研究匀速圆周运动的规律
1．知道向心力及其方向，理解向心力的作用． 2．通过实验理解向心力与哪些因素有关，掌握向心力的公式及其变形．(重点) 3．知道向心加速度，掌握向心加速度的公式及其变形．(重点) 4．能用牛顿第二定律知识分析匀速圆周运动的向心力．(难点)
一、向心加速度
1．定义：做匀速圆周运动的物体具有的沿半径指向圆心的加速度，叫做向心加速度．
2．方向：总指向圆心，即向心加速度的方向总与速度方向垂直．
3．大小：a＝＝ω2R＝ωv．
4．物理意义：向心加速度是描述物体线速度的方向改变快慢的物理量．
1．(1)匀速圆周运动的向心加速度是变化的．( )
(2)匀速圆周运动的线速度大小不变，加速度为零．( )
提示：(1)√ (2)×
二、向心力
1．定义：在匀速圆周运动中，产生向心加速度的力叫做向心力．
2．作用效果：不断改变物体的线速度方向、使物体做圆周运动．
3．方向：总是沿半径指向圆心，是一个变力．
4．大小：F＝ma＝m＝mω2R．
向心力是按力的作用效果命名的，它并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为某种性质的力来命名的，而是一种指向圆心的合力，或某一力的分力．
2．(1)做匀速圆周运动的物体所受到的向心力是恒力．( )
(2)向心力和重力、弹力、摩擦力一样，是性质力．( )
(3)向心力可以由某种性质的力来充当，是效果力．( )
提示：(1)× (2)× (3)√
对向心加速度的理解
1．向心加速度的物理意义
向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量．向心加速度由于速度的方向改变而产生，线速度的方向变化的快慢决定了向心加速度的大小．
2．向心加速度的公式
a＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝ωv
3．向心加速度与半径的关系
(1)由a＝rω2，若角速度ω相同，则向心加速度与半径成正比，如图甲所示；
(2)由a＝，若线速度v相同，则向心加速度与半径成反比．如图乙所示．
4．非匀速圆周运动中的向心加速度
匀速圆周运动中的向心加速度就是物体的实际加速度．而非匀速圆周运动中，向心加速度是物体加速度在指向圆心方向上的分量．
(1)向心加速度的方向时刻改变，匀速圆周运动是一种变加速运动．
(2)在非匀速圆周运动中，向心加速度的公式仍适用，但要注意公式中各量对应同一时刻．
关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( )
A．它是描述角速度变化快慢的物理量
B．它是描述线速度大小变化快慢的物理量
C．它是描述线速度方向变化快慢的物理量
D．它是描述角速度方向变化快慢的物理量
[思路点拨] 解题的关键是把握“向心加速度”是描述线速度方向变化“快慢”的物理量．
[解析] 匀速圆周运动，其角速度大小不变，线速度方向总是与半径垂直，半径转过多少度，线速度的方向就改变多少度，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量．
[答案] C
eq \a\vs4\al()
真正理解加速度的物理意义，对理解向心加速度很关键．加速度是描述速度变化快慢的物理量，而匀速圆周运动只有方向改变，因此向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量．
1．关于向心加速度的下列说法中正确的是( )
A．向心加速度越大，物体速率变化得越快
B．向心加速度的大小与轨道半径成反比
C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
解析：选C．向心加速度只改变速度方向，故A不正确．向心加速度可用a＝或a＝ω2r表示，不知线速度和角速度的变化情况，无法确定向心加速度a与轨道半径的关系，故B不正确．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，在圆周运动中始终指向圆心，方向在不断变化，不是恒量，故匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动，故C正确，D错误．
对向心力的理解
理解 例证
向心力是按力的作用效果来命名的力 它不是具有确定性质的某种力，相反，任何性质的力都可以作为向心力 小铁块在匀速转动的圆盘内保持相对静止的原因就是静摩擦力充当向心力；若圆盘是光滑的，就必须用细线拴住小铁块，才能保证小铁块同圆盘一起做匀速转动，这时向心力由细线的拉力提供，如图所示
向心力的作用效果是改变线速度的方向 (1)做匀速圆周运动的物体所受的合力即为向心力．它是产生向心加速度的原因，其方向一定指向圆心，是变力 上例中，小铁块受到的合力等于静摩擦力，指向圆心，只改变速度的方向，而不改变速度的大小
(2)非匀速圆周运动的物体所受的合力不指向圆心，它既要改变速度方向，同时也改变速度的大小，即产生法向加速度和切向加速度 小球在竖直光滑圆轨道内侧做非匀速圆周运动，在与圆心等高处所受的重力和弹力的合力不指向圆心，如图所示
向心力的来源 (1)一个力充当向心力 绳的一端系一个物体，在光滑平面内绕另一端做匀速圆周运动，向心力由绳的拉力提供，如图所示
(2)几个力的合力充当向心力 用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动到最低点时，其向心力由绳的拉力和物体的重力(F＝T－mg)两个力的合力充当，如图所示
