，据v＝ω·r可知，三点的线速度关系va＝vb＞vc，A、D错．
2．
如图，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a、b、c三点，已知Oc＝Oa，则下列说法中错误的是( )
A．a、b两点线速度相同
B．a、b、c三点的角速度相同
C．c点的线速度大小是a点线速度大小的一半
D．a、b、c三点的运动周期相同
解析：选A．同轴转动的不同点角速度相同，B正确；根据T＝知，a、b、c三点的运动周期相同，D正确；根据v＝ωr可知c点的线速度大小是a点线速度大小的一半，C正确；a、b两点线速度的大小相等，方向不同．A错误．
3．如图所示，直径为d的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口垂直对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，则子弹的速度不可能是( )
A． B．
C． D．
解析：选B．圆筒上只有一个弹孔，表明子弹从一个位置进入和离开圆筒，故子弹穿过圆筒的时间t内，转过的角度θ＝（2n＋1）π（n＝0，1，2…），故子弹的速度v＝＝＝．n＝0时，v＝，A对．n＝1时，v＝，C对．n＝2时，v＝，D对．
4．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为( )
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
解析：选B．据车速与转速的关系知v＝2πr·n即120×103＝2π×0．3n1，解得每小时的转速n1≈6．4×104r/h．＝2π×0．3n2，解得每分钟的转速n2≈1 000 r/min．＝2π×0．3n3，解得每秒钟的转速n3≈18 r/s．
二、多项选择题
5．做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是( )
A．速度 B．速率
C．角速度 D．转速
解析：选BCD．速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、转速都是标量，匀速圆周运动的速率、转速不变；角速度是矢量，在中学阶段不讨论角速度的方向，角速度方向不变．综上，B、C、D正确．
6．
某老师在做竖直面内圆周运动快慢的实验研究，并给运动小球拍了频闪照片，如图所示（小球相邻影像间的时间间隔相等），小球在最高点和最低点的运动快慢比较，下列说法中正确的是( )
A．最高点附近小球相邻影像间弧长短，线速度小，运动较慢
B．最低点附近小球相邻影像间圆心角大，角速度大，运动较快
C．小球在相邻影像间运动时间间隔相等，最高点与最低点运动一样快
D．无法比较最高点和最低点的运动快慢
解析：选AB．由所给频闪照片可知，在最高点附近，相邻影像间弧长较小，表明最高点附近的线速度较小，运动较慢，A对；在最低点附近，相邻影像间弧长较大，对应相同时间内通过的圆心角较大，故角速度较大，运动较快，B对．
7．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为1∶3
解析：选AD．因为＝＝，且＝3，因此＝×＝，选项A正确，选项B错误；匀速圆周运动的周期T＝，则＝＝，选项C错误，选项D正确．
8．假设某一飞船升空后，先运行在近地点高度为200 km、远地点高度为350 km的椭圆轨道上，实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r，则计算其运行周期可用( )
A．T＝ B．T＝
C．T＝ D．T＝
解析：选AC．由题意可知飞船做匀速圆周运动n周所需时间Δt＝t2－t1，故其周期T＝＝，选项A正确；由周期公式有T＝，选项C正确．
三、非选择题
9．如图所示，在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝3∶2∶1，则A、B、C三点的线速度大小之比为vA∶vB∶vC＝ ；A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝ ；A、B、C三个轮子的转速之比n1∶n2∶n3＝
解析：由于O1、O3两轮共轴，所以A、C两点角速度相等，即ωA＝ωC；由于O1、O2通过皮带传动，所以A、B两点线速度的大小相等，即vA＝vB，由v＝ωr，r1∶r3＝3∶1，ωA＝ωC，则vA∶vC＝3∶1，整理得：vA∶vB∶vC＝3∶3∶1；由ω＝，r1∶r2＝3∶2，vA＝vB，则ωA∶ωB＝2∶3，整理得：ωA∶ωB∶ωC＝2∶3∶2，由ω＝2πn，得：n1∶n2∶n3＝2∶3∶2．
答案：3∶3∶1 2∶3∶2 2∶3∶2
10．如图所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，O轴离地面高为2R，轮上a、b两点与O点连线相互垂直，a、b两点均粘有一小物体，当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上．
(1)试判断圆轮的转动方向．
(2)求圆轮转动的角速度的大小．
解析：(1)由题意知，a、b两点处的物体脱离圆轮后在空中的运动时间相等，因hb>ha，所以脱离时b点处物体的速度应竖直向下，即圆轮的转动方向为逆时针．
(2)a、b两点处的物体脱落前分别随圆盘做匀速圆周运动v0＝ωR ①
脱落后a点处物体做平抛运动
ha＝gt2＝R ②
b点处物体做竖直下抛运动
hb＝v0t＋gt2＝2R ③
联立以上方程得ω＝．
答案：(1)逆时针 (2)
11．如图所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中的a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
(1)B球抛出时的水平速度多大？
(2)A球运动的线速度最小值为多大？
解析：(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，设小球B的水平速度为v0，
则R＝v0t ①
在竖直方向上做自由落体运动，则
h＝gt2 ②
由①②得v0＝＝R．
(2)A球的线速度取最小值时，A球刚好转过一圈，B球落到a点与A球相碰，则A球做圆周运动的周期正好等于B球的飞行时间，即T＝
所以vA＝＝2πR．
答案：(1)R (2)2πR
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