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第2章 研究圆周运动
第2章 研究圆周运动
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怎样描述圆周运动
1．知道什么是匀速圆周运动． 2．理解什么是线速度、角速度和周期．(重点)
3．理解线速度、角速度和周期之间的关系．(重点)
一、用你熟悉的物理量描述
1．线速度
(1)定义：物体经过的圆弧的长度s跟通过这段圆弧所用时间t的比值，叫做圆周运动的线速度；
(2)公式：v＝；国际单位：米/秒(m/s)；
(3)方向：沿切线方向；
(4)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．
2．匀速圆周运动
物体做圆周运动时，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动．
1．匀速圆周运动是匀速运动吗？
提示：不是．速度方向沿切线时刻变化．
二、用角度来描述
1．角速度
(1)定义：物体做圆周运动时，连接它与圆心的半径转过的角度Δθ跟所用时间t的比值叫做角速度；
(2)公式：ω＝；国际单位：弧度/秒(rad/s)；
(3)物理意义：描述质点转过圆心角的快慢．
2．周期与转速
(1)周期：物体沿圆周运动一周的时间叫做圆周运动的周期；国际单位：秒(s)．
(2)转速：物体在单位时间内完成圆周运动的圈数叫做转速；国际单位：转/秒(r/s)．
2．
若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？
提示：秒针的周期T秒＝1 min＝60 s，
分针的周期T分＝1 h＝3 600 s．
由ω＝＝得＝＝．
3．角速度与线速度的关系
(1)物体经过的弧长s与转过的角度Δθ之间的关系：s＝RΔθ．
(2)角速度与线速度的关系：v＝ωR．
(1)由公式ω＝可知，做圆周运动半径大的物体，角速度一定小．( )
(2)飞轮转动的角速度越大，轮上同一点的线速度也越大．( )
(3)由公式r＝可知，物体转动的半径与它的线速度大小成正比．( )
提示：(1)× (2)√ (3)×
匀速圆周运动各物理量的比较
1．匀速圆周运动的认识
(1)匀速的含义
①速度的大小不变，即速率不变．
②转动快慢不变，即角速度不变．由ω＝＝＝2πf，故周期或频率都不变．
(2)运动性质
①速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动．
②速度的大小即速率不变，所以匀速圆周运动是匀速率运动．
2．描述圆周运动的各物理量间的关系
3．分析物体线速度、角速度、周期间关系的方法
(1)描述物体做圆周运动的线速度、角速度、周期及半径四个量中，若知道两个量可求出另外两个，应用的公式为v＝ωr＝．
(2)分析线速度v、角速度ω、半径r间数值关系时，有如下三种情况．
①当半径r一定时，线速度v与角速度ω成正比．
②当角速度ω一定时，线速度v与半径r成正比．
③当线速度v一定时，角速度ω与半径r成反比．
如图所示
关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
[思路点拨] 解此题的关键是明确变量与不变量，用控制变量的思想结合各物理量的联系进行分析．
[解析] 由v＝ωr知，r一定时，v与ω成正比；v一定时，ω与r成反比，故A、C均错．由v＝知，r一定时，v越大，T越小，B错．而ω＝可知，ω越大，T越小，故D对．
[答案] D
eq \a\vs4\al()
(1)v、ω、R之间是瞬时对应关系；
(2)v、ω、R三个量中，只有先确定其中一个量不变，才能进一步明确另外两个量是正比还是反比关系；
(3)若比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，若比较物体绕圆心运动的快慢看周期、角速度．
1．(多选)关于角速度、线速度和周期，下面说法中正确的是( )
A．半径一定，角速度与线速度成反比
B．半径一定，线速度与角速度成正比
C．线速度一定，角速度与半径成正比
D．不论半径等于多少，角速度与周期始终成反比
解析：选BD．关于角速度、线速度、周期的关系由公式v＝ωR，ω＝可以得出，半径一定时，线速度与角速度成正比，不论半径等于多少，ω与T始终成反比．故选项B、D正确．
圆周运动中相遇和多解问题的分析方法
1．首先明确两个物体的运动性质，是匀速圆周运动、平抛运动还是匀变速直线运动．
2．建立起两个物体运动的关系，往往是时间关系和位移关系，这是解题的关键．
3．同时注意圆周运动的周期性，分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上加上2kπ，具体k的取值应视情况而定．
如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度v及圆盘转动的角速度ω的大小．
[解析] 小球做平抛运动，在竖直方向上有h＝gt2
则运动时间t＝
又因为水平位移为R，所以小球的初速度
v＝＝R
在时间t内圆盘转动的角速度
ω＝＝2πn (n＝1，2，3，…)．
[答案] R 2πn (n＝1，2，3，…)