(3)某个力的分力充当向心力 在圆锥摆运动中，小球做匀速圆周运动的向心力则是拉力的分力(F＝mgtan θ，其中θ为摆线与竖直轴的夹角)充当，如图所示
向心力的大小F＝ma＝mv2/r＝mω2·r 做匀速圆周运动物体的向心力与物体的质量、线速度或角速度、半径有关系．当线速度一定时，向心力与半径成反比；当角速度一定时，向心力与半径成正比
一圆台可绕通过圆台中心O且垂直于台面的竖直轴转动．在圆台上放置一小木块A，它随圆台一起做匀速圆周运动，如图所示，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是( )
A．木块A受重力、支持力和向心力作用
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力作用，静摩擦力的方向与木块运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力作用，静摩擦力的方向与木块运动方向相同
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力作用，静摩擦力的方向指向圆心
[思路点拨] 解答本题时可按以下思路分析：
[解析] 物体A在水平圆盘上，受竖直向下的重力，竖直向上的支持力，且两力是一对平衡力．由于A随圆盘一起做匀速圆周运动，故其必须有向心力的作用，所以A必定受到静摩擦力作用，静摩擦力一定指向圆心且等于向心力；故D对，B、C错．向心力不是物体受到的力，故A错．
[答案] D
eq \a\vs4\al()
凡是做圆周运动的物体一定需要向心力．由于向心力是按效果命名的力，所以在受力分析时不要加上向心力，它只能由其他力提供．
2．
(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所受的向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
解析：选CD．
如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，选C、D．
圆周运动中临界问题的分析方法
物体在做圆周运动的过程中，若所处的运动状态和受力情况受临界条件限制，就会产生临界问题，即会存在临界速度和临界力的问题．解决临界问题常用“临界值法”来分析．
1．对物体的圆周运动进行动态分析，分析随转速的变化，向心力如何变化，物体的受力如何变化，通常会涉及弹力和摩擦力的分析．
2．确定临界状态：临界状态往往由弹力为零、静摩擦力为零或静摩擦力达到最大值时来确定．
3．求解变化范围：先由临界状态时圆周运动的知识求解最值，再由题意要求指出物理量的合理取值范围．
(多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l．木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g．若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A． b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg
[解析] 小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R．当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：fa＝mωl，当fa＝kmg时，kmg＝mωl，ωa＝ ；对木块b：fb＝mω·2l，当fb＝kmg时，kmg＝mω·2l，ωb＝ ，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa[答案] AC
3．如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量m＝1 kg 的小球A，另一端连接质量M＝4 kg的重物B(取g＝10 m/s2)．求：
(1)当A沿半径R＝0．1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度ω＝10 rad/s时，B对地面的压力大小是多少？
(2)要使B对地面恰好无压力，A的角速度应为多大？
解析：(1)对小球A来说，竖直方向上重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则T＝mRω2＝1×0．1×102 N＝10 N
对重物B来说，受到三个力的作用：重力Mg，绳子的拉力T和地面的支持力N．由力的平衡条件可得T＋N＝Mg
所以N＝Mg－T＝(4×10－10)N＝30 N，由牛顿第三定律可知，重物B对地面的压力大小为30 N，方向竖直向下．
(2)当B对地面恰好无压力时，有Mg＝T′
拉力T′提供小球A的向心力，则有T′＝mRω′2
则ω′＝ ＝ rad/s＝20 rad/s．
答案：(1)30 N (2)20 rad/s
[随堂检测]
1．关于向心加速度，以下说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与速度方向平行
B．向心加速度的方向保持不变
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：选D．向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向．所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变．物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心．正确选项为D．
