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第2章 研究圆周运动
第2章 研究圆周运动
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圆周运动的案例分析
1．理解向心力的来源，并能对具体实例进行分析和计算．(重点) 2．掌握牛顿第二定律在圆周运动中的应用．(重点＋难点) 3．通过具体分析生活中的圆周运动问题，掌握处理这类问题的思路和方法．
一、分析游乐场中的圆周运动
1．受力分析
(1)过山车在轨道顶部时要受到重力和轨道对车的弹力作用，这两个力的合力提供过山车做圆周运动的向心力．
(2)当过山车恰好经过轨道顶部时，弹力为零，此时重力提供向心力．
2．临界速度
(1)过山车恰好通过轨道顶部时的速度称为临界速度，记作v临界，v临界＝．
(2)当过山车通过轨道最高点时的速度v≥ 时，过山车就不会脱离轨道；当v> 时，过山车对轨道还会产生压力作用．
(3)当过山车通过轨道最高点时的速度v< 时，过山车就会脱离轨道，不能完成圆周运动．
1．
为什么过山车在轨道的顶端悬空而没有落下呢？
提示：只要过山车在冲向最高点时仍有很高的速度v，所需要的向心力便会比较大．假如所需的向心力比车的重力大，部分所需的向心力便要由路轨给予过山车的作用力N提供，两部分加起来有mg＋N＝．此时如果速度v越大，过山车与路轨之间的相互作用力也越大，它便越紧贴着路轨，不会掉下来．
二、研究运动物体转弯时的向心力
1．自行车转弯时要向转弯处的内侧倾斜，由地面对车的作用力与重力的合力作为转弯所需要的向心力．
2．汽车在水平路面上转弯时由地面的摩擦力提供向心力．
3．火车转弯时的向心力由重力和铁轨对火车的支持力的合力提供，其向心力方向沿水平方向．
2．假定你是一个铁路设计的工程师，你打算用什么方法为火车转弯提供向心力？
提示：要根据弯道的半径和规定的行驶速度，确定内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力来提供．
竖直平面内圆周运动案例研究
物体在竖直平面内做圆周运动时，通常受弹力和重力两个力的作用，物体做变速圆周运动，我们只研究在最高点和最低点时的两种情形，具体情况又可分为以下两种：
模型 临界条件 最高点受力分析
细绳牵拉型的圆周运动 小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，如图所示 小球恰好过最高点时，应满足弹力N＝0，即mg＝m，则小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度v＝ (1)v>时，绳或轨道对小球产生向下的拉力或压力
小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图所示 (2)v＝时，绳或轨道对小球刚好不产生作用力
(3)v<时，小球不能在竖直平面内做圆周运动，小球没有到达最高点就脱离了轨道
轻杆支撑型的圆周运动 质点在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，如图所示 由于杆和管能对小球产生向上的支持力，故小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是运动到最高点速度恰好为零 (1)v>时，杆或管的外侧产生向下的拉力或压力
质点被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，如图所示 (2)v＝时，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力
(3)v<时，杆或管的内侧产生向上的支持力
如图所示，质量为0．5 kg的小桶里盛有1 kg的水，用细绳系住小桶在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小桶在最高点的速度为5 m/s，g取10 m/s2．求：
(1)在最高点时，绳的拉力．
(2)在最高点时，水对水桶底的压力．
(3)为使小桶经过最高点时水不流出，在最高点时的最小速率是多少？
[思路点拨] 解此题的关键有两点：
(1)在最高点应是桶和水整体受到的合力提供向心力．
(2)明确绳类模型通过最高点的临界条件(绳拉力恰好为零)．
[解析] 小桶质量m1＝0．5 kg，
水质量m2＝1 kg，r＝1 m
(1)在最高点时，以桶和水为研究对象，其向心力由重力和拉力的合力提供，由向心力公式，可得：