2．如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动．求力F多大可使A、B两物体的速度相同．
解析：因为B物体在力F作用下沿水平面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，要使A与B速度相同，则只有当A运动到圆轨道的最低点时，才有可能．
设A、B运动时间t后两者速度相同(大小相等，方向相同)．
对A物体有t＝T＋nT＝(n＝0，1，2，…)，vA＝rω．
对B物体有F＝ma，a＝，vB＝at＝t．
令vB＝vA得，＝ωr
解得F＝(n＝0，1，2，…)．
答案：F＝(n＝0，1，2，…)
常见传动装置及其特点
1．同轴转动
同轴的圆盘上各点 图示
相同量 角速度：ωA＝ωB周期：TA＝TB
不同量 线速度：＝
2．皮带传动
两轮边缘或皮带上各点 图示
相同量 边缘点线速度：vA＝vB
不同量 角速度：＝周期：＝
3．齿轮传动
两齿轮啮合传动 图示
相同量 边缘点线速度：vA＝vB A、B为两齿轮 边缘点
不同量 角速度：＝周期：＝
如图所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上．其中过O1的轴与电动机相连，此轴的转速为n1，求：
(1)B齿轮的转速n2；
(2)A、B两齿轮的半径之比r1∶r2；
(3)在时间t内，A、B两齿轮转过的角度之比φA∶φB；
(4)B齿轮半径为r2，B齿轮外缘上一点在时间t内通过的路程sB．
[解题探究] (1)齿轮传动装置中，两轮的相同量是什么？
(2)线速度、角速度周期、转速及半径的关系？
[解析] (1)在齿轮传动装置中，各齿轮的齿数是不同的，齿轮的齿数对应齿轮的周长，在齿轮传动进行转速变换时，单位时间内每个齿轮转过的齿数相等，相当于每个接合的齿轮边缘处的线速度大小相等，因此齿轮的转速与齿数成反比，所以B齿轮的转速n2＝n1．
(2)A齿轮边缘的线速度大小v1＝ω1r1＝2πn1r1，B齿轮边缘的线速度大小v2＝ω2r2＝2πn2r2，两齿轮边缘上各点的线速度大小相等，即v1＝v2，所以有2πn1r1＝2πn2r2，则两齿轮的半径之比r1∶r2＝n2∶n1＝z1∶z2．
(3)在时间t内，A、B转过的角度分别为φA＝ω1t＝2πn1t，φB＝ω2t＝2πn2t，所以两齿轮转过的角度之比φA∶φB＝n1∶n2＝z2∶z1．
(4)B齿轮外缘上一点在时间t内通过的路程为sB＝v2t＝ω2r2t＝．
[答案] (1)n2＝n1 (2)r1∶r2＝z1∶z2
(3)φA∶φB＝z2∶z1 (4)sB＝
eq \a\vs4\al()
求解传动问题的方法
(1)分清传动特点：传动问题是圆周运动中一种常见题型，常见的传动装置有如下特点．
①皮带传动(轮子边缘的线速度大小相等)；
②同轴转动(各点角速度相等)；
③齿轮传动(相接触两个轮子边缘的线速度大小相等)．
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系．
(3)用“通式”表达比例关系．
①绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr，即v∝r；
②在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝，即ω∝；
③齿轮传动与皮带传动具有相同的特点．
3．
如图所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为rA＝rC＝2rB，设皮带不打滑，则三轮边缘上的一点的线速度之比vA∶vB∶vC＝ ，角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝ ．
解析：A、B两轮由皮带带动一起转动，皮带不打滑，故A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等．B、C两轮固定在同一轮轴上，同轴转动，角速度相等．但是由于两轮的半径不等，由v＝rω可知，B、C两轮边缘上各点的线速度大小不等，且C轮边缘上各点的线速度是B轮边缘上各点线速度的两倍，故有vA∶vB∶vC＝1∶1∶2．因A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等，同样由v＝rω可知，它们的角速度与半径成反比，即ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2．
答案：1∶1∶2 1∶2∶2
[随堂检测]
1．质点做匀速圆周运动，则：
①在任何相等的时间里，质点的位移都相等
②在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
③在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
④在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
以上说法中正确的是( )
A．①② B．③ ④
C．①③ D．② ④