2．有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图所示的大型圆桶底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过加速，圆周运动半径亦逐步增大，最后能以较大的速度在垂直的壁上做匀速圆周运动，这时使车子和人整体做圆周运动的向心力是( )
A．圆桶壁对车的摩擦力 B．桶壁对车的弹力
C．摩托车本身的动力 D．重力和摩擦力的合力
解析：选B．当车子和人在垂直的桶壁上做匀速圆周运动时，在竖直方向上，摩擦力等于重力，这两个力是平衡力；在水平方向上，车子和人转动的向心力由桶壁对车的弹力来提供，所以正确选项为B．
3．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
解析：选AC．在光滑的水平面上细线对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力．由F＝mω2r知，在角速度ω不变时，F与小球的质量m、半径l都成正比，A正确，B错误；质量m不变时，F又与l和ω2成正比，C正确，D错误．
4．(多选)儿童乐园中，一个小孩骑在木马上随木马一起在水平面内匀速转动．转轴到木马的距离为R，小孩的向心加速度为a，把小孩的转动看做匀速圆周运动，则( )
A．小孩相对于圆心的线速度不变
B．小孩的线速度为
C．小孩在时间t内通过的路程为s＝
D．小孩做匀速圆周运动的周期T＝2π
解析：选BD．小孩做匀速圆周运动，各时刻相对圆心的线速度大小不变，但方向时刻在变，A不对；由a＝得v2＝Ra，所以v＝，B正确；在时间t内通过的路程s＝vt＝t，C不对；做圆周运动的周期T＝＝＝＝2π，D正确．本题应选B、D．
5．
如图所示，水平转台上放有质量均为m的两个物块A、B，A离转轴的距离为L，A、B间用长为L的细线相连．开始时，A、B与轴心在同一直线上，线正好被拉直，A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ．则当转台的角速度达到多大时细线中开始出现张力？当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？(不计A、B大小)
解析：细线中开始出现张力时，B物块受到的静摩擦力刚好达到最大值，在此临界状态时，细线中的拉力还是零．
对B物块，根据牛顿第二定律得μmg＝mωrB，又rB＝2L
故此时转盘的角速度ω1＝ ＝
当物块A刚要开始滑动时，A、B受到的静摩擦力都达到最大值，设此时细线中的张力为F，根据牛顿第二定律，对A物块有μmg－F＝mωrA，rA＝L
对B物块有F＋μmg＝mωrB，rB＝2L
解得ω2＝ ．
答案：
[课时作业][学生用书P95(单独成册)]
一、单项选择题
1．关于向心加速度，下列说法中正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度变化的物理量
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变
D．向心加速度的大小也可用a＝来计算
解析：选B．加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A错，B对；只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定，C错；公式a＝适用于匀变速运动，圆周运动是非匀变速运动，D错．
2．下列关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力的说法中正确的有( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．不一定是物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析：选B．做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力提供，由于指向圆心，且与线速度垂直，不能改变线速度的大小，只用来改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以选项A、C、D错误，选项B正确．
3．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．图中能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的是( )
解析：选C．由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆周的切线方向．因做匀速圆周运动，合力一定指向圆心，由此可知选项C正确．
4．
未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
解析：选B．旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确．
5．
如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球．当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