(m1＋m2)g＋T＝
解得T＝－(m1＋m2)g
代入数值解得T＝22．5 N，方向竖直向下．
(2)以水为研究对象，其向心力是由重力m2g和桶底对水的压力N的合力提供，由向心力公式得m2g＋N＝
解得N＝－m2g
代入数值解得N＝15 N，方向竖直向下．
由牛顿第三定律可知水对桶底的压力N′＝15 N，方向竖直向上．
(3)水恰好不流出的临界条件是水的重力刚好提供向心力，即m2g＝eq \f(m2v,r)，解得：v0＝＝ m/s．
[答案] (1)22．5 N 方向沿绳竖直向下
(2)15 N 方向竖直向上 (3) m/s
质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示．已知小球以速度v通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点时( )
A．小球对圆管内、外壁均无压力
B．小球对圆管外壁的压力等于
C．小球对圆管内壁的压力等于
D．小球对圆管内壁的压力等于mg
[解题探究] (1)小球以速度v通过最高点时，小球受几个力作用？
(2)小球通过最高点时，小球所受力的合力指向哪个方向？
[解析] 设小球做圆周运动的半径为r，小球以速度v通过最高点时，由牛顿第二定律得2mg＝m ①
小球以速度通过圆管的最高点时，设小球受向下的压力为FN，有mg＋FN＝ ②
由①②得FN＝－，该式表明，小球受到向上的支持力，由牛顿第三定律知小球对圆管内壁有向下的压力，大小为，C正确．
[答案] C
eq \a\vs4\al()
(1)竖直面内的圆周运动多为非匀速圆周运动，关键是要分析清楚在最高点或最低点时物体的受力情况，由哪些力来提供向心力，再对此瞬时状态应用牛顿第二定律的瞬时性，有时还要应用牛顿第三定律求受力．
(2)解答竖直平面内的圆周运动临界问题时，首先要分清楚是绳模型还是杆模型，绳模型的临界条件是mg＝m，即v＝，杆模型的临界条件是v＝0，v＝对杆来说是F表现为支持力还是拉力的临界点．
1．(多选)长为l的细绳一端固定，另一端系一个小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，那么( )
A．小球通过圆周最高点时的最小速度可以等于零
B．小球通过圆周最高点时的最小速度不能小于
C．小球通过圆周最低点时，小球需要的向心力最大
D．小球通过圆周最低点时绳的张力最大
解析：选BCD．小球在竖直平面内做圆周运动时，过最高点时的向心力F1方向向下，由重力G和绳子的拉力T1的合力提供，则F1＝T1＋mg＝eq \f(mv,l)，当T1＝0时，v1＝，此为小球在最高点的速度最小值．小球在最低点的向心力F2方向向上，同样由重力G和绳子的拉力T2的合力提供，则F2＝T2－mg＝eq \f(mv,l)，小球在最低点时的线速度v2最大，需要的向心力最大，此时绳子的拉力最大．
物体转弯运动案例研究
1．火车转弯问题分析
(1)转弯时的圆周平面：火车做圆周运动的圆周平面是水平面，火车的向心加速度和向心力均是沿水平方向指向圆心．
(2)向心力来源：如图所示．火车转弯时的向心力由重力mg和支持力N的合力提供，即mgtan θ＝meq \f(v,R)，解得v0＝，其中，R为弯道处的半径，θ为两轨所在平面与水平面间的夹角，v0为弯道处规定的行驶速度．
(3)速度与轨道压力的关系
①当v＝v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车均无挤压作用．
②当v＞v0时，外轨道对轮缘有侧压力．
③当v＜v0时，内轨道对轮缘有侧压力．
2．自行车、汽车转弯问题分析
(1)自行车转弯
自行车在水平面内转弯时，车速和车身的倾斜程度都受到自行车与地面的静摩擦因数μ的限制，如图所示，为了在转弯处不翻倒，要求有足够的静摩擦力提供质心(质量中心)O做圆周运动所需的向心力．
①自行车转弯时的最大速度v0
自行车转弯时所需的向心力由地面的静摩擦力提供，且必须满足F向≤fmax，即μmg≥，所以最大转弯速度为v0＝．
②自行车转弯时的临界内倾角θ0
自行车转弯时，在竖直平面内受到重力mg、地面支持力N和静摩擦力f的作用．因此，自行车不翻倒的临界条件是N和f的合力作用线通过质心，所以自行车必须内倾，且与竖直方向的临界内倾角为θ0＝arctan＝arctan μ＝arctaneq \f(v,Rg)．
(2)高速公路上汽车的转弯
通常在水平路面上做圆周运动的汽车，是靠路面对汽车的摩擦来提供向心力的．
设汽车以速度v转弯，要转的弯的半径为R，则需要的侧向静摩擦力f＝m．
