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第2章 研究圆周运动
性质:变加速曲线运动
线速度v
2丌R
t
T
角速度o=△2m
T
匀速圆
周运动
描述
周期72丌R_2丌
转速n=2m
研究圆周运动
关系=0R、m1
向心加速度a==R
规律
F=ma
生活
向、的mo2R
应用
条件:F供=0或F供离心
现象:沿圆周切线做直线运动
现象
离圆心越来越远的曲线运动
应用及防止
》知识体系网络构建
宏观把握·理清脉络
专题归纳,整合提升
归纳整合·深度升华
本章优化总结
向心力来源及圆周运动的求解
1．常见圆周运动的向心力来源
图形 受力分析 以向心加速度方向建立坐标系 利用向心力公式
2．解决圆周运动的一般方法
(1)明确研究对象，必要时要将它从转动系统中隔离出来．
(2)找出物体做圆周运动的轨道平面，从中找出圆心和半径．
(3)按通常方法全面分析运动物体的受力情况，从中确定是哪些力起向心力作用，千万别臆想出一个向心力来．
(4)建立直角坐标(以指向圆心方向为x轴的正向)，将力正交分解到坐标轴方向．
(5)在x轴方向，选用向心力公式F＝mω2r＝m＝mr＝m(2πf)2r＝m(2πn)2r列方程求解，必要时再在y轴方向按F合y＝0列方程求解．
如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内．已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球做圆周运动的速度大小及碗壁对小球的弹力的大小．
[思路点拨] 该题按如下思路分析：
[解析]
根据小球做圆周运动的轨迹找圆心，定半径．由图可知，圆心为O′，运动半径为r＝Rsin θ．小球受重力mg及碗对小球弹力N的作用，向心力为弹力的水平分力．受力分析如图所示．
由向心力公式F＝m得
Nsin θ＝m ①
竖直方向上小球的加速度为零，所以竖直方向上所受的合力为零，即Ncos θ＝mg，解得：N＝ ②
联立①②两式，可解得物体做匀速圆周运动的速度为v＝．
[答案]
常见圆周运动的三种模型
模型 特点 实例 方法
水平面上的匀速圆周运动模型 在竖直方向受力平衡，水平方向的合力提供向心力 汽车、自行车在水平面上转弯等 (1)在竖直方向Fy＝0 (2)在水平方向Fx＝F向＝mω2r
圆锥摆模型 物体受力既不垂直也不共线，由合力提供向心力 汽车、火车在倾斜的弯道上转弯；飞机在空中的水平面内转弯等 对力进行正交分解，其中一个分力在半径方向上，如图F1＝mω2rF2＝mg，tan θ＝
竖直平面内的圆周运动模型 是非匀速圆周运动，只研究最高点和最低点的情况 水流星、过山车、汽车过凸形桥等 (1)在最高点和最低点进行受力分析(2)由合力提供向心力，F合＝F向 (3)根据结果的正负号确定弹力的方向
有一辆质量为1．2 t的小汽车驶上半径为50 m的圆弧形拱桥．问：
(1)汽车到达桥顶的速度为10 m/s时对桥的压力是多大？
(2)汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？
(3)设想拱桥的半径增大到与地球半径相同，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度要多大？(重力加速度g取10 m/s2，地球半径R取6．4×103 km)
[解析] (1)m＝1．2 t＝1．2×103 kg
r＝50 m v＝10 m/s
在最高点：mg－N＝m
N＝m＝9．6×103 N．
由牛顿第三定律得此时车对桥的压力是9．6×103 N．
(2)mg＝meq \f(v,r)，v1＝＝10 m/s．
(3)mg＝meq \f(v,R)，v2＝＝8．0×103 m/s．
[答案] (1)9．6×103 N (2)10 m/s
(3)8．0×103 m/s
圆周运动中的临界问题
1．当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”．
2．解决临界问题的常用方法
(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象显露，达到尽快求解的目的．
(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题．
3．关于临界问题总是出现在变速圆周运动中，而竖直平面内的圆周运动是最典型的变速圆周运动．
在竖直平面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，但物体经最高点或最低点时，所受的重力与其他力的合力指向圆心，提供向心力．
(1)用绳子系物体或物体沿轨道内侧运动(如图所示)
此种情况下，如果物体恰能通过最高点，即绳子的拉力或轨道对物体的支持力等于零，只有重力提供向心力，即mg＝eq \f(mv,R)，得临界速度v0＝，当物体的速度大于v0时，才能经过最高点．
(2)用杆固定物体在竖直平面内做圆周运动
此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆给它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零．当物
体在最高点的速度v≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动．
如图所示，AB为半径为R的金属导轨(导轨厚度不计)，a、b为分别沿导轨上、下两表面做圆周运动的小球(可看做质点)，要使小球不脱离导轨，则a、b在导轨最高点的速度va、vb应满足什么条件？
[解析] 对a球在最高点，由牛顿第二定律得：
mag－Na＝maeq \f(v,R) ①
要使a球不脱离轨道，则Na≥0 ②
由①②得：va≤
对b球在最高点，由牛顿第二定律得：
mbg＋Nb＝mbeq \f(v,R) ③
要使b球不脱离轨道，则Nb≥0 ④
由③④得：vb≥．
[答案] 见解析
eq \a\vs4\al()
圆周运动的临界问题，其实就是速度的极限或是某个力的极限，其问题的关键是对物体的运动状态进行正确分析，找出临界条件，而临界条件的确定多数情况下可以采用极限分析法．
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