A．ω2R B．ω2r
C．ω2Lsin θ D．ω2(r＋Lsin θ)
解析：选D．由题图可知，小球做匀速圆周运动的半径R0＝r＋Lsin θ，由向心加速度公式知a＝ω2R0＝ω2(r＋Lsin θ)，选项D正确．
6．
如图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，旋转的角速度为ω，已知A、B两木块所在的两点到圆盘中心O的距离分别为rA和rB，则A、B两木块的向心力之比为( )
A．rA∶rB B．r∶r
C．∶ D．eq \f(1,r)∶eq \f(1,r)
解析：选A．木块A、B在绕O点旋转的过程中，是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块旋转的角速度ω相等，又两木块质量一样，由向心力公式F＝mrω2得FA＝mrAω2 ①，FB＝mrBω2 ②，联立①②两式得FA∶FB＝rA∶rB，故选项A正确．
二、多项选择题
7．
如图所示为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，则由图像可知( )
A．A质点运动的线速度大小不变
B．A质点运动的角速度大小不变
C．B质点运动的角速度大小不变
D．B质点运动的线速度大小不变
解析：选AC．在圆周运动中，向心加速度a＝＝rω2，由此可以看出：当线速度v一定时，向心加速度a与半径r成反比；当角速度ω一定时，向心加速度a与半径r成正比．由题中图像可知，A质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图线是双曲线的一支，运动时遵循a＝的规律，其线速度大小保持不变，故选项A正确，B错误．B质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图线是通过原点的一条直线，运动时遵循a＝rω2的规律，其角速度的大小保持不变，故选项C正确，D错误．
8．一质点做半径为r的匀速圆周运动，它的加速度、角速度、线速度、周期分别为a、ω、v、T，下列关系中正确的是( )
A．ω＝ B．v＝r
C．a＝vω D．T＝2π
解析：选ACD．因为a＝ω2r，所以ω＝，A正确；因为a＝，所以v＝，B错误；因为a＝ω2r，又v＝ωr，所以a＝vω，C正确；因为a＝·r，所以T＝2π，D正确．
9．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比( )
A．线速度之比为1∶2
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
解析：选AD．由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A对．设轮4的半径为r，则aa＝eq \f(v,ra)＝＝eq \f(v,8r)＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错，D对．＝＝，B错．
10．
如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的( )
A．周期相等
B．线速度的大小相等
C．角速度相等
D．向心加速度相同
解析：
选AC．设小球的质量为m，细线长为l，细线与竖直方向的夹角为θ，对小球进行受力分析，如图所示．
小球的重力与细线的拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可得向心力
F＝mgtan θ
小球做圆周运动的半径为r＝lsin θ
小球做圆周运动的圆心到悬点的距离为
h＝lcos θ
根据向心力公式，有
F＝m＝mω2r＝mr＝ma
所以v＝，ω＝，T＝2π，a＝gtan θ
两个做圆周运动的小球对应的h相同，θ不同，所以选项A、C正确，B、D错误．
三、非选择题
11．在双人花样滑冰运动中，已知女运动员的体重为G，做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角为30°，重力加速度为g，求女运动员做圆周运动的向心加速度大小和受到的拉力大小．
解析：
对女运动员受力分析如图所示．
水平方向：Fcos θ＝ma
竖直方向：Fsin θ＝mg
由以上两式得：向心加速度
a＝＝g
拉力F＝＝2G．
答案：g 2G
12．
如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)．物块和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍．求：
(1)当转盘的角速度ω1＝ 时，细绳上的拉力F1；
(2)当转盘的角速度ω2＝ 时，细绳上的拉力F2．
解析：当绳的拉力为零时，设此时转盘的最大角速度是ω0，则其最大静摩擦力提供向心力，μmg＝mrω，得ω0＝ ．
(1)当ω1＝ <ω0时，由静摩擦力提供向心力，绳的拉力F1为零．
(2)当ω2＝ >ω0时，由最大静摩擦力和绳的拉力的合力提供向心力，F合＝ μmg＋F2＝F向＝mrω，F2＝μmg．
答案：(1)0 (2)μmg
PAGE
13
(共37张PPT)
第2章 研究圆周运动
第2章 研究圆周运动
》预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础◆
多维课堂,师生互动
突破疑难·讲练提升◆