若该汽车与地面间侧向最大静摩擦力为fmax，有fmax＝m得，转弯的最大速率vmax＝，超过这个速率，汽车就会侧向滑动．
铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下面表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h．
弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110
内外轨道高度差h/mm 50 100 150 200 250 300
(1)根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值；
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L＝1 435 mm，结合表中数据，算出我国火车转弯时的速率v(以km/h为单位，结果取整数；当倾角很小时，取sin α≈tan α)；
(3)随着人们生活节奏的加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求．为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施？
[解题探究] (1)表格中数据有何特点？
(2)轨道不对车轮施加力的情况下，转弯时的速度受哪些因素的影响？如何分析转弯时的速度？
[解析] (1)分析表中数据可得，每组的h与r之积均等于常数，C＝660 m×50×10－3m＝33 m2，因此h·r＝33 m2，即h＝(h、r均为国际单位)，当r＝440 m时，有h＝ m＝0．075 m＝75 mm．
(2)转弯中，当内外轨对车轮没有侧向压力时，mgtan θ＝m，因为θ很小，有tan θ≈sin θ＝，得v＝ ，代入数据得v≈15 m/s＝54 km/h．
(3)由v＝ 可知，可采取的有效措施有：①适当增大内外轨的高度差h；②适当增大铁路弯道的轨道半径r．
[答案] 见解析
eq \a\vs4\al()
机车转弯问题的分析技巧
(1)在分析车辆转弯问题时，首先要确定出车辆转弯所做圆周运动的轨道平面、圆心和半径，然后分析车辆的受力，找到向心力的来源．
(2)在找向心力时，通常在受力分析的基础上，按力的正交分解法将力沿半径方向和垂直于半径方向分解，其中沿半径方向的合力即为向心力．
2．(多选)关于在公路上行驶的汽车正常转弯时的情况，下列说法中正确的是( )
A．在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由静摩擦力提供
B．在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由滑动摩擦力提供
C．在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力和支持力的合力提供
D．在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力、摩擦力和支持力的合力提供
解析：选ACD．汽车在内外侧等高的水平公路上拐弯时，受重力、支持力和摩擦力．重力和支持力均在竖直方向，不能够提供向心力；向心力由摩擦力提供，由于轮胎与地面没有发生相对滑动，所以应为静摩擦力．在内侧低、外侧高的公路上转弯时，由于支持力向内倾斜，所以可以由重力和支持力的合力提供向心力；若这二者的合力不能够恰好提供向心力，则需要借助摩擦力来共同提供向心力．
体育运动中的转弯问题综合分析
滑雪运动员自坡度θ＝37°，高度h＝6 m的斜坡上由静止下滑，BC部分是水平直道，CD部分是圆弯道．如图所示．有关数据如下：滑道宽d＝44 m，B处为衔接半径r＝10 m的圆弧，C′D′处圆弧半径R＝100 m．滑板与滑道的动摩擦因数μ＝0．1，忽略空气阻力的影响，假设运动员只在BC直道部分用滑雪杖加速，而其他地方不用滑雪杖；运动员过水平圆弯道的向心力是其重力的k倍，k接近0．1，按0．1处理．若你是运动技术分析教练，请给运动员提供有关重要数据，并提出注意事项．(sin 37°＝0．6，cos 37°＝0．8，取g＝10 m/s2)
[思路点拨] 可从衔接处B运动员受到的冲击力即弯道处所应控制的速度及身体应保持的姿势加以分析．
[解析] 运动员在坡道上滑行时，到达B处的速度为vB，坡道上的加速度为a1，则
mgsin θ－μmgcos θ＝ma1
解得a1＝5．2 m/s2
到达B处时速度v＝2a1
解得vB≈10 m/s
当运动员经过B处圆弧时，对地面的压力最大