解析：选D．匀速圆周运动是变速运动，故在相等的时间内通过的路程相等，但位移不等，故①错，②正确．因为角速度是不变的，故④正确．平均速度是位移与时间的比值，所以③错．本题选D．
2．两个物体都做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．若两者线速度大小相同，则角速度一定相同
B．若两者角速度相同，则周期一定相同
C．若两者周期相同，则半径一定相同
D．若两者转速相同，则线速度一定相同
解析：选B．由v＝rω可知，线速度大小相同时，角速度与半径成反比，则角速度不一定相同，A错．由ω＝可知，角速度相同时，周期一定相同，B对．由T＝可知，周期相同时，半径不一定相同，C错．由v＝2πnr可知，转速相同时，线速度与半径成正比，则线速度不一定相同，D错．
3．甲沿着半径为R的圆形跑道匀速跑步，乙沿半径为2R的圆形跑道匀速跑步，在相同时间内，甲、乙各跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( )
A．ω1＞ω2，v1＞v2 B．ω1＜ω2，v1＜v2
C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2
解析：选C．甲、乙跑步的周期相同，因为ω＝，则角速度相同，即ω1＝ω2；又因v＝ωR，所以线速度之比v1∶v2＝R1∶R2＝1∶2，即v1＜v2．故选项C正确．
4．
(多选)变速自行车靠变速齿轮组合来改变行驶速度．如图是某一变速车齿轮传动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则( )
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换四种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
解析：选BC．由题意知，当A轮通过链条分别与C、D连接时，自行车有两种速度，当B轮分别与C、D连接时，又有两种速度，所以该车可变换四种挡位，选项B正确；当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，A转一圈，D转4圈，即＝，选项C正确．
5．如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1．0 cm的摩擦小轮，小轮与自行车后车轮的边缘接触．当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力．自行车车轮的半径R1＝35 cm，小齿轮的半径R2＝4．0 cm，大齿轮的半径R3＝10．0 cm．求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比．(假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动)
解析：大、小齿轮间、摩擦小轮与车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等．由v＝2πnr可知，转速n和半径r成反比．小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同．由以上分析可知，大齿轮和摩擦小轮间的转速之比＝．
答案：
[课时作业][学生用书P93(单独成册)]
一、单项选择题
1．做匀速圆周运动的物体，下列物理量中改变的是( )
A．速度 B．速率
C．角速度 D．转速
解析：选A．速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、转速都是标量，匀速圆周运动的速率、转速不变；角速度也是矢量，在中学阶段不讨论角速度的方向，角速度不变．综上A正确．
2．做匀速圆周运动的物体( )
A．因相等时间内通过的弧长相等，所以线速度恒定
B．如果物体在0．1 s转过30°，则角速度为300 rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成反比
D．若半径为r，周期为T，则线速度v＝
解析：选D．线速度v＝，反映质点沿圆弧运动的快慢程度，是矢量，大小恒定，方向沿圆弧切线方向在不断地改变，故不能说v恒定，选项A错误；角速度ω＝，反映质点与圆心连线转动的快慢，国际单位为rad/s，B中ω＝ rad/s＝ rad/s，选项B错误；线速度与角速度的关系为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r，选项C错误；物体转动一周的时间为T，由线速度与角速度的定义，在特殊情况下(转一周)的线速度与角速度的表达式分别为：v＝，ω＝，也可得到v＝ωr，选项D正确．
3．
如图所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个小木块M和N，木块M放在圆盘的边缘处，木块N放在离圆心r的地方，它们都随圆盘一起运动．比较两木块的线速度和角速度，下列说法中正确的是( )
A．两木块的线速度相等
B．两木块的角速度不相等
C．M的线速度是N的线速度的3倍
D．M的角速度是N的角速度的3倍