由N－mg＝mv/R，则对地面的压力N＝2mg．
指导：从坡道上滑行到水平轨道．一方面应下蹲以降低重心增加速度，增加稳度，另一方面使身体呈弯曲状，减轻脊柱受到的冲击力．
在弯曲CD部分运动员绕O点做圆周运动，有kmg＝mv/R，解得v1＝10 m/s．(沿内轨道运动时，内道速度应小于10 m/s)
若沿外侧运动，有kmg＝mv/(R＋d)，
解得v2＝12 m/s．
指导：若运动员在BC段适当用力，保持10 m/s可沿内道滑行；若大于10 m/s，小于12 m/s；可以沿外轨道运动，若大于12 m/s，运动员肯定滑出跑道．
[答案] 见解析
eq \a\vs4\al()
生活中的圆周运动到处可见，如运动物体转弯问题，汽车、火车、飞机、自行车、摩托车、滑冰运动员的转弯，解决此类问题时，要注意将实际问题抽象成我们熟悉的物理模型，并结合圆周运动的基本知识分析求解．
3．
赛车行驶在倾斜的弯道上，如图所示，弯道的倾角为θ，半径为r，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是( )
A． B．
C． D．
解析：选C．
设赛车的质量为m，赛车受力如图所示，可见：F合＝mgtan θ，而F合＝m，故v＝．
[随堂检测]
1．火车在拐弯时，对于向心力的分析，正确的是( )
A．由于火车本身作用而产生了向心力
B．主要是由于内外轨的高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力
C．火车在拐弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力
D．火车在拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车拐弯时向心力的一部分
解析：选D．火车正常拐弯时，重力和支持力的合力提供向心力，故A、B选项错；当拐弯速率大于规定速率时，外轨对火车有侧压力作用；当拐弯速率小于规定速率时，内轨对火车有侧压力作用，此时，火车拐弯所需的向心力是重力、支持力和侧压力的合力来提供，故C错，D对．
2．(多选)目前，中国已投入运营的高速铁路营业里程居世界第一位．铁轨转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是( )
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
解析：选AD．设铁轨之间的距离为L，内外轨高度差为h，内外轨所在平面与水平面夹角为θ，火车转弯时，若外轨、内轨对车轮均没有侧向压力，由牛顿第二定律得mgtan θ＝，由于θ很小，可认为tan θ＝sin θ＝，联立解得v＝ ．由此式可知，v一定时，r越小则要求h越大，选项A正确，B错误；r一定时，v越大则要求h越大，选项C错误，D正确．
3．长度为L＝0．50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3．0 kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2．0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到( )
A．6．0 N的拉力 B．6．0 N的压力
C．24 N的拉力 D．24 N的压力
解析：选B．设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg＝meq \f(v,L)，v0＝＝ m/s＝ m/s，由于v＝2．0 m/s＜ m/s，则过最高点时，球对细杆产生压力，如图所示，为小球的受力情况，由牛顿第二定律mg－N＝m，得N＝mg－m＝3．0×10 N－3．0× N＝6．0 N．再由牛顿第三定律知细杆受6．0 N的压力，B正确．
4．已知某游乐场里的赛车场地为圆形，半径为100 m，一赛车和选手的总质量为100 kg，车轮与地面间的最大静摩擦力为600 N．
(1)若赛车的速度达到72 km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧移？
(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30°，并假设车轮和地面之间的最大静摩擦力不变，为保证赛车的行驶安全，赛车最大行驶速度应为多大？
解析：(1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，如图甲所示．赛车做圆周运动所需的向心力为F＝＝400 N<600 N，所以赛车在运动过程中不会发生侧移．
(2)若将场地建成外高内低的圆形，则赛车做匀速圆周运动的向心力由重力mg、支持力N和静摩擦力的合力来提供，如图乙所示为赛车做圆周运动的后视图(赛车正垂直纸面向里运动)．赛车以最大速度行驶时，地面对赛车的摩擦力为最大静摩擦力．
水平方向：Nsin θ＋fmcos θ＝meq \f(v,r)
竖直方向：Ncos θ－fmsin θ－mg＝0
联立解得：vm＝ m/s＝35．6 m/s．
答案：(1)不会 (2)35．6 m/s
[课时作业][学生用书P97(单独成册)]
一、单项选择题
1．在水平的圆弧形路面上行驶的汽车，速度的大小保持不变，以下说法正确的是( )
A．汽车所受的合外力为零
B．汽车的重力和路面对汽车的支持力的合力充当向心力
C．路面对汽车的滑动摩擦力充当向心力
D．路面对汽车的静摩擦力充当向心力
解析：选D．汽车在水平的圆弧形路面上行驶时，车轮与路面间的静摩擦力提供汽车做圆周运动的向心力，故汽车所受的合外力不为零，选项D正确．
2．
如图所示，质量为m的小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，ab是过轨道圆心的水平线，下列说法中正确的是( )
A．小球在ab线上方管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
B．小球在ab线上方管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
C．小球在ab线下方管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在ab线下方管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：选D．小球在ab线上方管道中运动时，当速度较大时小球做圆周运动的向心力是小球所受的重力沿半径方向的分力和外侧管壁对小球的弹力的合力提供的，此时内侧管壁对小球无作用力，选项A错误；同理，当小球在管道中运动速度较小时，小球做圆周运动的向心力是小球所受的重力沿半径方向的分力和内侧管壁对小球的弹力的合力提供的，此时外侧管壁对小球无作用力，选项B错误；小球在ab线下方运动时，小球做圆周运动的向心力是小球所受重力沿半径方向的分力与外侧管壁对小球的弹力的合力提供的，此种情况下内侧管壁对小球一定没有作用力，选项C错误，D正确．
3．
一辆载重车在丘陵地上行驶，地形如图所示，轮胎已经很旧，为防爆胎应使车经何处时速率最小( )
A．M点 B．N点
C．P点 D．Q点
解析：选D．对于M或P点来说，N＝mg－m≤mg，而对于N、Q两点来说N′＝mg＋m≥mg，因此，在N、Q两点比在M、P两点更容易爆胎．对于N、Q两点来说，v相同时，Q点半径小，向心力大，支持力或压力较大，因此为防爆胎，应使车经过Q点时速率最小．
4．
如图所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动，系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处突然静止，则两吊绳所受拉力FA、FB的大小关系是( )
A．FA>FB＞mg B．FAC．FA＝FB＝mg D．FA＝FB＞mg
解析：选A．当天车突然停止时，A、B两物体将做圆周运动，在最低点时，向心力由吊绳的拉力与重力的合力提供，即F－mg＝m，故F＝mg＋m，所以有FA＞FB＞mg．
5．
乘坐游乐场的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，如图所示，下列说法正确的是 ( )
A．车在最高点时，人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
B．人在最高点时，对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最低点时，处于失重状态
D．人在最低点时，对座位的压力大于mg
解析：选D．由圆周运动的临界条件知，人在最高点时，若v＝，则人对底座和保险带都无作用力；若v <，则保险带对人有拉力作用；若v>，则人对底座有压力，且当v>时，压力大于mg，故A、B错误；人在最低点时，有N－mg＝m，则N>mg，故人处于超重状态，故C错误，D正确．
6．