解析：选C．由传动装置特点知，M、N两木块有相同的角速度，又由v＝ωr知，因rN＝r，rM＝r，故木块M的线速度是木块N线速度的3倍，选项C正确．
4．如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3．若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．靠摩擦传动的轮子边缘的线速度大小相等，故v1＝v2＝v3，而v1＝ω1r1，v3＝ω3r3，所以ω3＝，A正确．
5．某一型号的电动滚轮铭牌上标有“120 r/min”等额定参数，由此可知( )
A．滚轮正常转动时的转速为2 r/s
B．滚轮正常转动的周期为2 s
C．滚轮正常转动的频率为120 Hz
D．以上说法都对
解析：选A．铭牌上所标注的参数即为正常转动的转速n．单位换算n＝120 r/min＝2 r/s，选项A正确；由转速n可知滚轮每秒转动2圈，则周期T＝ s＝0．5 s，选项B错误；而转动频率f＝＝ Hz＝2 Hz，选项C错误．
6．甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为3∶1
解析：选A．由题意可得：v＝rω，所以r＝，r甲∶r乙＝∶＝2∶9，A对，B错；T＝，所以T甲∶T乙＝∶＝1∶3，C、D错．
二、多项选择题
7．图示为自行车的传动装置示意图，A、B、C分别为大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的一点，则在此传动装置中( )
A．B、C两点的线速度相同
B．A、B两点的线速度相同
C．A、B两点的角速度与对应的半径成正比
D．B、C两点的线速度与对应的半径成正比
解析：选BD．大齿轮与小齿轮间是皮带传动，A、B两点的线速度相同，角速度与对应的半径成反比，B正确，C错误．小齿轮与后轮是同轴转动，B、C两点的角速度相同，线速度与对应的半径成正比，A错误，D正确．
8．一小球沿半径为2 m的轨道做匀速圆周运动，若周期为π s，则( )
A．小球的线速度是4 m/s
B．经过 s，小球的位移大小是π m
C．经过 s，小球转过的圆心角为 rad
D．以上说法均不正确
解析：选AC．由ω＝得ω＝ rad/s＝2 rad/s，则v＝rω＝2×2 m/s＝4 m/s．经过t＝ s，小球转过的角度φ＝ωt＝2× rad＝ rad，则位移大小为r＝2 m，故选项A、C正确．
9．如图所示，直径为d的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴O匀速转动，把枪口垂直圆筒轴线发射子弹，结果发现圆筒上只有一个弹孔，则子弹的速度可能是( )
A． B．
C． D．
解析：选AC．由题意知圆筒上只有一个弹孔，证明子弹穿过圆筒时，圆筒转过的角度应满足θ＝π＋2kπ＝(2k＋1)π(k＝0，1，2，…)，子弹穿过圆孔所用时间t＝＝，所以有v＝(k＝0，1，2，…)，故可能的选项为A、C．
三、非选择题
10．
半径为R的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，A为圆盘边缘上一点，在O的正上方有一个可视为质点的小球以初速度v水平抛出时，半径OA方向恰好与v的方向相同，如图所示．若小球与圆盘只碰一次，且落在A点，重力加速度为g，则小球抛出时距O的高度h＝ ，圆盘转动的角速度大小ω＝ ．
解析：小球做平抛运动，在竖直方向h＝gt2 ①
在水平方向R＝vt ②
由①②两式可得h＝ ③
小球落在A点的过程中，OA转过的角度
θ＝2nπ＝ωt(n＝1，2，3，…) ④
由②④两式得ω＝(n＝1，2，3，…)．
答案： (n＝1，2，3，…)
11．
一物体沿半径为40 m的圆形轨道在水平面内做匀速圆周运动，速度为10 m/s，在A点运动方向为正北，经周期运动至B点，在B点运动方向为正东，如图所示，求：
(1)物体从A到B的过程中路程和位移的大小；
(2)物体运动的周期和角速度的大小．
解析：(1)路程l＝×2πr＝20π m≈62．8 m，
位移大小s＝r＝40 m≈56．6 m．
(2)周期T＝＝ s≈25．1 s，
角速度ω＝＝ rad/s＝0．25 rad/s．
答案：(1)62．8 m 56．6 m (2)25．1 s 0．25 rad/s
12．如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动，若男运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4．7 m/s，求：
(1)女运动员做圆周运动的角速度；
(2)女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径．
解析：(1)女运动员做圆周运动的角速度
ω＝＝2nπ≈2××3．14 rad/s＝3．14 rad/s．
(2)由v＝rω，得女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径r＝＝ m≈1．5 m．
答案：(1)3．14 rad/s (2)1．5 m
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