如图所示，质量为m的小球固定在长为L的细轻杆的一端，绕细杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动，球转到最高点A时，线速度的大小为 ，此时( )
A．杆受到的拉力
B．杆受到的压力
C．杆受到的拉力
D．杆受到的压力
解析：选B．在最高点小球受重力和杆的作用力，假设小球受杆的作用力向下，则mg＋F＝m，又v＝，解得F＝－mg，即小球受杆的支持力方向向上，由牛顿第三定律知杆受到小球的压力，大小为，故B正确．
7．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v的速度经过最高点时，小球对轨道压力的大小为( )
A．0 B．mg
C．3mg D．5mg
解析：选C．速度为v时，满足mg＝m．当速度变为2v时，满足N＋mg＝，推导可得F＝3mg，由牛顿第三定律知，小球对轨道压力N′＝3mg．
二、多项选择题
8．飞机驾驶员最多可承受9倍的重力加速度带来的影响，当飞机在竖直平面内沿圆弧轨道俯冲时速度大小为v，则圆弧的最小半径R和此时座椅对驾驶员的支持力N分别为( )
A．R＝ B．R＝
C．N＝9mg D．N＝10mg
解析：选AD．飞机在圆弧的最低点飞行时，驾驶员在此点受到重力mg和向上的支持力N的作用，由向心力公式可得F＝N－mg＝m＝9mg，所以N＝10mg，R＝，故选项A、D正确．
9．如图所示，小物体位于半径为R的半球顶端，若给小物体以水平初速度v0时，小物体对球顶恰无压力，则( )
A．物体立即离开球面做平抛运动
B．物体落地时水平位移为R
C．物体的初速度v0＝
D．物体着地时速度方向与地面成45°角
解析：选ABC．无压力意味着mg＝meq \f(v,R)，v0＝，物体以v0为初速度做平抛运动，A、C正确；由平抛运动可得t＝＝ ，那么落地时水平位移sx＝v0t＝R，B正确；落地时tan θ＝＝＝＝，θ＝arctan，即为着地时速度与地面的夹角，D错误．
10．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示．则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小不相等
解析：选AC．对小球在最高点进行受力分析．当速度为零时，F－mg＝0，结合题图像可知：a－mg＝0．当F＝0时，由向心力公式可得mg＝m，结合题图像可知mg＝m，可知：g＝，m＝，选项A正确，选项B错误；由题图像可知：b＜c，故当v2＝c时，杆对小球的弹力向下，则小球对杆的弹力方向向上，选项C正确；由向心力公式可得：mg＋F＝m，当v2＝2b时，F＝mg，选项D错误．
三、非选择题
11．如图所示，轻质棒一端固定有质量为m的小球，棒长为R，今以棒的另一端O为圆心，使之在竖直平面内做圆周运动，那么当球至最高点，求：
(1)ω等于多少时，小球对棒的作用力为零；
(2)ω等于多少时，小球对棒的压力为mg；
(3)ω等于多少时，小球对棒的拉力为mg．
解析：(1)在最高点，如果小球对棒作用力为零．小球做圆周运动的向心力由重力充当mg＝mωR，ω1＝．
(2)在最高点小球对棒的压力为mg时，小球向心力为
mg－mg＝mωR，ω2＝ ．
(3)在最高点小球对棒的拉力为mg时，小球向心力为
mg＋mg＝mωR，ω3＝ ．
答案：(1) (2) (3)
12．如图所示，质量m＝2．0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，如果桥面承受的压力不超过3．0×105 N，则
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
解析：汽车驶至凹面的底部时，合力向上，此时车对桥面压力最大；汽车驶至凸面的顶部时，合力向下，此时车对桥面的压力最小．
(1)汽车在凹面的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力N1＝3．0×105 N，根据牛顿第二定律
N1－mg＝m
即v＝ r＝ m/s＝10 m/s<＝10 m/s，故在凸形桥最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为10 m/s．
(2)汽车在凸面顶部时，由牛顿第二定律得
mg－N2＝
则N2＝m＝2．0×104× N
＝1．0×105 N
由牛顿第三定律得，在凸形桥顶汽车对桥面的压力为1．0×105 N．
答案：(1)10 m/s (2)1．0×105 N
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